2026. На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD выбраны точки K, L, M и N соответственно так, что величина угла LAM равна 45°, а прямые KL и MN параллельны соответственно прямым AM и AL. Отрезок KN пересекает отрезки AL и AM в точках F и G соответственно. Докажите, что площадь треугольника AFG равна сумме площадей треугольников FKL и GMN.

2027. На доске написаны натуральные числа a, b и c. Петя записывает на листок произведение некоторых двух из этих чисел, а третье число уменьшает на 1. С новыми числами он проделывает ту же операцию, и так действует до тех пор, пока хотя бы одно из чисел не окажется равно нулю. Найдите сумму чисел, написанных на листке.

2028. Вруны всегда лгут, правдивые всегда говорят правду, а хитрецы могут и врать, и говорить правду. Можно задавать только вопросы, ответы на которые — «да» или «нет».

а) Перед нами трое — врун, правдивый и хитрец, которые знают друг про друга, кто из них кто. Найдите способ это узнать.

б) Перед нами четверо — врун, правдивый и два хитреца. Они знают друг про друга, кто из них кто. Докажите, что хитрецы могут договориться отвечать так, что мы, задавая им вопросы, не сможем ни про кого узнать наверняка, кто он.

2029. Арифметическая и геометрическая прогрессия состоят только из натуральных чисел. Каждое число, встречающееся в геометрической прогрессии, встречается и в прогрессии арифметической. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – натуральное число.

2030. Можно ли вписать октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на рёбрах куба?

2031. Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, выходящие из вершин A, B и C, вторично пересекают его описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Прямые, проходящие через точки A, B и C параллельно противоположным сторонам треугольника, пересекают эту окружность вторично в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

2032. а) Существует ли такое натуральное число n, что для любого натурального числа k хотя бы одно из чисел n^k – 1 и n^k + 1 представимо в виде ab для некоторых натуральных чисел a и b, где b > 1?

б*) Назовём натуральное число антипростым, если оно делится на квадрат любого своего простого делителя. Два натуральных числа называем близнецами, если они отличаются на 2. Конечно или бесконечно множество пар антипростых чисел–близнецов?

2033. У ведущего имеется колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (не уточняя, сверху вниз или снизу вверх). Разрешено задавать ведущему вопросы вида «Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?». Один из зрителей знает, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?

2034. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC выбраны соответственно точки X, Y и Z так, что треугольник XYZ подобен треугольнику ABC, то есть величина угла A равна величина угла X, величина угла B равна величине угла Y, а C — Z. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC равноудалён от точек пересечения высот треугольников ABC и XYZ.

2035. В ряд выписано несколько положительных чисел, ни одно из которых не превосходит числа 1. Докажите, что их можно разделить на а) три; б*) любое наперёд заданное число групп подряд идущих чисел так, чтобы суммы чисел в любых двух группах отличались не более чем на 1. (Если в группе нет ни одного числа, то сумму её чисел считаем равной 0.)

2036. Андрей, Боря и Саша поделили 20 монет так, что не все работы достались одному из них. После этого каждую минуту один из ребят отдаёт по одной монете двум другим. Через некоторое у Андрея, Бори и Саши оказалось a, b и c монет соответственно. Найдите количество возможных троек (a, b, c).

2037. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E; точки K и M — середины сторон AB и CD; L и N — проекции точки E на стороны BC и AD. Докажите перпендикулярность прямых KM и LN.

2038. Фома и Ерёма делят кучу кусков сыра. Сначала Фома, если хочет, выбирает один кусок и режет его на два. Затем он раскладывает сыр на две тарелки. После этого Ерёма выбирает одну тарелку, и они делят сыр на ней, беря себе по очереди по куску; начинает Ерёма. Так они делят сыр со второй передачи, только первым начинает Фома. Докажите, что Фома всегда может действовать так, чтобы получить не менее половины сыра (по массе).

2039. Для любого натурального n > 1 существует натуральное число z, не представимое в виде xⁿ – y!, где x и y – натуральные числа. Докажите это.

2040. Сумма квадратов n положительных чисел меньше половины суммы этих чисел, которая в свою очередь меньше четверти суммы кубов рассматриваемых n положительных чисел.

а) Докажите, что n больше 50.

б) Укажите хотя бы один пример таких чисел.

в*) Найдите наименьшее n, для которого такие числа существуют.

2041. Какое наименьшее число ладей нужно расставить на шахматной доске, чтобы все белые клетки оказались под боем (то есть для любой белой клетки либо на ней стояла ладья, либо была хотя бы одна ладья в той же вертикали или в той же горизонтали)?

2042. При 0 < x < π/2 докажите, что сумма числа tg x, возведённого в степень sin x, и числа ctg x, возведённого в степень cos x, не меньше 2.

2043. Существует ли такой набор «Юный паркетчик» из четырёх конгруэнтных четырёхугольников и одного квадрата, что из всех пяти деталей можно сложить квадрат, а из трёх конгруэнтных четырёхугольников этого набора — равносторонний треугольник?

2044. Существует ли такой многочлен f чётной степени, что для любого числа a уравнение f(x) = a имеет чётное число решений?

2045. На доске записано число 111...11, десятичная запись которого состоит из 99 единиц. Двое играют в следующую игру. Игроки ходят по очереди, каждым ходом разрешено записать ноль вместо одной из единиц, только не первой и не последней, либо стереть один из нулей. Если после некоторого хода число делится на 11, то сделавший ход игрок проиграл. Кто выиграет при правильной игре?

2046. Муха села в полдень на секундную стрелку и поехала, соблюдая следующее правило: если одна стрелка обгоняет другую и муха сидит на одной из этих стрелок, то муха пересаживается на обгоняющую стрелку. Сколько оборотов сделает муха к полуночи?

2047. Из точки T, расположенной внутри треугольника ABC, стороны AB, BC и CA видны под углом величиной 120° каждая. Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.

2048. Найдите наибольшее натуральное число k, для которого существует такое натуральное число n, что каждое из чисел n, n², ..., n^k представимо в виде x² + y² + 1, где x и y — целые числа.

2049. От правильного октаэдра с ребром 1 отрезали 6 углов — пирамид с квадратными основаниями и боковыми рёбрами длины 1/3. Получили многогранник, грани которого — квадраты и правильные шестиугольники. Можно ли копиями этого многогранника замостить пространство?

2050. В однокруговом турнире по волейболу участвовали 2n команд, ничьих не было. Назовём команду плохой, если она выиграла у победительницы турнира. Бог планирует провести турнир по олимпийской системе, причём хочет, чтобы все встречи закончились так же, как в предыдущем турнире. Докажите, что можно так составить расписание, что победит та же команда, что в предыдущем турнире, а все плохие команды проиграют уже в одном из двух первых турах.

2051. Если числа a, b и c положительные и (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) = abc, то a = b = c. Докажите это.

2052. а) Рассмотрим окружность и её хорду AB. Найдите множество точек M, находящихся от прямой AB на расстоянии, равном длине касательной, проведённой из точки M к рассматриваемой окружности. Докажите следующие утверждения. б) Для любых двух парабол, описанных около одной окружности и пересекающихся в четырёх точках, диагонали «параболического четырёхугольника» перпендикулярны. в) Для любых двух парабол, описанных около одной окружности и пересекающихся в двух точках, оси парабол наклонены под одним и тем же углом к прямой, проходящей через точки пересечения этих парабол. г) Для любых трёх парабол, описанных около одной окружности и таких, что любые две из них пересекаются в четырёх точках, главные диагонали «параболического шестиугольника» пересекаются в одной точке.

2053. Пусть n > 3. Докажите, что существуют такие целые отличные от нуля числа x₁, x₂, ..., x_n, что произведение x₁ · x₂ · ... · x_n равно произведению (s – x₁) · (s – x₂) · ... · (s – x_n), где s = x₁ + x₂ + ... + x_n.

2054. Обозначим P(x) = x² + x + 1. Существуют ли такие натуральные числа x₁, x₂, ..., x_n, k₁, k₂, ..., k_n, где а) n = 2; б) n — нечётное число; в) n = 4, что P(x₁) = x₁^k₂, P(x₂) = x₂^k₃, ..., P(x_n) = x_n^k₁?

2055. Клетки бесконечной вправо клетчатой полоски последовательно пронумерованы целыми неотрицательными числами. На некоторых клетках лежат камни. Если на n-й клетке лежат ровно n камней, разрешено снять их с неё и разложить по одному на клетки с номерами, меньшими n. Алексей распределил 2006! камней по клеткам, начиная с первой, так, что все камни можно собрать в нулевой клетке, сделав несколько операций. Найдите минимально возможный номер клетки, на которую он мог положить камень.

2056. Найдите наименьшее натуральное число, все цифры которого равны 1, являющееся разностью между некоторым натуральным числом и числом, полученным из него перестановкой цифр.

2057. 25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили следующую закономерность. Если к любому множеству мальчиков, состоящего не менее чем из 10 элементов, добавить всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в полученном множестве мальчиков на одного меньше, чем девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.

2058. Длины пяти из восьми отрезков, соединяющих вершины выпуклого четырёхугольника с серединами сторон, которым не принадлежат эти вершины, равны. Докажите равенство длин всех восьми отрезков.

2059. Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит куб некоторого натурального числа. Докажите, что она содержит и некоторый куб, не являющийся квадратом.

2060. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C' соответственно. Отрезок AA' вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна стороне BC и проходит через точку A. Прямые A'C' и A'B' пересекает прямую l в точках P и R соответственно. Докажите равенство углов PQR и B'QC'.

2061. В таблице размером 10 × 10 расставлены числа от 1 до 100 следующим образом: в верхней строке числа от 1 до 10 слева направо, во второй сверху — от 11 до 20 слева направо, и так далее. Андрей хочет разрезать таблицу на двухклеточные прямоугольники, перемножить числа в каждом прямоугольнике и сложить полученные 50 произведений. Как следует разрезать квадрат, чтобы получить как можно меньшую сумму?

2062. Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 разных точек, затем Амаяк стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стёртая точка. Докажите, что Арутюн может так договориться с Амаяком, что фокус гарантированно удастся.

2063. Назовём многогранник хорошим, если его объём, измеренный в кубометрах, численно равен площади его поверхности, измеренной в квадратных метрах. Существует ли хороший тетраэдр, размещённый внутри некоторого хорошего параллелепипеда?

2064. Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Докажите, что середина меньшей из дуг DE лежит на прямой, проходящей через центры вписанных окружностей треугольников ADE и ODE.

2065. Если x₁ — рациональное число, причём x₁ > 1, то хотя бы один член последовательности, заданной рекуррентной формулой (x_n+1 – x_n) · [x_n] = 1, где n = 1, 2, 3, ..., является целым числом. Докажите это.

2066. Квадрат со стороной 1 разрезан на 100 прямоугольников одинакового периметра p. Найдите наибольшее возможное значение величины p.

2067. Если число, десятичная запись которого состоит из n единиц, делится на n, то n делится на 3. Докажите это.

2068. В футбольном турнире участвуют mn команд, где m > 1 и n > 1. Командам присвоены номера 1, 2, ..., mn в соответствии с результатами предварительного этапа. Организаторы собираются разбить команды на m групп по n команд так, чтобы для любых двух команд сумма номеров согруппниц той из этих двух команд, номер которой меньше, была больше. При каких m и n желание организаторов осуществимо?

2069. Обозначим через f(y) расстояние от действительного числа y до ближайшего целого числа. Определим для иррационального числа x последовательность натуральных чисел q₁, q₁, q₃, ... рекуррентно: q₁ = 1, а для любого натурального числа k число q_k+1 — это такое наименьшее натуральное число, для которого выполнено неравенство f(q_k+1x) < f(q_kx). Докажите для любого натурального k неравенство q_k+2 ³ q_k + q_k+1.

2070. ABCDEF — выпуклый шестиугольник. Докажите, что главные диагонали шестиугольника, являющегося пересечением треугольников ACE и BDF, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда S_aS_cS_eS_BDF = S_bS_dS_fS_ACE, где S_ACE и S_BDF — площади треугольников ACE и BDF соответственно, а S_a, S_b, S_c, S_d, S_e и S_f — площади закрашенных на рисунке треугольников, примыкающих к точкам A, B, C, D, E и F соответственно.