1936. Какую наименьшую ширину может иметь бесконечная полоса бумаги, чтобы из неё можно было вырезать любой треугольник площади 1?

1937. Окружности S₁, S₂ и S₃ касаются одна другой внешним образом. A, B и C — точки касания S₁ и S₂, S₁ и S₃, S₂ и S₃ соответственно. Прямая AB повторно пересекает S₂ и S₃ в точках D и E соответственно. Прямая CD повторно пересекает окружность S₃ в точке F. Докажите, что угол DEF прямой.

1938. Для любых n чисел докажите, что хотя бы одно из них или число, противоположное их сумме, не меньше делённой на 2n – 1 суммы их модулей.

1939. Вершины 50 прямоугольников делят окружность на 200 равных дуг. Докажите, что среди прямоугольников есть хотя бы два равных.

1940. Пусть a — натуральное число. Докажите, что уравнение x(x + a) = y² а) при a = 1, 2 или 4 не имеет решений в натуральных числах; б) при любом другом a имеет их.

1941. На плоскости жили 44 весёлых чижа, точечных и непрозрачных. После посещения плоскости Мурзиком чижи разлетелись и расселись на плоскости так, что каждый из них видит ровно 10 других. Докажите, что посещение плоскости Мурзиком уменьшило количество чижей.

1942. Внутри острого угла с вершиной O даны точки A и B. Бильярдный шар может попасть из A в B, отразившись либо от одной стороны угла в точке M, либо от другой в точке N. Докажите, что если OA = OB, то точки O, A, B, M и N лежат на одной окружности.

1943. По кругу расставлено несколько корзин (не меньше трёх). Первоначально в одной из них лежит одно яблоко, а остальные корзины пусты. Далее неоднократно проделывают следующую операцию: из какой-нибудь корзины вынимают яблоко, а взамен кладут по яблоку в каждую из двух соседних с ней корзин. При каком количестве корзин можно добиться того, чтобы во всех корзинах яблок стало поровну?

1944. Квадратный стол площади 5 покройте в 4 слоя пятью квадратными салфетками, площадь каждой из которых равна 4.

1945. Всякий ли остроугольный треугольник можно расположить в пространстве так, что все его вершины окажутся на а) рёбрах; б) диагоналях граней некоторого куба, выходящих из одной его вершины?

1946. AH и CL — высоты треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, AC = CB. Докажите, что длина проекции CH стороны AC на сторону BC равна длине отрезка AB тогда и только тогда, когда прямые IH и AB параллельны.

1947. Десятичная запись квадрата натурального числа оканчивается на три одинаковые цифры. Докажите, что предшествующая им цифра чётна.

1948. Радиусы окружностей ω₁ и ω₂ равны. Внешним образом касаются: окружности ω₁ и ω₂ в точке B; ω₁ и ω₃ в точке A; ω₂ и ω₃ — в точке B. Прямая AB вторично пересекает ω₂ в точке D. Прямая CD вторично пересекает ω₃ в точке F. Прямая AF вторично пересекает ω₁ в точке N. Прямая AC вторично пересекает ω₂ в точке L. Докажите, что четырёхугольник DNAL — ромб.

1949. На координатной плоскости расположен правильный многоугольник с центром (0; 0). Одна из его вершин — точка (1; 0). Докажите существование многочлена степени n с целыми коэффициентами, множество корней которого совпадает с множеством а) абсцисс; б) ординат вершин этого многоугольника.

1950. Правильный восьмиугольник можно разрезать на параллелограммы, но нельзя — на параллелограммы равной площади. Докажите это.

1951. Имеются два разных расположения одних и тех же ладей на шахматной доске, одно из которых получено из другого после двух ходов каждой ладьи. Всегда ли можно указать третье расположение этих же ладей на доске, из которого каждое из двух данных расположений получается одним ходом каждой ладьи?

1952. AH — высота, BL — биссектриса, CM — медиана треугольника ABC. Докажите, что отрезки AH, BL и CM пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда а) прямые LH и AB параллельны; б) синус угла A равен произведению тангенса угла B на косинус угла C.

1953. Из листа клетчатой бумаги вырезали по линиям сетки многоугольник без дыр, который можно разрезать на доминошки размером 1×2. Докажите, что хотя бы одна сторона многоугольника чётной длины.

1954. Найдите все квадраты, лишь первая и последняя цифры десятичной записи которых отличны от 0.

1955. Точка D лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника ABC. Докажите, что и точка C лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника ABD.

1956. а) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия из 2005 таких натуральных чисел, что произведение любых четырёх из них делится на куб их суммы?

б) А бесконечная арифметическая прогрессия с такими же свойствами?

1957. Из полного набора доминошек выбрали несколько костяшек и выложили по правилам в один ряд. Докажите, что костяшки всего набора можно выложить в один ряд, в котором выбранные костяшки идут в том же порядке (может быть, не подряд).

1958. Докажите следующие утверждения.

Существует такая пара натуральных чисел x и y, что а) x² + xy + y²; б) x² – xy + y² — квадрат натурального числа.

в) Не существует такой пары натуральных чисел x и y, что числа x² – xy + y² и x² + xy + y² — квадраты натуральных чисел.

1959. Имеются n квадратных трёхчленов с буквенными коэффициентами и прозрачный мешок, содержащий 3n натуральных чисел. Двое ходят поочерёдно: каждый своим ходом берёт из мешка число и заменяет им какой-то из ещё не заменённых буквенных коэффициентов. Первый игрок хочет, чтобы каждый из n трёхчленов имел хотя бы один целый корень. Может ли второй игрок всегда (при любом содержимом мешка и любой стратегии первого) этому помешать, если а) n = 1; б) n = 2; в) n > 2?

1960. Проекции внутренней точки правильного тетраэдра на грани соединены отрезками с вершинами своих граней. В результате поверхность тетраэдра оказалась разделена на шесть областей. Каждая пара областей, содержащих пару противоположных рёбер тетраэдра, окрашена в жёлтый, синий или красный цвет. Докажите, что площадь, окрашенная жёлтым цветом, равна площади, окрашенной синим цветом.

1961. Точка Q лежит внутри параллелограмма ABCD, причём сумма величин углов AQB и CQD равна 180°. Докажите равенство величин углов QBA и QDA и равенство величин углов QAD и QCD.

1962. Клетчатый прямоугольник покрыт костями домино (каждая кость покрывает две клетки с общей стороной). Назовём покрытие оригинальным, если для любого другого покрытия положение хотя бы одной кости совпадает с положением хотя бы одной кости оригинального покрытия. Для каких прямоугольников существует оригинальное покрытие?

1963. Натуральные числа x, y и z удовлетворяют равенству x^y + 1 = z² и неравенствам x > 2 и y > 1. Докажите, что число x имеет не менее 8 натуральных делителей.

1964. Вневписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается стороны AB в точке C', а продолжений сторон AC и BC — в точках B' и A' соответственно. Прямые AA' и BB' пересекаются в точке K. Докажите, что точка K лежит на описанной окружности треугольника ABC тогда и только тогда, когда радиусы описанных окружностей треугольников ABC и A'B'C' равны.

1965. С крыши дома спущена лестница, содержащая n ступенек. С каждой ступеньки можно перейти на соседнюю; кроме того, с самой верхней ступеньки можно переступить на крышу, а с самой нижней — на землю. На каждой ступеньке укреплён указатель–стрелка, направленный вверх или вниз. В начальный момент на одной из ступеней лестницы стоит человек. В соответствии с указателем он передвигается на соседнюю ступеньку, и сразу после этого указатель меняет направление на противоположное. Со следующей ступеньки человек опять переступает в соответствии в указателем на соседнюю ступеньку, и указатель сразу же меняет своё направление на противоположное. Далее человек снова и снова переходит со ступеньки на ступеньку по этому же правилу. Какое наибольшее число шагов может сделать человек, пока не сойдёт с лестницы на землю или на крышу?

1966. Если число вида 11...11211...11, в десятичной записи справа от двойки столько же единиц, сколько слева, делится на 11, то оно делится и на 121. Докажите это.

1967. В наборе из одиннадцати попарно различных гирь каждая весит натуральное число граммов. Сумма масс семи самых лёгких гирь больше суммы масс четырёх самых тяжёлых. Найдите наименьшую возможную сумму масс гирь набора.

1968. Каждую вершину выпуклого четырёхугольника симметрично отразим относительно диагонали, не проходящей через эту вершину. Полученные точки — вершины четырёхугольника Q'. Докажите следующие утверждения.

а) Если Q — трапеция, то Q' — тоже.

б) Площадь четырёхугольника Q' не превосходит утроенной площади четырёхугольника Q.

1969. На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешено для любых трёх карточек узнать множество чисел, записанных на этих карточках. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа на каких карточках написаны?

1970. Существует ли такой многочлен f второй степени, что для любого натурального числа n уравнение f (f (...f (x)...)) = 0, где буква f написана n раз, имеет ровно 2n различных вещественных решений?

1971. В таблице размером 2×n расставлены положительные числа так, что сумма двух чисел любого из n столбцов равна 1. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу из каждого столбца так, чтобы для любой из двух строк сумма оставшихся её чисел не превосходила (n + 1) ⁄ 4.

1972. На плоскости расположено бесконечное множество L прямых, никакие две из которых не параллельны. Любой квадрат размером 1×1 пересекает хотя бы одна прямая множества L. Докажите существование квадрата со стороной 0,75, пересечённого не менее чем тремя прямыми множества L.

1973. I — центр вписанной окружности треугольника ABC; AB < BC; M и N — соответственно середины отрезка AC и дуги ABC описанной окружности треугольника ABC. Докажите равенство величин углов IMA и INB.

1974. На бесконечном листе клетчатой бумаги конечное число клеток покрашены чёрной краской так, что у каждой чёрной клетки чётное число белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно покрасить в синий или зелёный цвета так, чтобы у каждой чёрной клетки было бы столько же синих соседок, сколько и зелёных.

1975. а) За круглым столом сидят 100 граждан 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на два множества таким образом, чтобы в каждом множестве было по одному гражданину каждой из стран и каждый человек был в одном множестве не более чем с одним соседом.

б) За круглым столом сидят 100 граждан 25 стран, по четыре от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на четыре множества таким образом, чтобы в каждом множестве было по одному гражданину каждой страны и никто не оказался бы в одном множестве ни с одним своим соседом.

1976. Для любого натурального числа n в десятичной записи хотя бы одного из чисел n и 3n есть хотя бы одна из цифр 1, 2, 9. Докажите это.

1977. В первом ряду шахматной доски стоят 8 одинаковых чёрных ферзей, а в последнем ряду — 8 одинаковых белых ферзей. За какое минимальное число ходов белые ферзи могут поменяться местами с чёрными? Ходят белые и чёрные по очереди, передвигая по одному ферзю за ход. Ферзь ходит по вертикали, горизонтали или диагонали на любое число клеток (если на его пути нет других ферзей).

1978. Биссектрисы углов BAD и BCD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K диагонали BC. Точка M — середина отрезка BD. Прямая, параллельная AD и проходящая через C, пересекает луч AM в точке P, лежащей вне четырёхугольника. Докажите равенство DP = DC.

1979. На прямолинейной дороге стоят несколько светофоров. На каждом светофоре красный свет и зелёный свет горят по одинаковому целому числу минут (для разных светофоров эти количества могут различаться). Автогонщик в каждый момент времени либо едет с фиксированной скоростью, либо стоит на красный свет у светофора. Он изучил режим работы светофоров и утверждает, что он может проехать от начала до конца за 30 или 32 минуты, но не может доехать за 31 минуту. Могут ли его слова оказаться правдой? (Если гонщик подъезжает к светофору в момент переключения света, то он считает, что свет уже переключился.)

1980. Любой выпуклый центрально-симметричный многоугольник площади 1 можно поместить в центрально-симметричный многоугольник площади 4 ⁄ 3. Докажите это.