2161. 100 пиратов сыграли в карты на золотой песок, а потом каждый посчитал, сколько он в сумме выиграл либо проиграл. У каждого проигравшего хватает золота, чтобы расплатиться. За одну операцию пират может либо раздать всем поровну золота, либо получить с каждого поровну золота. Докажите, что можно за несколько таких операций добиться того, чтобы каждый получил (в сумме) свой выигрыш либо выплатил проигрыш. (Разумеется, общая сумма выигрышей равна сумме проигрышей.)

2162. Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, назовём хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Сейф откроется, если введён хороший код и на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответствующей цифрой пароля. За какое наименьшее количество попыток можно с гарантией открыть сейф?

2163. Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что а) (a + b²)(b + a²) является степенью двойки; б) (a + b³)(b + a³) является степенью тройки.

2164. а) На клетчатую плоскость положили 2009 одинаковых квадратов n × n клеток. Затем отметили все клетки, которые покрыты нечётным числом квадратов. Докажите, что отмеченных клеток не меньше, чем n².
б) На прямоугольный лист бумаги положили 2009 одинаковых единичных квадратов, стороны которых параллельны краям листа. Затем закрасили все области, которые покрыты нечётным числом квадратов. Докажите, что площадь закрашенной части листа не меньше 1.

2165. К двум окружностям ω₁ и ω₂, пересекающимся в точках A и B, проведена их общая касательная CD (C и D — соответствующие точки касания, точка B ближе к прямой CD, чем A). Прямая, проходящая через A, вторично пересекает ω₁ и ω₂ в точках K и L соответственно (A лежит между K и L). Прямые KC и LD пересекаются в точке P. Докажите, что прямая PB симметрична относительно биссектрисы угла KPL медиане треугольника KPL, проведённой из вершины P.

2166. Обозначим через [n]! произведение 1 · 11 · 111 · ... · 11...11 (запись последнего из n сомножителей состоит из n единиц. Докажите, что число [m + n]! делится на произведение [m]! · [n]!.

2167*. Оля и Максим оплатили путешествие по архипелагу из 2009 островов, где некоторые острова связаны двусторонними маршрутами катера. Они путешествуют, играя. Сначала Оля выбирает остров, на который они прилетают. Затем они путешествуют вместе на катерах, по очереди выбирая остров, на котором ещё не были (первый раз выбирает Максим). Кто не сможет выбрать остров, проиграл. Докажите, что при любой схеме маршрутов Оля может выиграть, как бы ни играл Максим.

2168*. Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность ω. Пусть R₁ — радиус окружности, касающейся отрезков AB, AD и окружности ω, R₂ — радиус окружности, касающейся отрезков CB, CD и окружности ω. Проводятся всевозможные дуги окружности BD, разбивающие четырёхугольник на два криволинейных треугольника. Докажите, что сумма радиусов, вписанных в эти криволинейные треугольники, не зависит от выбора дуги BD тогда и только тогда, когда R₁ = R₂.

2169. Каждая сторона остроугольного треугольника ABC меньше соответствующей стороны треугольника A'B'C'. Докажите неравенство R < R', где R и R' — радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и A'B'C' соответственно.

2170. Окружность пересекает график функции y = x³ –2009x в шести точках. Найдите сумму абсцисс этих точек.

2171. Можно ли разбить при каком-то натуральном k все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?

2172. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD, BE и CF, пересекающиеся в точке I. Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N. Докажите, что точки A, I, M и N лежат на одной окружности.

2173. p > 3 — простое число, a и b — такие целые числа, что a² + ab + b² делится на p. Докажите, что (a + b)^p – a^p – b^p делится а) на p²; б*) на p³.

2174. а) Существуют ли четыре конгруэнтных многоугольника, любые два из которых граничат по отрезку и не имеют общих внутренних точек?

б) Тот же вопрос для четырёх конгруэнтных выпуклых многоугольников.

2175. Пусть S — множество из n действительных чисел, лежащих на отрезке [0, 1]. Для некоторого k, где 0 < k < n, хорошим называем k-элементное подмножество A множества S, если разность между средним арифметическим k чисел множества A и средним арифметическим n – k чисел из S, не принадлежащих A, не превосходит частного от деления n на 2k(n – k). Докажите, что среди всех k-элементных подмножеств множества S доля хороших подмножеств составляет не менее 2 ⁄ n.

2176. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N. Докажите, что медианы треугольников ABM, ADN и CMN, проведённые соответственно из вершин B, D и C, пересекаются в одной точке.

2177. Существует ли такой угол α, что для любого натурального n число cos nα рационально, а число sin nα иррационально?

2178. В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между некоторыми двумя городами, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды.

2179. В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин — по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.

2180. Многочлен x²⁰¹⁰ разделили на многочлен x³ – 6x² + 11x – 6 с остатком. В качестве неполного частного был получен многочлен P(x). Докажите, что коэффициенты многочлена P(x) положительны.

2181*. Даны n бесконечных в обе стороны арифметических прогрессий. Каждое из чисел 1, 2, 3, ..., 2n! принадлежит хотя бы одной из прогрессий. Докажите, что каждое целое число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий. На сколько можно уменьшить число 2n!, чтобы утверждение осталось верным?

2182*. Дан выпуклый четырёхугольник A₁A₂A₃A₄, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждого k = 1, 2, 3, 4 рассмотрим окружность ω_k, лежащую вне четырёхугольника, касающуюся прямых A_k–1A_k, A_k+1A_k+2, и касающуюся отрезка A_kA_k+1 в точке A_k (индексы рассматриваются по модулю 4, так что A₀ = A₄, A₅ = A₁ и A₆ = A₂). Докажите, что прямые A₁A₂, A₃A₄ и T₂T₄ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямые A₂A₃, A₄A₁ и T₁T₃ пересекаются в одной точке.

2183. Дано натуральное число n. Назовём множество K, состоящее из точек плоскости с целыми координатами, связным, если для любых двух точек R и S множества K существуют натуральное m и такая последовательность точек R = T₀, T₁, ..., T_m = S, принадлежащих K, что длина любого отрезка вида T_kT_k+1 равна 1. Для связного множества K обозначим через δ(K) количество различных векторов вида RS, где точки R и S принадлежат множеству K. Найдите максимально возможно значение δ(K), если K пробегает все связные множества из 2n + 1 точек плоскости с целыми координатами.