2116. Полный набор домино выкладываем на столе в замкнутую цепь, и для всех пар соседних доминошек вычисляем модуль разности очков на клетках, которыми они соприкасаются. Каково наибольшее возможное значение суммы всех 28 таких модулей разностей?

2117. Существует ли арифметическая прогрессия из 2008 различных натуральных чисел, произведение которых является 2009-й степенью натурального числа?

2118. Расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC, величина угла A которого равна 120°, до ортоцентра (точки пересечения высот) равно AB + AC. Докажите это.

2119. Первый член бесконечной последовательности a₁, a₂, a₃, . . . равен 1. Если n > 1 и наибольший нечётный делитель числа n даёт остаток 1 при делении на 4, то a_n = a_{n – 1} + 1; если же наибольший нечётный делитель числа n даёт остаток 3 при делении на 4, то a_n = a_{n – 1} – 1. Докажите, что все члены рассматриваемой последовательности положительны, причём каждое натуральное число встречается в ней бесконечно много раз.

2120. Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m) + P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n. Докажите, что график функции y = P(x) имеет центр симметрии.

2121. Каждые две противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны. Назовём высотами шестиугольника векторы с концами на прямых, содержащих противоположные стороны, перпендикулярные им и направленные от AB к DE, от EF к BC и от CD к AF. Докажите, что вокруг шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его высот равна нулевому вектору.

2122. Любое натуральное число n, большее 17, представимо в виде суммы трёх натуральных попарно взаимно простых слагаемых, каждое из которых больше 1.

б*) Выясните, конечно или бесконечно множество натуральных чисел, не представимых в виде суммы трёх взаимно простых в совокупности натуральных слагаемых, никакие два из которых не взаимно просты.

2123. Тест состоит из 30 вопросов, на каждый из которых есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя вопрошать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем после 24-й попытки, и ответить на все вопросы при 25-й попытке?

2124. n — натуральное число; n > 2; x₁, x₂, ..., x_n — такие положительные числа, что все числа x₁² + x₁x₂ + x₂², x₂² + x₂x₃ + x₃², ..., x_n—1² + x_n—1x_n + x_n², x_n² + x_nx₁ + x₁² равны. При каких n непременно x₁ = x₁ = ... = x_n?

2125. Вписанная в треугольник окружность ω касается сторон CA и AB в точках B' и C' соответственно. Точка D, отличная от B' и C', находится на расстоянии AC от точки A. Прямые DB' и DC' пересекают второй раз окружность ω в точках B'' и C''. Докажите, что B''C'' — диаметр окружности ω, перпендикулярный отрезку AD.

2126. На вечеринке компанию из 20 человек требуется усадить за 4 стола. Рассадка удачная, если любые два человека, оказавшиеся за одним столом,— друзья. Выяснилось, что удачные рассадки существуют, причём при любой удачной рассадке за каждым столом сидят ровно по 5 человек. Каково наибольшее возможное количество пар друзей в этой компании?

2127. Внутри ветви гиперболы, заданной равенством x² = y² + 1, расположены окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом натуральном n окружность ω_n+1 касается гиперболы в двух точках и касается окружности ω_n, а окружность ω₁ радиуса 1 касается гиперболы в точке (1; 0). Докажите, что для любого натурального n радиус окружности ω_n — натуральное число.

2128. Вася отметил 10 клеток в клетчатой таблице размером 10×10. Всегда ли Петя может вырезать из этой таблицы по линиям сетки 19 фигурок, каждая из которых — одного из четырёх видов, показанных на рисунке, таким образом, чтобы фигурки не содержали ни одной отмеченной клетки?

2129. Найдите все такие пары натуральных чисел n и k, что n > 1 и 1ⁿ + 2ⁿ + ... + (n – 1)ⁿ = n^k.

2130. ABCDEF — плоский невыпуклый шестиугольник, AB = DE, BC = EF, CD = FA, а углы FAB, BCD и DEF втрое больше, соответственно, углов CDE, EFA и ABC (здесь имеются в виду внутренние углы многоугольника, некоторые из них могут быть больше 180°). Никакие две стороны стороны шестиугольника не параллельны. Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

2131. Пусть a ^ b обозначает a^b. Можно ли в выражении 7 ^ 7 ^ 7 ^ 7 ^ 7 ^ 7 ^ 7 двумя разными способами расставить скобки так, чтобы порядок действий был вполне определён и результаты были одинаковы?

2132. На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.

2133. Замок обнесён круговой стеной с девятью башнями, на которых дежурят рыцари. По истечении каждого часа все рыцари переходят на соседние башни, причём каждый рыцарь всё время движется либо по часовой стрелке, либо против. За ночь каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Был час, когда на каждой башне дежурили хотя бы по два рыцаря, и был час, когда ровно на пяти башня дежурили по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда хотя бы на одной из башен не было ни одного рыцаря.

2134. Три плоскости разрезают параллелепипед на восемь шестигранников, все грани которых — четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две остальные грани). Докажите, что если вокруг одного из шестигранников можно описать сферы, то и любой другой шестигранник вписан в сферу.

2135. Для каких n существует не являющееся квадратом число, которое превращается в квадрат при приписывании к нему слева числа, оканчивающегося на 2009 нулей?

2136. Для любых натуральных чисел k < m < n число сочетаний из n по k и число сочетаний из n по m имеют отличный от 1 общий делитель. Докажите это.

2137. H, I и O — соответственно, ортоцентр (точка пересечения высот) и центры вписанной и описанной окружностей остроугольного треугольника ABC. Докажите, что если точки A, O, I и H лежат на одной окружности, то она проходит и хотя бы через одну из вершин B и C.

2138. В ячейку памяти компьютера записали число 6. Компьютер на n-м шаге увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Таким образом получаем последовательность чисел 6, 7, 8, 9, 10, 15, 18, 19, 20, 21, 22, 33, ... Докажите, что на каждом шаге число в ячейке увеличивается либо на 1, либо на простое число.

2139. Можно ли так раскрасить натуральные числа в 2009 цветов, чтобы каждый цвет встречался бесконечно много раз и не нашлось бы трёх чисел, покрашенных в три разных цвета и таких, что наибольшее из них равно произведению двух остальных?

2140. Восемь клеток диагонали a1–h8 назовём забором. Ладья ходит по доске, не оказываясь ни на какой клетке более одного раза и не ходя на клетки забора. Какое наибольшее число прыжков через забор может она совершить?

2141. Биссектриса угла ABC пересекает отрезок AC в точке D, а описанную окружность Ω треугольника ABC — в точке E. Из точки F окружности Ω отрезок DE виден под прямым углом. Докажите, что прямая, симметричная прямой BF относительно прямой BD, пересекает отрезок AC в его середине.

2142. Сколько раз функция cos x · cos x/2 · cos x/3 · ...· cos x/2009 меняет знак на отрезке [0; 2009π/2]?

2143. Рассмотрим автоморфизм дерева, то есть такую перестановку его вершин, что любые две вершины, соединённые ребром, переходят в вершины, тоже соединённые ребром. Докажите, что если ни одна вершина не остаётся на месте, то существуют такие две вершины, которые автоморфизм меняет местами.

2144. В круговой траншее выкопаны 100 окопов. В одном из окопов спрятался пехотинец. За один залп разрешено выстрелить 4 снарядами в 4 соседних окопа. Если хотя бы в одном из них был пехотинец, то игра заканчивается. Если же этого не произошло, то пехотинец сразу после залпа перебегает из своего окопа в один из двух соседних окопов. За какое наименьшее число залпов можно наверняка уничтожить пехотинца?

2145. Даны натуральные числа x и y из отрезка [2; 100]. Докажите, что хотя бы для одного натурального числа n число x²ⁿ + y²ⁿ составное.

2146. На координатной плоскости нарисовали 2008 графиков квадратных трёхчленов. Может ли оказаться, что для каждого из них существует прямая, имеющая общие точки с любым графиком, кроме него?

2147. В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости записано действительное число так, что все бесконечные в обе стороны горизонтальные и вертикальные последовательности чисел периодические. Докажите, что существует бесконечно много горизонтальных последовательностей с различными наименьшими периодами тогда и только тогда, когда существует бесконечно много вертикальных последовательностей с различными наименьшими периодами.

21498. По кругу выписаны числа 1, 2, 3, ..., 99, 100 в некотором порядке. Петя вычислил 100 сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшую из этих сумм. Какое наибольшее число могло быть написано на доске?

2149. Длины отрезков AB и BC равны. Точка D расположена внутри треугольника ABC так, что величина угла ADC в два раза больше величины угла ABC. Докажите, что расстояние от точки B до внешней биссектрисы угла ADC равно полусумме длин отрезков AD и DC.

2150. В стране Леонардии все дороги — с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города. Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число жителей в городах, откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него. Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго.

1               1 1 1           1 2 3 2 1       1 3 6 7 6 3 1   1 4 10 16 19 16 10 4 1

2151. Числовой треугольник составлен по следующему правилу. В первой строке — одно число, равное 1. В k-й строке, где k = 2, 3, 4, ..., записываем 2k – 1 чисел, каждое из которых равно сумме трёх чисел: числа, стоящего над ним и двух его соседей в предыдущей строке (если некоторых из таких трёх чисел нет, то их считаем равными 0). Докажите, что в среднем столбце не встретится ни одного числа, дающего остаток 2 при делении на 3.

2152*. Пару (a, a) различных простых чисел называем особой, если существует a, представимое в виде a = x^p + y^p = z^q + t^q для некоторых натуральных x, y, z и t, но не представимое в виде a = u^pq + v^pq, где a и a — натуральные числа. Докажите, что любое простое число a входит в бесконечное число особых пар.

2153. Сумма величин телесных углов при вершинах выпуклого многогранника равна π. Докажите, что существует замкнутый маршрут по его рёбрам, проходящий через каждую его вершину ровно один раз. (Телесный угол как величина многогранного угла измеряется площадью фигуры, высекаемой этим многогранным углом на единичной сфере. Площадь всей единичной сферы равна 4π.)

2154. Каждая клетка доски размером 2009×2009 покрашена в один из двух цветов так, что у каждой клетки соседей (по стороне) своего цвета меньше, чем соседей другого цвета. Какое наибольшее значение может принимать разность между количеством клеток одного и другого цветов?

2155. Найдите 2009-значное число, отношение которого к сумме его цифр минимально.

2156. Вася и Петя нарисовали по выпуклому четырёхугольнику. Каждый из них записал на листочке длины всех сторон своего четырёхугольника и двух его диагоналей. В результате на их листочках оказались два одинаковых набора из 6 различных чисел. Обязательно ли четырёхугольники Васи и Пети конгруэнтны?

2157. На доске выписано 20 делителей числа 70!. Докажите, что можно стереть некоторые из них так, чтобы произведение оставшихся являлось полным квадратом.

2158. Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. P и Q — внутренние точки отрезков AC и AB соответственно. Точки K, L и M — середины отрезков BP, CQ и PQ соответственно, а ω — окружность, проходящая через точки K, L и M. Прямая PQ касается окружности ω. Докажите равенство OP = OQ.

2159*. Найдите все такие пары чисел (k, c), где k — натуральное, c — целое, что для всех натуральных n кроме, быть может, конечного их числа, число n(n + 1) ... (n + k – 1) + c является точной степенью (большей 1 и может быть, зависящей от n) натурального числа.

2160. Даны попарно различные положительные числа a₁, a₂, ..., a_n, а также множество M, состоящее из n – 1 числа, но не содержащее s = a₁ + a₂ + ... + a_n. Кузнечик должен сделать n прыжков вправо по числовой прямой, стартуя из точки с координатой 0. При этом длины его прыжков должны равняться числам a₁, a₂, ..., a_n, взятым в некотором порядке. Докажите, что этот порядок можно выбрать таким образом, чтобы кузнечик ни разу не приземлился в точке, имеющей координату из множества M.