2071. Пусть U(n) — минимальное натуральное число, из десятичной записи которого вычёркиванием цифр можно получить десятичную запись любого натурального числа, не превосходящего n. Сколько цифр в десятичной записи числа U(2008)?

2072. Найдите (n + 1)-ю цифру после запятой в десятичной записи квадратного корня из числа 10²ⁿ – 1.

2073. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Точка C — произвольная точка одной из этих окружностей, отличная и от P, и от Q. Точки A и B — вторые точки пересечения прямых CP и CQ с другой окружностью. Найдите множество центров описанных окружностей треугольников ABC.

2074. Посетитель обходит залы музея по следующему правилу. Находясь в некотором зале, он выбирает из всех соседних залов тот, который до этого был посещён им меньшее число раз, и переходит в него (если таких залов несколько, то переходит в любой из них). Из любого зала музея можно пройти в любой другой. Верно ли, что посетитель через некоторое время обойдёт все залы?

2075. Каждое из рёбер выпуклого многогранника параллельно перенесено так, что рёбра образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он конгруэнтен исходному?

2076. Найдите все функции f, определённые на всей вещественной оси и удовлетворяющей для любого ненулевого числа x и для любого числа y равенству x f(y) – y f(x) = f(y ⁄ x).

2077. Для каждого натурального n найдите такое наименьшее натуральное число k, что в любой таблице размером n × n, заполненной действительными числами, можно так увеличить не более k чисел, чтобы сумма чисел любого столбца стала равна сумме чисел любой строки.

2078. A' , B' и C' — основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L, расположенных по одну сторону от прямой BB'. Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

2079. Существует ли такая тройка попарно взаимно простых чисел a, b и c, больших 10¹⁰, что a⁸ + b⁸ + c⁸ делится на a⁴ + b⁴ + c⁴?

2080. Рассмотрим последовательность векторов, первые два вектора которой — векторы (0; 1) и (1; 0), а каждый следующий равен сумме своих двух предшественников. Отложим от начала координат все векторы, являющиеся суммами нескольких из векторов этой последовательности (сумма может состоять даже из одного слагаемого и таком случае совпадает с ним). Докажите, что множество концов отложенных векторов состоит из всех точек с неотрицательными координатами, лежащих внутри некоторой полосы, кроме точки (0; 0).

2081. На доске записаны три положительных числа: x, y и 1. Разрешено дописывать на доску сумму или разность каких-нибудь уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Всегда ли можно получить на доске число а) x²; б) xy?

2082. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите равенство радиусов описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и PKN.

2083. Полоса состоит из n клеток. Один игрок ставит крестики, другой — нолики. Запрещено одинаковым знакам оказываться в соседних клетках. Запрещено и ставить знак в уже занятую клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре, начинающий или его противник?

2084*. Решите уравнение x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 = y⁵ – 1 в целых числах.

2085*. Среди участников некоторого соревнования некоторые дружат между собой, причём это отношение симметрично: если Батин дружит с Ватиным, то и Ватин дружит с Батиным. Множество участников называют кликой, если каждые двое из них дружат. Пусть наибольшее возможное количество людей в клике, состоящей из участников соревнования, чётное. Докажите, что всех участников соревнования можно так рассадить в две комнаты, чтобы наибольшее возможное число людей в клике одной из этих комнат равнялось наибольшему возможному числу людей в клике второй из этих комнат.

2086. Даны арифметические прогрессии a₁, a₂, a₃, ... и b₁, b₂, b₃, ..., состоящие из натуральных чисел. Известно, что a₁ = b₁ и что для каждого натурального n разность a_n – b_n делится на n. Докажите равенство a₂ = b₂.

2087. Шахматная фигура «прожектор» бьёт один из углов, на которые делят доску проходящие через неё горизонталь и вертикаль, включая примыкающие к углу клетки горизонтали и вертикали. Например, прожектор в левом нижнем углу может бить либо одну клетку, либо нижнюю горизонталь, либо левую вертикаль, либо всю доску. Какое наибольшее число прожекторов можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

2088. Для положительных чисел x, y и z, сумма которых равна 1, сумма частных (x² + 3xy) : (x + y), (y² + 3yz) : (y + z) и (z² + 3zx) : (z + x) не больше 2. Докажите это.

2089. D — середина стороны AC треугольника ABC. Точки A₁ и A₂ — центры вписанной и касающейся отрезка AB вневписанной окружности треугольника ABD. Аналогично для треугольника CBD определим точки C₁ и C₂. Докажите, что четырёхугольник A₁A₂C₂C₁ вписанный.

2090. Пусть c₁, c₂, ..., c_n — действительные числа, S₁ = c₁, S₂ = c₁ + c₂, S₃ = c₁ + c₂ + c₃, ..., S_n = c₁+ c₂ + ... + c_n. Буквами m и M обозначим соответственно максимальное и минимальное из чисел S₁, S₂, ..., S_n. Докажите следующие утверждения:

а) сумма чисел c₁, c₁/2, ..., c₁/n, заключена между числами m и M;

б) nm £ nc₁ + (n – 1)c₂ + ... + c_n £ nM;

в) α₁m £ α₁c₁ + α₂c₂ + ... + α_nc_n £ α₁M для любой невозрастающей последовательности положительных чисел α₁, α₂, ..., α_n.

2091. Для любых натуральных чисел m и n, где n > 2, существуют n попарно взаимно простых чисел, каждое из которых больше 10¹⁰, сумма m-х степеней которых делится на их сумму. Докажите это.

2092. На рёбрах AB, BC, CD и DA тетраэдра ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно. Точки K', L', M' и N' симметричны точкам K, L, M и N относительно середин рёбер AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите равенство объёмов тетраэдров KLMN и K'L'M'N'.

2093. Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд n одинаковых монет, сам выбирая, какие орлом вверх, а какие — решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на бумаге любое натуральное число от 1 до n и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает на одну из монет и просит перевернуть её. Затем фокуснику завязывают лаза, он смотрит на ряд монет и пытается определить написанное зрителем число. Найдите все n, для которых у фокусника и его ассистента есть способ гарантированно безошибочно отгадывать число.

2094. На плоскости нарисованы выпуклые многоугольники P и Q. Для каждой из сторон многоугольника P рассмотрим ширину h многоугольника Q в соответствующем направлении (которая определяется следующим образом: зажимаем Q между прямыми, параллельными выбранной стороне многоугольника P, и обозначаем через h расстояние между этими прямыми) и умножим h на длину l выбранной стороны многоугольника P. Просуммировав все произведения hl по всем сторонам многоугольника P, получим некоторую сумму s(P,Q). Докажите равенство s(P,Q) = s(Q,P).

2095. Перед Алёшей — 100 закрытых коробочек, в каждой — либо красный, либо синий кубик. У Алёши на счёте есть рубль. Алёша подходит к любой закрытой коробочке, объявляет цвет и ставит любую сумму (можно нецелое число копеек, но не больше, чем у него на счёте на данный момент). Коробочка открывается, и счёт Алёши увеличивается или уменьшается на поставленную сумму в зависимости от того, угадан или не угадан цвет кубика. Игра продолжается до тех пор, пока не будут вскрыты все коробочки. Какую наибольшую сумму на счёте может гарантировать себе Алёша, если ему известно, что синих кубиков ровно n?

2096. Депутаты парламента образовали 2008 комиссий, каждая — не более чем из 10 человек. Любые 11 комиссий имеют хотя бы одного общего члена. Докажите, что существует человек, входящий во все комиссии.

2097. Найдите все такие простые числа p вида a² + b² + c², что a⁴ + b⁴ + c⁴ делится на p.

2098. Двое играют, делая ходы по очереди: первый рисует на плоскости многоугольник, не имеющий ни с одним из ранее нарисованных многоугольников общих внутренних точек, а второй раскрашивает очередной многоугольник в один из 2008 цветов. Второй игрок хочет, чтобы любые два многоугольника, граничащие по отрезку, были разных цветов. Может ли первый игрок помешать второму?

2099. a₀ > a₁ > a₂ > ... > a_s = 0 — последовательность целых чисел, причём числа a₀ и a₁ взаимно просты, а все остальные члены последовательности равны остатку от деления предыдущего члена последовательности на предпредыдущий. Построим последовательность, в которой b₀ = 0, b₁ = 1, а при 1 < k < s имеем b_k+1 = b_k–1 + b_k · c_k, где c_k — целая часть от деления a_k–1 на a_k. Докажите равенство b_s = a₀.

2100. В угол с вершиной O вписаны две окружности ω₁ и ω₂. Луч с началом в точке O пересекает первую окружность в точках A₁ и A₂, а вторую — в точках A₂ и B₂. Окружность γ₁ касается внутренним образом окружности ω₁ и касательных к ω₂, проведённых из A₁. Окружность γ₂ касается внутренним образом окружности &omega₂ и касательных к ω₁, проведённых из B₂.

2101. Квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c таков, что для любого действительного числа x существует такое действительное число y, что f(y) = f(x) + y. Найдите наибольшее возможное значение a.

2102. По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное равно сумме соседей, а каждое синее — полусумме соседей. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

2103. Столбцы таблицы размером n × n пронумерованы числами от 1 до n. Клетки таблицы заполнены натуральными числами, не превосходящими n, таким образом, что в каждой строке все числа различны и в каждом столбце все числа тоже различны. Клетка таблицы хорошая, если написанное в ней число больше номера столбца, в котором эта клетка находится. Для каких n существует расстановка, в которой во всех строках одно и то же количество хороших клеток?

2104. Фокусник угадывает площадь выпуклого 2008-угольника, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители соединяют эти точки отрезком и сообщают фокуснику меньшую из площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этим отрезком. В качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном фокусником численном отношении. Докажите, что за 2006 таких вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.

2105. Окружность с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На прямой AQ лежит такая точка P, что отрезок AQ перпендикулярен отрезку OP. Прямая OP пересекает описанные окружности треугольников BPQ и CPQ вторично в точках M и N. Докажите равенство OM = ON.

2106. Для каких натуральных чисел n > 1 существуют такие натуральные числа b₁, b₂, ..., b_n, что не все они равны между собой и для любого натурального k произведение (b₁ + k)(b₂ + k) ... (b_n + k) является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

2107. H и M — соответственно, точки пересечения высот и медиан неравнобедренного треугольника ABC. В вершинах A, B и C проведены прямые, перпендикулярные соответственно прямым AM, BM и CM. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.

2108. Рассмотрим конечное множество M простых чисел. Докажите существование числа, являющегося суммой p-х степеней натуральных чисел при p, принадлежащем M, и не являющегося суммой p-х степеней натуральных чисел, если простое число p не принадлежит множеству M.

2109. ABCD — выпуклый четырёхугольник. P — точка пересечения лучей BA и CD; Q — точка пересечения лучей BC и AD; H — проекция точки D на прямую PQ. Докажите, что четырёхугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.

2110*. В блицтурнире участвовали 2n + 3 шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что хотя бы один из шахматистов, игравших первую партию, играл и последнюю.

2111. Одна из клеток клетчатой полосы окрашена. Вначале фишка находится на расстоянии n клеток от окрашенной. Бросается игральная кость, и в случае выпадения k очков, где 1 £ k £ 6, фишка перемещается на k клеток по направлению к окрашенной клетке. Процесс продолжается, пока фишка не попадает в окрашенную клетку (выигрыш), или пока не проскочит окрашенную клетку (проигрыш). а) При каком натуральном n вероятность выигрыша наибольшая?

б) Найдите эту наибольшую вероятность.

2112. H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром в середине стороны BC, проходящую через точку H, пересекает прямую BC в точках A₁ и A₂; окружность с центром в середине стороны CA, проходящую через точку H, пересекает прямую CA в точках B₁ и B₂; окружность с центром в середине стороны AB, проходящую через точку H, пересекает прямую AB в точках C₁ и C₂. Докажите, что точки A₁, A₂, B₁, B₂, C₁ и C₂ лежат на одной окружности.

2113. Многочлен степени n, где n > 1, имеет различные корни x₁, x₂, ..., x_n, а его производная — корни y₁, y₂, ..., y_n–1. Докажите, что среднее арифметическое квадратов чисел x₁, x₂, ..., x_n больше среднего арифметического квадратов чисел y₁, y₂, ..., y_n–1.

2114. Существует бесконечно много натуральных чисел, не оканчивающихся нулём, в десятичных записях квадратов которых все ненулевые цифры нечётны. Докажите это.

2115. ABCD — выпуклый четырёхугольник, причём стороны BA и BC разной длины. Если существует окружность, касающаяся продолжения отрезка BA за точку A, продолжения отрезка BC за точку C и прямых AD и CD, то на этой окружности пересекаются общие внешние окружности к вписанным окружностям треугольников ABC и ADC. Докажите это.