Задачник по математике. КВАНТ

Задачник «Кванта» по математике

Условия задач

1970 год

1. В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 000 000 избирателей, один процент которых (регулярная армия Анчурии) поддерживает Мирафлореса. Он хочет быть президентом, но, с другой стороны, хочет, чтобы выборы казались демократическими. «Демократическим голосованием» Мирафлорес называет вот что: всех избирателей разбивают на несколько равных групп, затем каждую из этих групп вновь разбивают на некоторое количество равных групп, затем эти последние группы снова разбивают на равные группы и так далее; в самых мелких группах выбирают представителя группы — выборщика, затем выборщики выбирают представителей для голосования в ещё большей группе и так далее; наконец, представители самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес сам делит избирателей на группы. Может ли он так организовать выборы, чтобы его избрали президентом? (При равенстве голосов побеждает оппозиция.)

2. Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_n радиуса r, где n > 2. Окружность γ₀ касается всех окружностей γ₁, ..., γ_n; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁ и γ₂, γ₂ и γ₃, ..., γ_n и γ₁. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

3. а) На рисунке плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах квадратной сетки. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

б) На другом рисунке плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе цветов возможно аналогичное построение?

Примечание автора задачи. В пункте а) количество цветов может равняться единице (все квадраты одного цвета) и двум (как на шахматной доске). В пункте б) второй задаче вы без труда найдёте решения с одним цветом и с тремя цветами. Желательно дать полное решение задач, то есть описать все раскраски, удовлетворяющие указанным условиям. Подумайте, например, существует ли во второй задаче решение с тринадцатью цветами?

Примечание редакции. Автор задачи забыл потребовать, чтобы решётки, соответствующие разным цветам, получались друг из друга параллельными переносами. Без этого требования задача гораздо проще и менее интересна, чем с ним. Решите её в обеих формулировках!

4. Дан отрезок AB. Найдите множество таких точек C плоскости, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B.

5*. В множестве E, состоящем из n элементов, выделены m различных подмножеств (отличных от самого E) так, что для любых двух элементов множества E существует единственное выделенное подмножество, содержащее оба элемента. Докажите неравенство m ³ n. В каких случаях возможно равенство? Решение М5.

6. Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая — минутная? (Положения стрелок можно определить точно, но следить за движением стрелок нельзя.)

7. a, b, c — длины сторон треугольника. Докажите, что сумма чисел ^a⁄_{(b + c – a)}, ^b⁄_{(c + a – b)} и ^c⁄_{(a + b – c)} больше или равна 3.

8. Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце игры — после того, как все спички будут разобраны,— окажется чётное число спичек. Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнёр? Как он должен играть, чтобы выиграть? Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное число спичек?

Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек 2n + 1 и разрешено брать любое число спичек от 1 до m.

9. Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдром мы называем произвольную треугольную пирамиду):

все грани равновелики, то есть имеют одну и ту же площадь;
каждое ребро равно противоположному;
все грани конгруэнтны;
центры описанной и вписанной сфер совпадают;
для любой вершины тетраэдра сумма величин сходящихся в этой вершине плоских углов равна 180°.

Докажите, что все эти свойства эквивалентны. Найдите ещё два-три эквивалентных свойства.

10. Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

11. а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по часовой стрелке, другой — против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.

б) А если чижей и деревьев n?

12. Какие четырёхугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между собой четырёхугольника?

13. Если разность между наибольшим и наименьшим из n данных вещественных чисел равна d, а сумма модулей всех n(n – 1) ⁄ 2 попарных разностей этих чисел равна s, то (n – 1)d £ s £ n²d ⁄ 4. Докажите это.

14. Некоторые грани выпуклого многогранника покрашены так, что никакие две покрашенные грани не имеют общего ребра. Докажите, что в этот многогранник нельзя вписать шар, если а) покрашенных граней больше половины; б) сумма площадей покрашенных граней больше суммы площадей непокрашенных граней.

15. Квадратная таблица размером n×n заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.

16. Многочлен с целыми коэффициентами, который при трёх различных целых значениях переменной принимает значение 1, не может иметь ни одного целого корня. Докажите это.

17. Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: «Как пройти в село NN?» Ему ответили: «Иди по левой дороге до деревни N — это в восьми верстах отсюда,— там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога,— это как раз дорога в NN. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге,— значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN.» —«Ну, а какой путь короче-то будет?» —«Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы». И пошёл крестьянин по правой дороге.

Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до NN напрямик? (Все дороги прямые.)

18. а) Для любой точки М описанной около правильного треугольника АВС окружности длина одного из отрезков МА, МВ и МС равна сумме длин двух других. Докажите это.

б) Три равные окружности касаются друг друга, а четвёртая окружность касается всех трёх. Докажите, что для любой точки четвёртой окружности длина касательной, проведённой из неё к одной из трёх окружностей, равна сумме длин касательных, проведённых из неё к двум другим окружностям.

19. В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени возбудить три соседние клетки, а остальные оставить в покое, то возбуждение будет распространяться так, как показано на рисунке.

а) Пусть в начальный момент времени возбуждена только одна клетка. Сколько клеток будет находится в возбужденном состоянии через 15 мсек? через 65 мсек? через 1000 мсек? вообще через t мсек?

б) Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а состоит из N клеток, соединённых в окружность,— будет ли возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет?

20. Разбейте правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорок них. (Прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.)

21. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите существование прямой, пересекающей по крайней мере четыре из этих окружностей.

22. а) В угол вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная Т₁Т₂ (где Т₁ и Т₂ — точки касания), пересекающая стороны угла в точках А₁ и А₂. Докажите равенство А₁Т₁ = А₂Т₂ (или, что эквивалентно, А₁Т₂ = А₂Т₁).

б) В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках K₁ и K₂, другая — в точках L₁ и L₂. Докажите, что прямая К₁L₂ высекает на окружностях хорды равной длины.

23. Для любого натурального числа n, большего единицы, квадрат отношения произведения первых n чётных чисел к произведению первых n нечётных чисел больше числа ⁸ⁿ⁄₃, но меньше числа 4n. Докажите это.

24. Любую дробь ^m⁄_n, где m, n — натуральные числа, 1 < m < n, можно представить в виде суммы нескольких дробей вида ¹⁄_q, причём таких, что знаменатель каждой следующей из этих дробей делится на знаменатель предыдущей дроби. Докажите это. (Например, дробь ³⁄₄₃ является суммой дробей ¹⁄₁₅, ¹⁄₃₃₀ и ¹⁄_14 190.)

25. В множестве, состоящем из n элементов, выбрано 2^{n – 1} подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент. Решение М25.

26. Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через f (x, y) номер первой из задач x-го номера за y-й год. Напишите общую формулу для f (x, y), где 1 £ x £ 12 и 1970 £ x £ 1989. Решите уравнение f (x, y) = y.

Например, f (6, 1970) = 26. Начиная с 1989 года, количество задач стало менее предсказуемым. Например, в последние годы в половине номеров по 5 задач, а в других номерах по 10. Да и самих номеров журнала сейчас уже не 12, а 6.

27. Если сумма дробей ^a⁄_{(b – c)}, ^b⁄_{(c – a)} и ^c⁄_{(a – b)} равна 0, то сумма дробей ^a⁄_{(b – c)²}, ^b⁄_{(c – a)²} и ^c⁄_{(a – b)²} тоже равна 0. Докажите это.

28*. а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, есть в ней хотя бы один радиоактивный шар или нет, но нельзя узнать, сколько таких шаров в кучке. Докажите, что за 8 проверок можно выделить оба радиоактивных шара.

б) Из 11 шаров 2 радиоактивны. Докажите, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать выделение обоих радиоактивных шаров.

29. На столе лежат n одинаковых монет, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?

Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки?

30. Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек и расстояние между любыми двумя из которых больше 1. Докажите это. (Расстояние между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.)

31. Квадратный лист бумаги разрезают по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезают на две части, и так делают много раз. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

32. Во всех клетках таблицы размером 100×100 стоят плюсы. Разрешено одновременно изменить знаки во всех клетках одной строки или во всех клетках одного столбца. Можно ли, проделав такие операции несколько раз, получить таблицу, где ровно 1970 минусов? Решение М32.

33*. Рассмотрим натуральное число n > 1000. Найдём остатки от деления числа 2ⁿ на числа 1, 2, 3, ..., n и сложим все эти остатки. Докажите, что сумма больше 2n.

34. Если натуральное число делится на 10 101 010 101, то по крайней мере шесть цифр его десятичной записи отличны от нуля. Докажите это.

35*. Около сферы с радиусом 10 описан некоторый 19-гранник. Докажите, что на его поверхности есть две точки, расстояние между которыми больше 21.

36. На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.

37*. В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы. а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.

б) Докажите, что можно взять c = 4.

в) Улучшите эту оценку — докажите, что утверждение верно для c = 3.

г) Постройте пример, показывающий, что при c < 3 утверждение неверно.

38. Окружность, построенная на высоте АD прямоугольного треугольника АВС как на диаметре, пересекает катет АВ в точке K, а катет АС — в точке М. Отрезок KМ пересекает высоту АD в точке L. Длины отрезков АK, АL и AM составляют геометрическую прогрессию (то есть AK/AL = AL/AM). Найдите величины острых углов треугольника АВС.

39*. Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству

x² – mxy + y² = 1

тогда и только тогда, когда x и y — соседние члены последовательности φ₀ = 0, φ₁ = 1, φ₂ = m, φ₃ = m² – 1, φ₄ = m³ – 2m, φ₅ = m⁴ – 3m² + 1, ..., в которой φ_k+1 = mφ_k – φ_k–1 для любого k > 0. Докажите это.

Этот красивый факт был использован в работе Ю.В. Матиясевича, посвящённой десятой проблеме Д. Гильберта, о которой рассказано в седьмом номере «Кванта» за 1970 год.

40. а) Найдите сумму 1 · n + 2 · (n – 1) + 3 · (n – 2) + ... + n · 1.

б) Решите следующую, более общую задачу: найдите величину S_n,k, являющуюся суммой n – k + 1 слагаемых, m-е из которых равно произведению произведения чисел от m до k + m – 1 и произведения чисел от n – k + 2 – m до n + 1 – m.

41. Дана окружность, её диаметр AB и точка C на этом диаметре. Постройте на окружности две точки X и Y, симметричные относительно диаметра АВ, для которых прямая YC перпендикулярна прямой ХА.

42. Цифры некоторого семнадцатизначного числа записали в обратном порядке. Полученное число сложили с первоначальным. Докажите, что хотя бы одна из цифр суммы чётна.

43. Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на n равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на n² треугольничков. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке, в которой ни один треугольничек не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим?

44. Для любого натурального числа k существует бесконечно много натуральных чисел t, не содержащих в десятичной записи нулей и таких, что сумма цифр числа kt равна сумме цифр числа t. Докажите это.

45*. а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.

б) Из любых 2n – 1 целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n. Докажите это.

46. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

47. Из цифр 1 и 2 составили пять n-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в m разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что отношение ^m⁄_n не меньше ²⁄₅ и не больше ³⁄₅.

48. Биссектриса AD, медиана BM и высота CH остроугольного треугольника ABC пересекаются в одной точке. Докажите, что величина угла BAC больше 45°.

49. На карточках написали все числа от 11 111 до 99 999 включительно и выложили эти карточки в цепочку в произвольном порядке. Докажите, что полученное 444 445-значное число не является степенью двойки.

50*. Вершины правильного n-угольника покрашены несколькими красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что среди этих многоугольников есть два конгруэнтных.

51. Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите это.

52. Пять отрезков таковы, что из любых трёх можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из десяти таких треугольников остроугольный.

53. В треугольнике АВС через середину М стороны ВС и центр О вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая МО, пересекающая высоту АН в точке Е. Докажите, что отрезок АЕ равен радиусу вписанной окружности.

54. Два конгруэнтных прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь пересечения этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.

55. Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа k £ n сумма k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме k-х степеней всех чисел второго множества.

56. На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. В промежутке между двумя одинаковыми числами пишем нуль, между разными цифрами — единицу, а после этого первоначальные цифры стираем. Докажите, что сколько бы раз мы ни повтoрили этот процесс, мы никогда не получим набор из девяти нулей. Решение М56.

57. a) Найдите число, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и само число).

б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то таких чисел несколько, а если на 17 — ни одного.

58. На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Прямые — биссектрисы некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. Постройте этот треугольник.

59. При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., n г можно разложить на три равные по массе кучки?

60. Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

1971 год

61. Выписаны числа 0, 1, 2, 3,..., 1024. Первый мудрец вычёркивает по своему выбору 512 чисел, второй вычёркивает 256 из оставшихся чисел, затем первый вычёркивает 128 чисел, потом второй — ещё 64 числа и так далее. Своим последним пятым ходом второй вычёркивает одно число. Остаются два числа, и второй платит первому разницу между этими числами. Как надо играть первому игроку, чтобы получить как можно больше? Как второму, чтобы проиграть как можно меньше? Сколько уплатит второй первому, если оба будут играть наилучшим образом?

62. Для любого нечётного натурального числа a существует такое натуральное число b, что 2^b – 1 делится на a. Докажите это.

63. Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соeдиняющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? (Изображённое на рисунке расположение плиток не годится, поскольку есть красный «шов».)

64. На плоскости даны прямая l и две точки Р и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l такую точку М, для которой расстояние между основаниями высот треугольника РQМ, опущенных на стороны РМ и QМ, наименьшее.

65. а) Пусть 0 < k < 1. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC отметим точки K, L и M таким образом, что AM : MB = BK : KC = CL : LA = k. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми АK, BL и CM, к площади треугольника АВС.

б) Разрежьте треугольник шестью прямыми на такие части, из которых можно сложить семь равных треугольников.

3² + 4² = 5²,
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²,
55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65².
66. Вот несколько примеров, когда сумма квадратов k последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов k – 1 следующих натуральных чисел. Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.

67. Ювелиру заказали золотое кольцо шириной h, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром О и поверхностью цилиндра радиусом r, ось которого проходит через точку О. Мастер сделал такое колечко, но выбрал r слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если r нужно увеличить в k раз, а ширину h оставить прежней?

68. Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в точке О, прямой l, проходящей через точку О, и всевозможных касательных к окружностям, параллельных l. Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол).

69. Последние две цифры числа 76² = 5776 — это снова 76.

а) Существуют ли ещё такие двузначные числа?

б) Найдите все такие трёхзначные числа a, что последние три цифры числа a² составляют число a.

в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр a₁, a₂, a₃, ..., что для любого натурального n квадрат числа a_na_n–1 ... a₂a₁ оканчивается на эти же n цифр? (Очевидный ответ a₁ = 1 и 0 = a₂ = a₃ = ... мы исключаем.)

70. Пусть l₁, l₂, ..., l_n — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке X₁, X₂, ..., X_n так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой l_k в точке X_k (для любого натурального k < n), проходил через точку X_{k + 1}, а перпендикуляр, восставленный к прямой l_n в точке X_n, проходил через точку X₁.

Сформулируйте и докажите аналогичную теорему в пространстве.

71. а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.

б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом — в строках: обязательно ли в результате получится та же самая таблица, что и в первом случае, или может получиться другая?

72. Пусть p — произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.

73. На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (причём все такие возможности равновероятны), окажется, что угаданы ровно 4 клетки? 5 клеток? ... все 8 клеток?

74. Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x). Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – ^a⁄₂)².

Например, если p(x) = x⁵ + (1 – x)⁵, то, очевидно, p(x) = p(1 – x) и, как нетрудно проверить, p(x) = 5y² + 2,5y + 0,0625, где y = (x – 0,5)².

75. Для любого выпуклого многогранника докажите следующие утверждения.

а) Сумма длин рёбер больше утроенного диаметра. (Диаметр многогранника — это наибольшая из длин отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Для любых вершин A и B многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по его рёбрам из А в В и никакие две не проходят по одному ребру.

в) Если разрезать два ребра, то для любых вершин А и В многогранника существует соединяющая их ломаная, идущая по оставшимся рёбрам.

г) В пункте б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, кроме точек А и В.

76. В некоторой компании у каждых двух незнакомых ровно двое общих знакомых, а у любых двоих знакомых нет больше ни одного общего знакомого. Докажите, что в этой компании каждый знаком с одним и тем же числом людей.

77. Длины двух сторон треугольника равны 10 и 15. Докажите, что длина биссектрисы угла между ними не больше 12.

78. Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде

((x + y)² + 3x + y) ⁄ 2,

где x и y — целые неотрицательные числа. Докажите это.

79. Точки P и Q движутся по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью v. Докажите, что на плоскости существует неподвижная и всё время равноудалённая от точек P и Q точка.

80. В прямоугольной таблице расставлены произвольные числа. Разрешено одновременно изменить знак у всех чисел какого-то одного столбца или у всех чисел какой-то одной строки. Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить таблицу, у которой неотрицательна как сумма чисел любого столбца, так и сумма чисел любой строки.

81. Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ взята произвольная точка P. Из вершины A₁ опущен перпендикуляр на прямую A₂P, из вершины A₂ — на A₃P, из A₃ — на A₄P, из A₄ — на A₁P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

82. На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то она смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

83*. Числа первых n натуральных чисел ни при каком n > 1 нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого. Докажите это.

84*. А — основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую BC, причём ВA = АС. Через точки В и С проведены секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Р и Q, вторая — в точках M и N. Пусть прямые РM и QN пересекают прямую BC в точках R и S. Докажите равенство AR = AS. (Эту задачу и некоторые её варианты называют «задачей о бабочке»; происхождение названия ясно из рисунка.)

85*. Для любых натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_m, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b₁, b₂, ..., b_m сумма a₁^{1 ⁄ 2} · b₁ + a₂^{1 ⁄ 2} · b₂ + ... + a_m^{1 ⁄ 2} · b_m не равна нулю. Докажите это.

86. Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.

87. Если три окружности одинаковых радиусов проходят через некоторую точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности того же радиуса. Докажите это.

88. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a, b, c уравнения x³ + ax² + bx + c = 0, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

89. В любом выпуклом многоугольнике, не являющемся параллелограммом, существуют три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.

90. Если x₁ < x₂ < x₃ < ... < x_n — натуральные числа, то сумма n – 1 дробей, k-я из которых, где k < n, равна отношению квадратного корня из разности x_k+1 – x_k к числу x_k+1, меньше суммы чисел 1, ¹⁄₂, ¹⁄₃, ..., ¹⁄_n². Докажите это.

91. Двое играют в «крестики-нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй игрок каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). а) Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик.

б) Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а два или даже только один нолик. Каков здесь будет результат при правильной игре партнёров: удастся ли ноликам «запереть» крестики (и можно ли оценить сверху число ходов, которые могут «продержаться» крестики) или же крестики могут играть бесконечно долго?

Изучите другие варианты этой игры: когда соседними с данной считаем только клетки, имеющие с ней общую сторону; когда плоскость разбита не на квадраты, а на правильные шестиугольники; когда первому разрешено ставить сразу p крестиков, а второму — q ноликов.

92. Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день — решать задачи по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети «приятных» дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? Сколько «скучных», когда совсем не будет никаких дел?

93. Каждое из n данных чисел, выписанных вдоль окружности, было равно единице или минус единице. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а сами числа после этого стёрли. Сумма оставшихся n произведений оказалась равна нулю. Докажите, что n делится на четыре.

94*. Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней — треугольник. Докажите это.

95. На доске начертили трапецию и её среднюю линию ЕF. Из точки О пересечения диагоналей на большее основание опустили перпендикуляр ОK и стёрли трапецию. Восстановите чертёж по сохранившимся отрезкам EF и KО.

96. Пять положительных чисел таковы, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.

97. В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A₁B₁, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A₂B₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A₁B₁, A₂B₂,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
... ... ... ... ... ... ... ... ...
98. Верхняя строка таблицы состоит из одного лишь числа 1. Всякое другое её число равно сумме чисел, стоящих над ним непосредственно сверху, слева–сверху или справа–сверху. Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, есть хотя бы одно чётное число.

99. В треугольнике ABC сторона AC — наибольшая. Докажите, что для любой точки M плоскости сумма длин отрезков AM и CM не меньше длины отрезка BM. В каких случаях возможно равенство?

100*. Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177° равна 45. Докажите это.

101. Колония состояла из n бактерий. В неё попал вирус, который в первую минуту уничтожил одну бактерию, а затем разделился на два новых вируса. Одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже разделилась на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожили две бактерии, и затем оба вируса и все выжившие бактерии снова разделились, и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или вымрет?

102. Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек A и B существует такая точка С этого множества, что треугольник ABC равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

103. Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений

x² + y² + xy = a,

x² – y² = b,

где а и b – некоторые данные действительные числа.

104. Внутри треугольника АВС лежат такие две точки Р и Q, что отрезки АР и АQ составляют равные углы с биссектрисой угла А треугольника, а отрезки BP и BQ составляют равные углы с биссектрисой угла B. Докажите, что отрезки СР и СQ составляют равные углы с биссектрисой угла С.

105. Сумма цифр числа после умножения может уменьшиться: 75 · 8 = 600 — сумма цифр была 7 + 5 = 12, а стала 6 + 0 + 0 = 6. Однако она не может уменьшиться более, чем в 8 раз. а) Докажите это. Другими словами, докажите для любого натурального числа n неравенство s(n) £ 8s(8n), где s(a) — сумма цифр десятичной записи числа a.

б) Для каких ещё натуральных чисел k существует такое положительное число c_k, что для любого натурального n справедливо неравенство c_ks(n) £ s(kn)? в) Найдите для каждого такого k наибольшее подходящее значение c_k.

106. Если для чисел p₁, p₂, q₁ и q₂ выполнено неравенство (q₁ – q₂)² + (p₁ – p₂)(p₁q₂ – p₂q₁) < 0, то квадратные трёхчлены x² + p₁x + q₁ и x² + p₂x + q₂ имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого. Докажите это.

107. а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ — точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ — точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство

A₁B₁ · A₂B₂ · ... · A_nB_n = A₁D₁ · A₂D₂ · ... · A_nD_n.

б) Для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ — точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ — точки B₃ и D₁, причём A₁B₁ · A₂B₂ · A₃B₃ = A₁D₁ · A₂D₂ · A₃D₃, а четырёхугольники A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃ — параллелограммы, то прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃ пересекаются в одной точке. Докажите это.

108. а) Прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник. Докажите это.

б) Докажите аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно вписать окружность.

109. В вершине A₁ правильного 12-угольника A₁A₂A₃...A₁₂ стоит знак минус, а в остальных — плюсы. Разрешено одновременно поменять знак на противоположный в любых последовательных а) шести; б) четырёх; в) трёх вершинах многоугольника. Докажите, что при помощи таких операций нельзя добиться того, чтобы в вершине A₂ оказался знак минус, а в остальных вершинах — плюсы.

110*. Несколько клеток бесконечного листа клетчатой бумаги окрашены. Докажите, что из листа можно вырезать несколько квадратов так, что все чёрные клетки будут лежать в вырезанных квадратах и при этом в любом вырезанном квадрате площадь чёрных клеток составит не менее ¹⁄₅ и не более ⁴⁄₅ площади этого квадрата.

111*. В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0,001. Докажите, что площадь этой фигуры не превышает 0,34. (Можете считать, что граница фигуры, о которой говорится в условии, состоит из отрезков прямых и дуг окружностей. Постарайтесь получить более точную оценку. Докажите аналогичную теорему в пространстве.)

112. В таблице размером m×n записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше, чем (n + m – 1) чисел.

113. Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2ⁿ. Докажите это. (Например, 2 делится на 2, число 12 делится на 4, на 8 делится число 112, а на 16 делится 2112.)

114. По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел a, b, c, d произведение чисел a – d и b – c отрицательно, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.

115*. В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

116. а) Если соединить середины последовательных сторон выпуклого многоугольника, то периметр полученного многоугольника не может оказаться меньше половины периметра исходного многоугольника. Докажите это.

б) Если соединить середины последовательных сторон выпуклого n-угольника, где n > 3, то площадь полученного многоугольника не может оказаться меньше половины площади исходного многоугольника. Докажите это.

117. Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут? (Решите эту задачу сначала для небольших значений t, например для t = 2,5.)

118. С четырёх сторон шахматной доски размером n×n построена кайма шириной в 2 поля. Докажите, что кайму можно обойти шахматным конём, побывав на каждом поле один и только один раз, в тех и только тех случаях, когда n – 1 кратно 4.

119. Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.

120. В некотором множестве введена операция *, которая по каждым двум элементам a и b этого множества вычисляет некоторый элемент a * b этого множества. Для любых элементов a, b и c выполнено равенство a * (b * c) = b * (c * a). Кроме того, если a * b = a * c, то b = c. Докажите, что операция *
а) коммутативна, то есть для любых элементов a и b верно равенство a * b = b * a;
б) ассоциативна, то есть для любых элементов a, b и c верно равенство (a * b) * c = a * (b * c).

1972 год

121. Для любых n вещественных чисел a₁, a₂, ..., a_n существует такое натуральное k £ n, что ни одно из чисел a_k, (a_k + a_k–1) ⁄ 2, (a_k + a_k–1 + a_k–2) ⁄ 3, ..., (a_k + a_k–1 + ... + a₂ + a₁) ⁄ k не превосходит среднего арифметического чисел a₁, a₂, ..., a_n.

122. Пятиугольник АВСDE вписан в окружность. Расстояния от точки Е до прямых АВ, ВС и СD равны соответственно p, q и r. Найдите расстояние от точки Е до прямой АD.

123*. Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

124. а) Дан треугольник ABC. Найдите внутри него точку O, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через точку O и пересекающей стороны AB и BC треугольника в точках K и L соответственно, сумма отношений AK ⁄ KB и CL ⁄ LB равна 1.

б) Если p и q — произвольно заданные положительные числа, то внутри треугольника ABC можно указать такую точку O, что для любой прямой KL, проходящей через эту точку (K лежит на AB, L — на BC), сумма выражений p · AK ⁄ KB и q · CL ⁄ LB равна 1. Докажите это.

125*. а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?

б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?

в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа. (Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 107 делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма 3 + 107 делится на 5.)

126. Многоугольник, описанный вокруг окружности радиусом r, разрезали на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

127. Для каждого натурального n обозначим через s(n) сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде m = n + s(n). Конечно или бесконечно множество особых чисел? (Например, число 117 не особое, поскольку 117 = 108 + s(108), а число 121, как нетрудно убедиться,— особое.)

128. Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

129. а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 литров, разделите молоко на две равные части.

б) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам (a + b) литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и (a + b) литров?

За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.

130. Какое наибольшее число точек можно разместить а) на плоскости; б*) в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?

131. Четыре точки, в которых биссектрисы углов между продолжениями противоположных сторон вписанного четырёхугольника пересекают его стороны, являются вершинами ромба. Докажите это.

132. По окружности выписаны n чисел x₁, x₂, ..., x_n, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю (как в задаче 93) и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю (то есть x₁x₃ + x₂x₄ + ... = 0, x₁x₄ + x₂x₅ + ... = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других — равными 1).

а) Докажите, что n — квадрат целого числа.

б) Существует ли такой набор чисел для n = 16? (Мы не знаем, при каких n такой набор чисел существует.)

133. Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Объясните этот факт.

134. Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах АВ, ВС и АС данного треугольника АВС?

135*. Для каждого натурального n > 1 существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + ^π⁄_n, синуса числа x + ^2π⁄_n, ..., наконец, синуса числа x + ^{(n – 1)π}⁄_n равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

136. Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, ..., 468 кг (массы составляют арифметическую прогрессию с разностью 2 кг), на семи трёхтонках?

137. a, b, c, d — длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника, S — его площадь. Докажите неравенства: а) S £ ab + cd; б) S £ ac + bd.

в) Если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность. Докажите это.

138. Если m и n — натуральные числа, причём m < n, то сумма чисел вида (–1)^kk^mС^k_n, где k пробегает значения от 1 до n, равна нулю. Докажите это.

Здесь С^k_n — это коэффициент при x^k после раскрытия скобок и приведения подобных в многочлене (1 + x)ⁿ. Например, если n = 4, то C⁰₄ = 1, C¹₄ = 4, C²₄ = 6, C³₄ = 4, C⁴₄ = 1 и верны равенства

–1 · 4 + 2 · 6 – 3 · 4 + 4 · 1 = 0,

–1² · 4 + 2² · 6 – 3² · 4 + 4² · 1 = 0,

–1³ · 4 + 2³ · 6 – 3³ · 4 + 4³ · 1 = 0.

139. Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и BH. Выразите расстояние от точки В до точки пересечения высот треугольника ВKН через длины отрезков KH = a и BD = b.

140. С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:

А) приписать на конце цифру 4;

Б) приписать на конце цифру 0;

В) разделить на 2 (если число чётно).

Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.

а) Из числа 4 получите число 1972.

б*) Из числа 4 можно получить любое натуральное число. Докажите это.

141. Выберем на высоте ВН треугольника АВС произвольную точку Р. Пусть K — точка пересечения прямых АР и ВС, L — точка пересечения прямых СР и АВ. Докажите, что отрезки KН и LН составляют равные углы с высотой ВН.

142. а) Нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2, ..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же. Докажите это.

б*) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2, ..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?

143. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого выполнено следующее условие: если число p простое и n делится на (p – 1), то n делится на p.

144*. Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа a, b, α и β, чтобы прямоугольник размером a×b можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером а) 20×15; б) 5×8; в) 6,25×15; г) (2 + d)×(2 – d), где буква d обозначает длину диагонали квадрата со стороной 1?

145. Хозяин обещает работнику платить в среднем корень из двух рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального n выплаченная за первые n дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к произведению корня из двух и числа n. Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.

146. а) В вершинах правильного 7-угольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся 3 фишки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

б) Верно ли аналогичное утверждение для 8-угольника?

в) Для каких правильных n-угольников аналогичное верно, а для каких — нет?

147. Вписанный в окружность четырёхугольник ABCD таков, что касательные к окружности в точках А и C пересекаются на продолжении диагонали ВD. Докажите, что

а) касательные в точках В и D пересекаются на продолжении диагонали АС;

б) биссектрисы внутренних углов А и C четырёхугольника пересекаются на диагонали ВD, а биссектрисы углов В и D — на АС.

148. Последовательность x₀, x₁, x₂, ... определена следующими условиями: x₀ = 1, x₁ = λ, для любого n > 1 выполнено равенство

(α + β)ⁿx_n = αⁿx_nx₀ + α^{n – 1}βx_{n – 1}x₁ + α^{n – 2}β²x_{n – 2}x₂ + ... + βⁿx₀x_n.

Здесь α, β, λ — заданные положительные числа. Найдите x_n и выясните, при каком n величина x_n наибольшая.

149. Пусть O — точка пересечения диагоналей четырёхугольника АВCD. Докажите, что если равны периметры треугольников

а) ABC, BCD, CDA и DAB, то АВCD — прямоугольник;

б) АBО, BCO, CDO и DAO, то АВCD — ромб.

150*. P и Q — подмножества множества выражений вида (a₁, a₂, ..., a_n), где a₁, a₂, ..., a_n — натуральные числа, не превосходящие данного числа k (очевидно, таких выражений всего kⁿ штук). Для любого элемента (p₁, p₂, ..., p_n) множества P и любого элемента (q₁, q₂, ..., q_n) множества Q существует хотя бы одно такое число m, что 1 £ m £ n и p_m = q_m. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из k^{n – 1} элементов для

а) k = 2 и любого натурального n;

б) n = 1, 2 или 3 и любого натурального k >1;

в) произвольного натурального n и произвольного не равного 1 натурального числа k.

151. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

152. Пусть a, b, m, n — натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и a > 1. Докажите, что если a^m + b^m делится на aⁿ + bⁿ, то m делится на n.

153*. Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности: **** – ****. Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что

а) второй может расставлять цифры так, чтобы модуль полученной разности стал не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;

б) первый может называть цифры так, чтобы модуль разности стал не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет цифры второй.

154. На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.

155*. Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1. Докажите, что их можно поместить без наложений в квадрат площади 2.

156. Точки M и N — середины сторон AD и BC прямоугольника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D лежит точка P. Прямые PM и AC пересекаются в точке Q. Докажите равенство углов QNM и MNP.

157. Сумма n положительных чисел x₁, x₂, x₃, ..., x_n равна 1. Пусть S — наибольшее из чисел x₁/(1 + x₁), x₂/(1 + x₁ + x₂), ..., x_n/(1 + x₁ + x₂ + ... + x_n). Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x₁, x₂, x₃, ..., x_n оно достигается?

158. Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число a > 1, а далее под каждым числом k слева пишем число k² , а справа — число k + 1. Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные. (Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья — из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.)

159*. Можно ли расставить цифры 0, 1 и 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером 100×100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике размером 3×4, стороны которого идут по сторонам клеток, были бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?

160*. Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для любой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение — 0 очков, ничья — 1 очко, выигрыш — 2 очка.)

161. Озеро имеет форму невыпуклого n-угольника. Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо является внутренностью некоторого выпуклого m-угольника, где m £ n.

162. Последовательность натуральных чисел a₁ < a₂ < a₃ < ... < a_n < ... такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность, либо представимо в виде суммы двух членов последовательности, быть может, одинаковых. Докажите неравенство a_n £ n² для любого n = 1, 2, 3, ...

163. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то проекции их точки пересечения на стороны (или их продолжения) лежат на одной окружности. Докажите это.

164. На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках — справа и слева,— равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках — сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке n-й строки (голубой крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (n + 2)-й строке (красный знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (голубые точки на рисунке), нужно для этого знать?

165*. На окружности расположено множество F точек, состоящее из 100 дуг. При любом повороте R окружности множество R(F) имеет хотя бы одну общую точку с множеством F. (Другими словами, для любого угла α от 0° до 180° в множестве F можно указать две точки, отстоящие одна от другой на угол α.) Какую наименьшую сумму длин могут иметь 100 дуг, образующих множество F? Каков будет ответ, если дуг не 100, а n?

166. а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше ²⁄₅ общего числа участников этого похода, во втором — тоже меньше ²⁄₅. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше ⁴⁄₇ общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе.

б) Пусть в k-м походе, где 1 £ k £ n, мальчики составляли α_k-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из n походов)?

167. В любой арифметической прогрессии a, a + d, a + 2d, ..., a + nd, ..., составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.

168. В правильной усечённой пирамиде точка K — середина некоторой стороны АВ верхнего основания, L — середина некоторой стороны CD нижнего основания. Докажите равенство длин проекций отрезков АВ и CD на прямую KL.

169. k и n — натуральные числа, k £ n. Расставьте первые n² натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.

170. а) M и N — точки касания вписанной в треугольник АВС окружности со сторонами АВ и АС, Р — точка пересечения прямой MN с биссектрисой угла В. Докажите, что угол BPC прямой.

б) Докажите более общий факт: если расположенная внутри треугольника ABC точка O такова, что величина угла BOC на 90° больше величины угла BAO, точки M и N — основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны AB и AC, а P — точка пересечения прямых BO и MN, то угол BPC прямой.

171. На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи одной только линейки постройте отрезок, длина которого равна квадратному корню из 7.

172. Пусть p — простое число. Напишем сначала p единиц, затем p двоек, p троек, p четвёрок, p пятёрок, p шестёрок, p семёрок, p восьмёрок и p девяток. Докажите, что полученное таким образом число при делении на p даёт такой же остаток, что и число 123 456 789.

173*. В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3,..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом «магическом квадрате» сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

174. На сторонах треугольника ABC, как на основаниях, построены равнобедренные треугольники AB₁C, BA₁C и AC₁B. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C соответственно на прямые B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁, пересекаются в одной точке.

175*. Найдите для каждого данного натурального числа m такое наибольшее возможное число N, что возможна следующая ситуация.

а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей; через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам и разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников отмечены N вершин так, что ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не параллелен ни одной из сторон (на рисунке m = 6).

б) Каждое ребро тетраэдра разделено на m равных частей; через точки деления проведены плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отмечены N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежат на прямой, параллельной одной из граней.

в) Среди решений уравнения x₁ + x₂ + ... + x_k = m в целых неотрицательных числах выбраны N решений так, что ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная не принимает одно и то же значения.

Примечание. Задачи а) и б) являются частными случаями задачи в) при k = 2 и k = 3 соответственно.

176. К какой стороне треугольника ABC ближе всего расположена точка пересечения его высот, если РA < РB < РC? А к какой вершине?

177. Пусть a — заданное вещественное число, n — натуральное число, n > 1. Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xⁿ – aⁿ и 2aⁿ – xⁿ равна числу a.

178. Из некоторой точки P биссектрисы угла A треугольника ABC опустим перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на его стороны BC, CA и AB соответственно. Пусть R — точка пересечения прямых PA₁ и B₁C₁. Докажите, что прямая АR делит сторону ВС пополам.

179*. Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ — треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы а) треугольник T₁ был остроугольным? б) в последовательности T₁, T₂, T₃,... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не был определён)? в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?

г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

180*. Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что n не меньше x?» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии T второго игрока сопоставим функцию f_T(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано число n. Пусть, например, стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что n не меньше 10?», «верно ли, что n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что n не меньше 10(k + 1)?» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что n не меньше 10k + 1?», «верно ли, что n не меньше 10k + 2?» и так далее. Тогда f_T(n) = a + 2 + ^{(n – a)}⁄₁₀, где a — последняя цифра числа n, то есть f_T(n) растёт примерно как ⁿ⁄₁₀.

а) Предложите стратегию, для которой функция f_T растёт медленнее.

б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции f_T ввести функцию f_T, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел f_T(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу f_T для произвольной стратегии T.

1973 год

181. Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см? (Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на 90° и 180°, но ломать её нельзя.)

182. Докажите, что если

а) a, b и c — положительные числа, то сумма чисел ^a ⁄ _{(b + c)}, ^b ⁄ _{(a + c)} и ^c ⁄ _{(a + b)} не меньше ³ ⁄ ₂;

б) a, b, c и d — положительные числа, то сумма чисел ^a ⁄ _{(b + c + d)}, ^b ⁄ _{(a + c + d)}, ^c ⁄ _{(a + b + d)} и ^d ⁄ _{(a + b + c)} не меньше ⁴⁄₃;

в) для любых n положительных чисел, где n > 1, сумма n чисел, k-е из которых, где k — натуральное число, не превосходящее n, равно частному от деления k-го из данных чисел на сумму остальных данных чисел, не меньше числа ⁿ⁄_{(n – 1)}.

183. Найдите высоту трапеции, длины оснований которой равны a и b, где a < b, величина угла между диагоналями равна 90°, а величина угла между продолжениями боковых сторон — 45°.

184*. Для любого натурального числа n и для любого числа x, отличного от –1, –2, ..., –n, дробь ^n!⁄_{x(x + 1)(x + 2)...(x + n)} равна сумме n + 1 дробей, k-я из которых, где k — целое неотрицательное число, не превосходящее n, равна отношению числа сочетаний из n по k, умноженного на (–1)^k, к числу x + k. Докажите это.

185*. На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше ¹⁄₂. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше ¹⁄₅.

186. Найдите все решения уравнения ¹⁄_x + ¹⁄_y + ¹⁄_z = 1 в целых числах, отличных от 1.

187. На плоскости заданы две точки А и В. Найдите геометрическое место третьих вершин С треугольника АВС, у которого:

а) высота AA' равна стороне ВС;

б) медиана AA₁ равна стороне АС;

в) медиана AA₁ равна стороне BС;

г) высота CC' равна медиане BB₁;

д) высота BB' равна медиане СC₁.

188. Между некоторыми из 2n городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан (беспосадочными рейсами) не менее чем с n другими. Докажите, что если отменить любые n – 1 рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой другой на самолётах (с пересадками). Укажите все случаи, когда связность нарушается при отмене n рейсов.

189. Три отрезка АВ, ЕF и СD проходят через одну точку О, причём точка Е лежит на отрезке АС, а точка F — на отрезке ВD. Докажите, что отрезок ЕF короче хотя бы одного из отрезков АВ или СD.

190*. На плоскости даны две прямые a и b. В точке A₁, находящейся на прямой a на расстоянии меньше 1 от прямой b, сидит блоха. Затем блоха последовательно прыгает в точки B₁, A₂, B₂, A₃, B₃, ..., руководствуясь следующими правилами. Во-первых, точки A₁, A₂, A₃,... лежат на прямой a, точки B₁, B₂, B₃,... — на прямой b. Во-вторых, 1 = A₁B₁ = B₁A₂ = A₂B₂ = B₂A₃ = A₃B₃ = ... В-третьих, наконец, точка A_n не совпадает с A_n+1, кроме случая A_nB_n^a (и, аналогично, B_n совпадает с B_n+1, только если B_nA_n+1^b). Нетрудно видеть, что этими тремя условиями последовательность прыжков определена однозначно.

Докажите, что если угол между прямыми a и b измеряется рациональным числом градусом, то путь блохи будет периодическим, то есть в некоторый момент она попадёт в начальную точку A₁ и затем будет последовательно проходить те же самые точки B₁, A₂, B₂, A₃, B₃,..., как в начале пути, а если иррациональным числом, то блоха не попадёт ни в какую точку более двух раз.

191. На плоскости даны две точки А и В и прямая l, проходящая через точку А и не проходящая через точку В. Через точки А и В проводится произвольная окружность. Пусть О — её центр, С — точка её пересечения с прямой l, отличная от А. Найдите геометрическое место середин отрезков ОС.

192. Даны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Найдите наибольшее число m, обладающее таким свойством: какие бы m из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся 1000 – m чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

193*. Сумма площадей пяти треугольников, образуемых парами сторон и диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника. Докажите это.

194. Даны два взаимно простых натуральных числа a и b. Рассмотрим множество M целых чисел, представимых в виде ax + by, где x и y — целые неотрицательные числа.

а) Каково наибольшее целое число c, не принадлежащее множеству М?

б) Докажите, что из двух чисел n и с – n (где n — любое целое) одно принадлежит М, а другое нет.

Известна следующая теорема: для любых взаимно простых натуральных чисел a и b всякое целое число можно представить в виде ax + by, где х и y — целые.

Для а = 3 и b = 7 синим цветом напишем числа, принадлежащие множеству М, оранжевым — не принадлежащие, выделив число 5,5:

..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5¹⁄₂ 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...

Как видите, при симметрии относительно числа 5,5 оранжевые числа переходят в синие, а синие — в оранжевые. То же самое явление видим для а = 4 и b = 9:

..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 11¹⁄₂ 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ...

195*. Дан треугольник АВС. Сколько существует таких точек D, что периметры четырёхугольников АDВС, АВСD и AВDС одинаковы?

196. В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше πk.

197. В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для а) m = n = 2; б) m = 2 и произвольного n; в*) любых натуральных m и n.

Вот пример для m = 3 и n = 4. Для таблицы

1 5 6 2
4 3 7 2
1 2 1 2

произведения равны 1 · 4 · 1 = 4, 5 · 3 · 2 = 30, 6 · 7 · 1 = 42 и 2 · 2 · 2 = 8. Сумма этих произведений равна 4 + 30 + 42 + 8 = 84. А если переставим числа в строках в порядке возрастания, то получим таблицу

1 2 5 6
2 3 4 7
1 1 2 2

Сумма произведений 1 · 2 · 1 = 2, 2 · 3 · 1 = 6, 5 · 4 · 2 = 40 и 6 · 7 · 2 = 84 равна 126 > 84.

198. Дан параллелограмм АBCD. На прямых АB и BC выбраны точки Н и K соответственно так, что треугольники KАB и НCB равнобедренные (KА = АB и НС = СB). Докажите, что треугольник KDН тоже равнобедренный.

199. Для любого натурального n докажите, что если для каждого целого неотрицательного числа k, не превосходящего половины числа n, вычислить число сочетаний из n – k по k, умножить его на (–1)^kp^kq^k и найти сумму этих чисел, то сумма окажется равна а) (n + 1) ⁄ 2ⁿ при p = q = 1 ⁄ 2; б) (pⁿ⁺¹ – qⁿ⁺¹) ⁄ (p – q) при p + q = 1 и p ≠ q.

200. а) На первом рисунке изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.

б) На втором рисунке девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую «конфигурацию Паскаля». Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, которая тоже лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?

в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображённой на третьем рисунке.

201. Прямая l₁ пересекает стороны a, b и с треугольника (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно; прямая l₂ пересекает их в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что если точки A₁ и A₂ симметричны относительно середины стороны a, а точки B₁ и B₂ симметричны относительно середины стороны b, то точки C₁ и C₂ симметричны относительно середины стороны c.

202. Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a⁄_d рационально. Докажите это.

203. а) Если проекции точки пересечения диагоналей AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD на прямые АВ, ВС, СD и DА соединить последовательно четырьмя прямыми, то получим прямые, касающиеся одной окружности. Докажите это.

б) Сформулируйте и докажите обратную теорему.

204. Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9, 7, 3, и плохим — в противном случае. (Например, число 197 639 917 — плохое, а 116 519 732 — хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное число n, что среди всех n-значных чисел (от 10^n–1 до 10ⁿ – 1) больше хороших, чем плохих.

205*. 24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что

а) можно отметить некоторые задачи «галочкой» так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) из отмеченных задач;

б) можно отметить некоторые из задач знаком «+», а некоторые из остальных — знаком «–» и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками «+» и «–».

Замечание. Эти утверждения верны всегда, если количество задач больше количества студентов.

206. Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа n, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на n.

207. Даны два треугольника A₁A₂A₃ и B₁B₂B₃. Опишите вокруг треугольника A₁A₂A₃ треугольник M₁M₂M₃ наибольшей площади, подобный треугольнику B₁B₂B₃ (при этом вершина A₁ должна лежать на прямой M₂M₃, вершина A₂ — на прямой A₁A₃, вершина A₃ — на прямой A₁A₂).

208. Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x₁, x₂, x₃, ..., x₉, x₁₀ равна 1. Какой а) наибольшей; б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x₁, (x₁ + x₂) : 2, (x₁ + x₂ + x₃) : 3, ..., (x₁ + x₂ + ... + x₁₀) : 10?

Каков ответ, если чисел не 10, а n?

209. Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма а) меньше двух для любого остроугольного треугольника; б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна двух арктангенсов числа ⁴⁄₃; в) среди треугольников с тупым углом, меньшим двух арктангенсов ⁴⁄₃, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше двух, и такие треугольники, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше двух.

210*. Рассмотрим последовательности, состоящие из 3000 цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешено поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называем эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько существует неэквивалентных последовательностей?

211. Дано n точек, n > 4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).

212. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а остальные — настоящие. Сможет ли он это сделать?

213. Дан угол с вершиной О и окружность, касающаяся его сторон в точках А и В. Из точки А параллельно ОВ проведён луч, пересекающий окружность в точке С. Отрезок ОС пересекает окружность в точке Е, а прямые АЕ и ОВ пересекаются в точке K. Докажите равенство ОK = KВ.

214. Квадратный трёхчлен f (x) = ax² + bx + c таков, что уравнение f (x) = x не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение f (f (x)) = x также не имеет вещественных корней.

215*. На бесконечном клетчатом листе белой бумаги n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени t = 1, 2, 3, ... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки k и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то k становится белой, если две или три из них были чёрными — чёрной).

а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки.

б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.

216. N человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом N.

217. Дан выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Докажите, что через эту точку нельзя провести больше n прямых, каждая из которых делит площадь многоугольника пополам.

218. Если x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ — положительные числа, то квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x₁x₂, x₂x₃, x₃x₄, x₄x₅ и x₅x₁.

219. В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

220. Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

221. На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее расстояние до границы кляксы, а также наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выберем наибольшее, а среди наибольших — наименьшее. Какую форму имеет клякса, если эти две величины равны?

222. У любого выпуклого многогранника есть две грани с одинаковым числом сторон. Докажите это.

223. Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 — совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что никакое совершенное число не является квадратом.

224. Углы между биссектрисами плоских углов трёхгранного угла либо все тупые, либо все острые, либо все прямые. Докажите это.

225. Грани кубика занумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма номеров на противоположных гранях равна 7. Кубик катят из левого нижнего в правый верхний угол шахматной доски размером 50×50 клеток (каждая клетка доски равна грани кубика) так, что он каждый раз переваливается через своё ребро на соседнюю клетку; при этом разрешено двигаться только вправо или вверх. На каждой из клеток по пути кубика пишется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может иметь сумма всех 99 выписанных чисел? Какое наименьшее?

226. В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду. При этом, если кузнечик А прыгает через кузнечика В, то после прыжка он оказывается от В на том же расстоянии (но, естественно, по другую сторону и на той же прямой). Может ли после нескольких прыжков один из кузнечиков попасть в четвёртую вершину исходного квадрата?

227. На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

228. Лист клетчатой бумаги размером n×n раскрасили в n цветов (каждую клетку покрасили в один из этих цветов или не закрасили вообще). Правильной называют раскраску, при которой ни в одной строке и ни в одном столбце нет клеток одного цвета. Всегда ли можно «докрасить» весь лист правильным образом, если первоначально были правильно закрашены а) n² – 1; б) n² – 2; в) n клеток?

229*. В центре квадрата находится полицейский, а в одной из вершин — гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по сторонам. Максимальная скорость полицейского равна u, а гангстера — v. Цель полицейского — оказаться с гангстером на одной стороне квадрата. Докажите, что если

а) 3u > v, то он может добиться своей цели;

б) 3u < v, то гангстер может помешать ему это сделать.

230. Из любого выпуклого равностороннего (но не обязательно правильного) пятиугольника можно вырезать правильный треугольник, одна из сторон которого совпадает со стороной пятиугольника. Докажите это.

231. Решите в натуральных числах уравнение n^x + n^y = n^z.

232*. а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.

б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?

233*. В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

234. Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1 ⁄ 3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1 ⁄ 3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

235. По арене круглого цирка радиусом 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма величин всех углов, на которые он поворачивал, не меньше 2998 радиан.

236. а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел, так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Даны натуральные числа k и n, причём 1 < k < n. Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

237. Величины углов остроугольного треугольника равны α, β и γ. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжести этих трёх масс попал в а) ортоцентр (точку пересечения высот); б) центр описанной окружности?

Длины сторон треугольника равны a, b и c. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести попал в в) точку пересечения отрезков, соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью; г) центр вписанной окружности?

238. Для любого натурального числа n сумма чисел сочетаний из n по 1, по 3, по 5, ..., умноженных соответственно на 1, на 1973, на 1973², ..., делится на 2^n–1. Докажите это.

239. На плоскости даны две точки A и B. Пусть C — некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек C₁ = C, C₂, C₃, ..., C_n, C_n+1, ..., где C_n+1 — центр описанной окружности треугольника ABC_n. а) При каком положении точки C точка C_n попадёт в середину отрезка AB (при этом C_n+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)? б) При каком положении точки C точка C_n совпадает с C?

240*. По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁵. Докажите, что

а) x¹⁰⁰⁰ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

1974 год

241. Сумма 3¹⁹⁷⁴ + 5¹⁹⁷⁴ делится на 13. Докажите это.

242. Пусть A_kH_k и A_kM_k, где k = 1, 2 или 3,— соответственно, высота и медиана, проведённые из вершины A_k остроугольного треугольника A₁A₂A₃. а) Докажите, что одно из трёх произведений H₁M₁ · A₂A₃, H₂M₂ · A₃A₁ и H₃M₃ · A₁A₂ равно сумме двух других. б) Верно ли это утверждение для прямоугольного и тупоугольного треугольников?

243. Отрезки A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой и проходит через точку G, не лежащую на данных двух прямых и являющуюся центром тяжести единичных масс, помещённых в точки A₁, A₁, ..., A_n. Докажите, что сумма частных от деления длин отрезков A₁G, A₂G, ..., A_nG соответственно на длины отрезков B₁G, B₂G, ..., B_nG равна n.

244. Произведение (a₁ + a₂ + ... + a_n)(b₁ + b₂ + ... + b_n) не превосходит умноженной на число n суммы a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_na_n, если а) для любых j и k из неравенства a_j < a_k следует неравенство b_j < b_k; б) для любых j и k из того, что число a_j меньше среднего арифметического чисел a₁, a₂, ..., a_n, а оно в свою очередь меньше числа a_k, следует неравенство b_j < b_k. Докажите это.

245*. Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам.

а) Можно ли провести построение, если расстояния заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?

б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?

в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N точек?

246. На плоскости даны две прямые m и n и точка О. Постройте треугольник, две высоты которого лежат на данных прямых m и n, а центр описанной окружности находится в точке О.

247. Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плитками, из которых k — трёхклеточные уголки, а остальные (12 – k) — трёхклеточные прямоугольники. При каких k это возможно?

248. В выпуклый n-угольник A₁A₂...A_n вписан n-угольник B₁B₂...B_n площади P. (Вершина B_k лежит на стороне A_kA_k+1 для любого k = 1, 2, ..., n – 1, а вершина B_n — на стороне A_nA₁.) Около того же n-угольника A₁A₂...A_n описан n-угольник C₁C₂...C_n площади Q. (Вершина A_k лежит на стороне C_kC_k+1 для любого k = 1, 2, ..., n – 1, а вершина A_n — на стороне C_nC₁.) Если соответствующие стороны n-угольников B₁B₂...B_n и C₁C₂...C_n параллельны, чему может равняться площадь n-угольника A₁A₂...A_n?

249*. На рёбрах A'D' и C'D' куба ABCDA'B'C'D' выбирают две точки K и M так, что плоскость KDM касается вписанного в куб шара. Докажите, что величина φ двугранного угла при ребре B'D тетраэдра B'DKM не зависит от выбора точек K и M. Найдите величину φ.

250*. а) При дворе короля Артура собрались n рыцарей. Некоторые из них враждуют друг с другом, но у каждого рыцаря не менее n ⁄ 2 друзей среди собравшихся. Докажите, что Мерлин — советник короля Артура — может усадить рыцарей за круглым столом так, чтобы рядом с каждым сидели его друзья.

б) Если у каждого рыцаря одинаковое чётное (и, конечно, положительное) количество друзей, то Мерлин может рассадить рыцарей за несколько круглых столов так, чтобы никто не сидел рядом со своим врагом. Докажите это. (У Артура есть столики на двоих, на троих и так далее.)

251. Дано n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более n ⁄ 2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.

252. а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено «перекатывать» по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга. (Другими словами, для любой точки M и любого положительного числа ε можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что центр его окажется от точки M на расстоянии меньше ε.)

б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.

в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?

253. На плоскости заданы три точки, являющиеся соответственно центрами вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей треугольника. По этим данным восстановите треугольник. (Вневписанная окружность — это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.)

254. Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111 (100 единиц) с точностью до а) 100; б) 101; в*) 200 знаков после запятой.

255. АВ и CD — две различные касательные к двум данным шарам (А и С принадлежат поверхности одного шара, В и D — другого). Докажите, что проекции отрезков АС и ВD на прямую, проходящую через центры шаров, равны.

256. Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки М окружности до сторон одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон второго. (Расстоянием от точки до стороны здесь называем расстояние до прямой, на которой лежит эта сторона.)

257. При каких натуральных n > 1 неравенство x₁² + x₂² + . . . + x_n² ³ p (x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_n–1x_n) выполнено для любых действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, если а) p = 1; б) p = ⁴⁄₃; в) p = ⁶ ⁄ ₅?

258. На плоскости даны три точки K, L, N. Про четырёхугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трёх его сторон лежат в данных точках K, L, N. Найдите множества точек, в которые может попасть: а) середина четвёртой стороны; б) вершина этого четырёхугольника.

259. Назовём квартетом четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в а) квадрате 5×5; б) прямоугольнике m×n клеток?

260*. Окружность разбита точками A₁, A₂,..., A_n на n равных дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги A₂A₆ и A₆A₁₀ одинаково окрашены.) Докажите, что если для каждой точки разбиения A_k можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом A_k, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две, скажем красная и чёрная.

261. Обруч радиусом R, висевший на неподвижном круге радиусом r < R, начинают катить по этому кругу. Докажите, что точка обруча описывает ту же траекторию, которую описывала бы точка колеса радиусом R – r, катящегося снаружи по тому же кругу радиуса r. (Качение происходит без скольжения — так, что длины прокатившихся друг по другу дуг равны.)

262. Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

263. Даны числа p и q, большие 1. На сторонах BC и CD прямоугольника ABCD возьмём точки P и Q так, что BC = p · BP> и CD = q · DQ. При каком отношении длин сторон AB и AD угол PAQ будет иметь наибольшую величину? Какова эта наибольшая величина в частном случае p = 2 и q = ³⁄₂?

264. В городе одна синяя площадь и n зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными, как показано на рисунке. На каждой из 2n улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно проехать и с каждой — уехать. Докажите, что с любой площади этого города можно, не нарушая правил, доехать до любой из остальных.

265. Диагональ AC₁ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами AB, AD и AA₁ углы BAC₁, DAC₁ и A₁AC₁. Докажите, что сумма величин этих углов меньше 180°.

266. Дан выпуклый n-угольник. Докажите следующие утверждения.

а) Если для каждой тройки последовательных вершин n-угольника построить окружность, проходящую через эти вершины, и из n полученных окружностей выбрать такую, у которой радиус наибольший, то эта окружность содержит внутри себя весь данный n-угольник.

б) Если для каждой тройки последовательных сторон n-угольника построить окружность, касающуюся этих сторон, и из n полученных окружностей выбрать такую, у которой радиус наименьший, то она будет содержаться внутри данного n-угольника.

267. В последовательности троек целых чисел (2, 3, 5), (6, 15, 10), ... каждая следующая тройка получена из предыдущей таким образом: первое число умножили на второе, второе — на третье, а третье — на первое, и из полученных произведений образовали новую тройку. Докажите, что среди чисел, получаемых таким образом, не окажется ни квадрата, ни куба, ни вообще никакой (отличной от первой) степени натурального числа.

268. В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном), а второй — один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй — ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски — n×n, где n > 3)?

269. Обозначим через T_k(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,

T₂(4) = 1 · 2 + 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4 + 3 · 4.

а) Найдите формулы для T₂(n) и T₃(n).

б) Докажите, что T_k(n) является многочленом от n степени 2k.

в) Укажите метод нахождения многочленов T_k при k = 2, 3, 4, ... и примените его для отыскания многочленов T₃ и T₄.

270. Пусть АВ и СD — две хорды окружности, а точки K и H построены так, что все четыре угла KAB, KCD, HBA и HDC прямые. Докажите, что прямая KH проходит через центр окружности и точку пересечения прямых AD и BC.

271. Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

272. Даны две касающиеся внешним образом окружности с радиусами r и R. Найдите наименьшую возможную длину боковой стороны трапеции, обе боковые стороны которой касаются обеих окружностей, а каждое из оснований касается одной из них.

273. На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f (1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x₁ и x₂, сумма которых не превосходит 1, величина f (x₁ + x₂) не превосходит суммы величин f (x₁) и f (x₂).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f (x) £ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f (x) £ 1,9x?

274. Найдите наименьшее число вида а) ½11^k – 5ⁿ½; б) ½36^k – 5ⁿ½; в) ½53^k – 37ⁿ½, где k и n — натуральные числа.

275*. а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

276. Дан квадрат ABCD. Точки Р и Q лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, причём BP = BQ. Пусть Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на отрезок РС. Докажите, что угол DНQ прямой.

277. Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.

278. а) Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника больше 1. Обязательно ли длина хотя бы одна из диагоналей больше 2?

б) В выпуклом шестиугольнике АВСDЕF длины диагоналей АD, ВЕ и СF больше 2. Обязательно ли длина хотя бы одной из сторон больше 1?

279. На n карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно 1 или –1. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на а) любых трёх карточках; б) любых трёх карточках, лежащих подряд? (Здесь n — натуральное число, большее 3).

280*. Точки A', B' и C' — соответственно, середины сторон BC, AC и AB треугольника ABC, площадь которого равна 1. Точки K, L и M лежат на отрезках AB', CA' и BC' соответственно. Какую максимальную площадь может иметь пересечение треугольников A'B'C' и KLM?

281. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

282. В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. За один ход разрешено удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться, чтобы все числа стали равны нулю.

283. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на единицу во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.

284*. Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.

285*. Прямоугольный лист бумаги разрезан на прямоугольные полоски, у каждой из которых длина одной из сторон равна 1. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон листа бумаги — целое число.

286. На плоскости расположены N точек. Отметим все середины отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее количество точек плоскости могут оказаться отмеченными?

287. Существует ли такая последовательность натуральных чисел, что любое натуральное число можно представить в виде разности двух чисел этой последовательности единственным образом?

288. На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое ученых, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, у которого ровно один друг.

289. N гирь, масса каждой из которых — целое число граммов, разложены на K равных по массе куч. Докажите, что можно не менее чем K разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся (N – 1) гири уже нельзя будет разложить на K равных по массе куч.

290. Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

291. На сторонах A₂A₃, A₃A₁ и A₁A₂ треугольника A₁A₂A₃ во внешнюю сторону построены квадраты с центрами O₁, O₂ и O₃ соответственно. Докажите, что

а) отрезки O₁O₂ и A₃O₃ равны по длине и взаимно перпендикулярны;

б) середины отрезков A₃A₁, O₁O₂, A₃A₂ и A₃O₃ являются вершинами квадрата;

б) площадь этого квадрата в 8 раз меньше площади квадрата с центром O₃.

292. На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число — модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?

293. Рассмотрим треугольник OC₁C₂ . Проведём в нём биссектрису C₂C₃, затем в треугольнике OC₂C₃ проведём биссектрису C₃C₄ , и так далее. Докажите, что последовательность величин углов OC_nC_n+1 стремится к некоторому пределу и найдите этот предел, если величина угла C₁OC₂ равна α.

294. Если a, b, c, d, x, y, z, t — вещественные числа, причём abcd > 0, то произведение (ax + bu)(av + by)(cx + dv)(cu + dy) не меньше произведения (acuvx + bcuxy + advxy + bduvy)(acx + bcu + adv + bdy). Докажите это.

295*. Сечения выпуклого многогранника тремя параллельными плоскостями p₀, p₁ и p₂, где p₁ расположена между p₀ и p₂ на одинаковом расстоянии h от той и другой, имеют площади S₀, S₁ и S₂ соответственно. Между p₀ и p₁ нет ни одной вершины многогранника.

а) Докажите, что квадратный корень из S₁ не меньше среднего арифметического квадратных корней из S₀ и S₂.

б) Когда неравенство пункта а) обращается в равенство?

в) Найдите площадь S_t сечения многогранника плоскостью, параллельной плоскости p₀ и расположенной на расстоянии th от p₀ и на расстоянии (2 – t)h от p₂. (Разумеется, 0 £ t £ 2.)

г) Найдите объём части многогранника, заключённой между плоскостями p₀ и p₀.

296. В таблицу n×n записаны n² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

297. На плоскости заданы 12 точек, являющихся вершинами квадратов A₁B₁A₂C₁, A₂C₂A₃B₂, A₃B₃A₄C₃ и A₄C₄A₁B₄ (вершины каждого квадрата перечислены по часовой стрелке). Докажите, что B₁B₂B₃B₄ и C₁C₂C₃C₄ — конгруэнтные параллелограммы, один из которых получается из другого поворотом на 90° (эти параллелограммы могут быть вырожденными: четыре вершины каждого из них в этом случае лежат на одной прямой).

298. Запишем все несократимые дроби ^p⁄_q, где 0 £ p £ q £ m, в порядке возрастания (m — данное натуральное число). Например, при m = 5 получим последовательность ⁰⁄₁, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ²⁄₅, ¹⁄₂, ³⁄₅, ²⁄₃, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ¹⁄₁. Докажите для любых двух соседних дробей ^p⁄_q < ^r⁄_s такой последовательности равенство qr – ps = 1.

299. При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

300*. Алфавит состоит из трёх букв: a, b, c. Назовём словом последовательность любой длины, состоящую из этих букв. При образовании слов некоторые буквосочетания (из двух и более букв) запрещены. Докажите, что если в списке запрещённых буквосочетаний все слова разной длины, то существует сколь угодно длинное слово, не содержащее запрещённых буквосочетаний.

1975 год

301. На плоскости заданы 2n точек — синих и красных, причём никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков так, что у каждого отрезка один конец — синяя точка, другой — красная, а никакие два отрезка не пересекаются.

302. Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями AB и CD, а точки A' и B' симметричны соответственно точкам A и B относительно биссектрисы угла AOB. Докажите равенство углов ACA' и BDB'.

303. Прямоугольник размером 300×1000 разрезан на квадраты 1×1, и в некоторых 30 вершинах квадратов помещены одинаковые гирьки. Докажите, что можно выбрать две непересекающиеся группы гирек — не более чем по 10 в каждой — так, что их центры тяжести совпадут.

304. Будем обозначать звёздочкой некоторую операцию, применимую к любым двум целым неотрицательным числам a и b и дающую в результате тоже целое неотрицательное число a * b. Пусть операция * удовлетворяет следующим условиям:

a * b = b * a;
если a * b = c, то b * c = a;
если a * b > c, то b + c < a или a * c < b.

а) Найдите 0 * 0, 0 * 1, 1 * 1 и 0 * 2.

б) Докажите равенство 0 * a = a и докажите, что 1 * a = a + 1, если a чётно, и a – 1, если a нечётно.

в) Существует не более чем одна такая операция. Докажите это.

г) Такая операция существует. Докажите это и укажите правило, позволяющее по заданным a и b вычислять a * b.

305*. а) На хордах AB и A'B' окружности выбрано по точке C и C' так, что прямые AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке P. Обозначим AP · PA' = t, AC · CB = s, A'C' · C'B' = S, CP = q, C'P = Q. Докажите, что если q то квадратный корень из отношения S ⁄ s равен отношению Q ⁄ q, S ⁄ s, отношению (S + Q²) ⁄ t и отношению t ⁄ (q² + s).

б) Через точку P, не лежащую на данной сфере, и каждую точку некоторой окружности, лежащей на этой сфере, проведена прямая. Докажите, что вторые точки пересечения проведённых прямых со сферой также лежат на некоторой окружности.

Замечание. Пункт б) можно решить при помощи утверждения пункта а), поэтому они и объединены под одним номером. Подумайте, однако, как решить пункт б) при помощи инверсии.

306. Из шахматной доски удалена одна угловая клетка. На какое наименьшее число равновеликих (одинаковых по площади) треугольников можно разрезать оставшуюся часть доски?

307. Плоскость разбита на одинаковые шестиугольные комнаты. В некоторых стенах проделаны двери так, что для любой вершины, в которой сходятся три стены (стороны шестиугольников), двери имеются ровно в двух стенах. Докажите, что любой замкнутый путь по такому лабиринту проходит через чётное число дверей.

308. Если при любом x сумма чисел a₁cos x, a₂cos 2x, ..., a_ncos nx больше или равна –1, то сумма a₁ + a₂ + ... + a_n не превышает n. Докажите это утверждение для а) n = 2; б) n = 3; в) любого натурального n.

309. а) При каких n многочлен x²ⁿ + xⁿ + 1 делится на x² + x + 1?

б) При каких n на 37 делится число 100...00100...001, где как между первой и второй, так и между второй и третьей единицами стоит по n нулей?

310. Для любого натурального числа n среди n-значных чисел существует более 8ⁿ таких, в десятичной записи которых никакая группа цифр (в частности, никакая цифра) не встречается два раза подряд. Докажите это.

311. Из одной бактерии получилось 1000 следующим образом: вначале бактерия разделилась на две, затем одна из двух получившихся бактерий разделилась на две, затем одна из трёх получившихся бактерий разделилась на две и так далее. Докажите, что в некоторый момент существовала такая бактерия, число потомков которой среди 1000 бактерий, получившихся в конце, заключено между 334 и 667.

312. В параллелограмм вписан параллелограмм, в который вписан другой параллелограмм, причём стороны третьего параллелограмма соответственно параллельны сторонам первого. Докажите, что длина хотя бы одной стороны третьего параллелограмма не меньше половины длины соответствующей стороны первого.

313. Рассмотрим множество четвёртых вершин параллелограммов ONML, вершины N и L которых лежат на сторонах данного угла с вершиной O, а площадь равна данной величине. (Это множество — ветвь гиперболы.) Докажите, что на биссектрисе этого угла и на её продолжении существуют такие точки F₁ и F₂, что разность расстояний F₁M и F₂M одна и та же для всех точек M.

Можно доказать, что F₁O = OF₂ и существуют перпендикулярные биссектрисе данного угла такие прямые d₁ и d₂ (директрисы гиперболы), что отношение длины отрезка F₁M (или F₂M) к расстоянию от точки M до прямой d₁ (соответственно, d₂) одно и то же для всех точек M.

314. Среди всех 9-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 0, найдите такое, для которого разность между самим числом и произведением его цифр а) наименьшая; б) наибольшая.

в) Каков ответ для n-значных чисел при любом n?

315. На каждом ребре выпуклого многогранника поставлена стрелка так, что в каждую вершину многогранника входит и из каждой выходит хотя бы одна стрелка. Докажите, что существуют по крайней мере две грани многогранника, каждую из которых можно обойти по периметру, двигаясь в соответствии с направлениями стрелок на её сторонах.

316. а) Сумма квадратов k последовательных натуральных чисел не может быть квадратом целого числа, если k равно 3, 5, 7 или 9. Докажите это.

б) Придумайте 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат целого числа.

317*. На некоторой планете каждая страна граничит не более чем с 7 другими. В каждой стране имеется запас золота. Требуется распределить золото так, чтобы каждые две страны, граничащие друг с другом, отличались по количеству золота не более чем в 13 раз. Докажите, что распределение золота можно организовать так, чтобы каждая страна лишилась не более половины имевшегося у неё золота.

318. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что CE · AB = AD · BC тогда и только тогда, когда AB = BC или величина угла ABC равна 60°.

319. На плоскости заданы окружность γ и точка P внутри неё. Рассмотрим тетраэдры ABCD, у каждого из которых все грани равны, причём треугольник ABC вписан в окружность γ так, что его медианы пересекаются в точке P.

а) При каком положении точки P внутри γ такие тетраэдры существуют?

б) Докажите, что вершина D любого такого тетраэдра расположена в одной из двух фиксированных точек пространства (симметричных относительно данной плоскости).

320*. Какие выпуклые n-угольники можно разбить на треугольники так, чтобы никакие два из треугольников разбиения не имели общих (полностью совпадающих) сторон? (На рисунке показано, что треугольник так разбить можно.)

321. Для любого прямоугольного стола и для любого положительного числа ε можно указать такую систему покрывающих этот стол прямоугольных салфеток, края которых параллельны краям стола, что любая её подсистема, состоящая из неперекрывающихся салфеток, имеет площадь, меньшую ε.

322. а) Фигура, состоящая более, чем из одной точки, является пересечением N кругов. Докажите, что границу этой фигуры можно представить в виде объединения 2N – 2 дуг окружностей.

б) В алфавите N букв. Несколько букв выписано по окружности так, что никакая буква не встречается два раза подряд и для любых двух различных букв a и b можно провести прямую так, что все буквы a будут по одну сторону от прямой, а буквы b — по другую. Докажите, что выписано не более 2N – 2 букв.

323*. Любую функцию, определённую на всей числовой прямой, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которых имеет центр симметрии. Докажите это.

324. Имеется несколько куч камней. Двое играют в игру, ход которой состоит в том, что игрок разбивает каждую кучу, состоящую более чем из одного камня, на две меньшие кучи. Ходы делают поочередно, пока во всех кучках не останется по одному камню. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. Как должен играть начинающий, если сначала в каждой кучке было от 80 до 120 камней?

325. В некотором треугольнике верхнее число равно 1, крайние числа в каждой строке — тоже 1, а каждое из остальных чисел не меньше суммы двух чисел, стоящих над ним (в частности, этому условию удовлетворяет треугольник Паскаля). Натуральное число a, большее 1, встретилось в этом треугольнике k раз. Докажите неравенство 2^k < a² .

326. Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписано по квадрату так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде. Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

327. В компании n человек. Каждому из них нравятся ровно k человек из этой компании. При каком наименьшем k можно утверждать, что обязательно найдутся два человека из этой компании, нравящиеся друг другу?

328. По правильному тетраэдру ползают два паука и муха. Муха ползает только по рёбрам, а пауки — по всей поверхности. Максимальная скорость мухи в 2 раза больше максимальной скорости пауков.

а) Докажите, что при любом начальном расположении пауки могут поймать муху.

б) Верно ли это, если максимальная скорость мухи более чем в 2 раза превосходит максимальную скорость пауков?

в) Как изменится ответ, если разрешить паукам ползать только по рёбрам тетраэдра? по всему объёму тетраэдра?

329. Среди вершин любого выпуклого n-угольника, расположенного внутри квадрата со стороной 1, обязательно есть такие три вершины, что площадь треугольника с вершинами в них меньше числа 8 ⁄ n² . Докажите это.

330*. На плоскости расположены два выпуклых многоугольника M₀ и M₁. Обозначим буквой M множество середин отрезков, один конец каждого из которых принадлежит M₀, а другой — M₁. Докажите, что M — выпуклый многоугольник.

а) Сколько сторон может иметь M, если M₀ имеет n₀, а M₁ — n₁ сторон?

б) Каким может быть периметр многоугольника M, если периметр M₀ равен P₀, а периметр M₁ равен P₁?

в) Какой может быть площадь многоугольника M, если площадь многоугольника M₀ равна S₀, а площадь M₁ равна S₁?

331. а) Треугольник A'B'C' получен из треугольника ABC поворотом вокруг центра описанной окружности на некоторый угол, меньший 180°. Докажите, что точки пересечения пар прямых: AB и A'B', BC и B'C', CA и C'A' — являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.

б) Четырёхугольник A'B'C'D' получен из вписанного в окружность четырёхугольника ABCD поворотом вокруг центра окружности на угол, меньший 180°. Докажите, что точки пересечения соответствующих прямых: AB и A'B', BC и B'C' , CD и C'D', DA и D'A' — являются вершинами параллелограмма.

332. При каких k можно составить куб с ребром k из белых и чёрных единичных кубиков так, чтобы для каждого кубика ровно два из его соседей были бы того же цвета, что и сам кубик? (Два кубика считаем соседними, если они имеют общую грань.)

333. Три мухи ползают по сторонам треугольника АВС так, что центр тяжести образуемого ими треугольника остаётся на одном месте. Докажите, что он совпадаёт с центром тяжести треугольника АВС, если известно, что одна из мух проползла по всей границе треугольника. (Центр тяжести треугольника — это точка пересечения его медиан.)

334*. Дан многочлен P с а) натуральными; б) целыми коэффициентами. Для каждого натурального числа n обозначим сумму цифр десятичной записи числа |P(n)| через a_n. Докажите существование числа, которое встречается в последовательности a₁, a₂, a₃, ... бесконечно много раз.

335*. а) В квадрате размером 7×7 клеток отмечены центры k клеток. При этом никакие четыре отмеченные точки не являются вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам квадрата. При каком наибольшем k это возможно?

б) Решите ту же задачу для квадрата размером 13×13 клеток.

336. На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.

337. Дан равносторонний треугольник АВС со стороной 1. Первый игрок выбирает точку Х на стороне АВ, второй — точку Y на стороне ВС, затем первый — точку Z на стороне AC.

а) Цель первого игрока — получить треугольник XYZ как можно большей площади, второго — как можно меньшей площади. Какую наибольшую площадь может обеспечить первый?

б) Цель первого игрока — получить треугольник XYZ как можно меньшего периметра, второго — как можно большего периметра. Какой наименьший периметр может обеспечить первый?

338. На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешено стереть две неравные цифры и вместо них написать одну цифру, отличную от стёртых (2 вместо 0 и 1, 1 вместо 0 и 2, 0 вместо 1 и 2). Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске останется одна-единственная цифра, то она не зависит от порядка, в котором производились стирания.

339. Дана горизонтальная полоса на плоскости, края которой — параллельные прямые, и n прямых, пересекающих эту полосу. Каждые две из этих n прямых пересекаются внутри полосы; никакие три не проходят через одну точку. Рассмотрим все пути, начинающиеся на нижней кромке полосы, идущие по данным прямым и заканчивающиеся на верхней кромке, обладающие такими свойствами: идя по такому пути, мы всё время поднимаемся вверх; дойдя до точки пересечения прямых, мы обязаны перейти на другую прямую. Докажите, что среди таких путей есть путь,

а) состоящий не менее чем из n отрезков;

б) проходящий не более чем по ⁿ⁄₂ + 1 прямым;

в) проходящий по всем n прямым.

340*. В каждую клетку прямоугольной таблицы записано вещественное число. Некоторую клетку таблицы называем её седловой клеткой, если стоящее в ней число не меньше остальных чисел её столбца и не больше остальных чисел её строки.

а) Пусть про таблицу T известно, что любая таблица размером 2×2, получающаяся в пересечении двух столбцов и двух строк таблицы T, имеет седловую клетку. Докажите, что тогда таблица Т также имеет седловую клетку.

б) Пусть a₁, a₂, ..., a_m, b₁, b₂, ..., b_n — произвольные числа, p₁, p₂, ..., p_m, q₁, q₂, ..., q_n — положительные числа. Докажите, что таблица размером m×n, на пересечении i-й строки и j-го столбца которой стоит число (a_i + b_j) ⁄ (p_i + q_j), имеет седловую клетку.

Одно из решений пункта б) можно получить, используя пункт а). Подумайте, однако, как можно решить эту задачу другим способом.

341*. В чемпионате мира участвуют 20 команд. Среди них k европейских команд, результаты встреч между которыми на чемпионате мира идут в зачёт чемпионата Европы. Чемпионат проводится в один круг. При каком наибольшем k может оказаться, что европейская команда, набравшая строго наибольшее количество очков в чемпионате Европы, наберёт строго наименьшее количество очков в чемпионате мира, если это чемпионат по а) хоккею (допускаются ничьи); б) волейболу (ничьих не бывает)? Каковы ответы на эти вопросы, если команд не 20, а n?

342*. а) Из цифр 1 и 2 можно составить 2ⁿ⁺¹ чисел, каждое из которых 2ⁿ-значно и каждые два из которых различаются не менее чем в 2^n–1 разрядах. Докажите это.

б) Более 2ⁿ⁺¹ таких 2ⁿ-значных чисел составить нельзя. Докажите это.

343. В некотором государстве города соединены дорогами. Длина любой дороги меньше 500 км, и из любого города в любой другой можно попасть, проехав по дорогам менее 500 км. Когда одну дорогу закрыли на ремонт, выяснилось, что из любого города можно проехать в любой другой по оставшимся дорогам. Докажите, что это можно сделать, проехав не более 1500 км.

344*. На шахматной доске отмечены центры всех 64 полей. Можно ли провести на доске 13 прямых так, чтобы в каждой из частей, на которые эти прямые делят доску, оказалось не более одной отмеченной точки? (Прямые не должны проходить через центры полей.)

345. В последовательности 197523... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретятся ли в этой последовательности подряд а) четыре цифры 1, 2, 3, 4; б) вторично цифры 1, 9, 7, 5; в) цифры 8, 1, 9, 7?

346. Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L делит диагональ AC в отношении 3 : 1. Докажите, что угол KLD прямой.

347. Двое играют в такую игру. Первый загадывает два числа от 1 до 25, а второй должен их угадать. Он может назвать любые два числа от 1 до 25 и узнать у первого, сколько из названных им чисел — 0, 1 или 2 — совпадают с загаданными. За какое минимальное число вопросов он сможет наверняка определить загаданные числа?

348. В таблицу размером 10×10 записаны числа от 1 до 100 по порядку. Затем в каждой строке и в каждом столбце ровно у половины чисел поставлен знак минус. Докажите, что сумма чисел полученной таблицы равна нулю.

349. Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из а) высот; б) медиан; в) биссектрис данного треугольника, был подобен данному?

350*. С белого углового поля шахматной доски размера n×m (числа n и m больше 1) начинает двигаться слон. Дойдя до края доски, слон поворачивает под прямым углом. Попав в угол, он останавливается.

а) При каких n и m слон обойдёт все белые поля доски?

б) Сколько всего полей он обойдёт на доске n×m?

Рассмотрите в качестве примеров доски размерами 10×15, 10×25 и 15×25.

351. Восстановите треугольник, если на плоскости отмечены три точки: O — центр описанной окружности, Р — центр тяжести и Н — основание одной из высот этого треугольника.

352*. Целая часть тридцатой степени числа, являющегося суммой числа 45 и квадратного корня из 1975, является нечётным числом. Докажите это. Решение М352.

353*. Пусть ABCD — произвольный тетраэдр. Докажите, что:

а) сумма величин всех двугранных углов тетраэдра, рёбрами которых являются AB, BC, CD и DA, меньше 360°;

б) сумма величин всех двугранных углов тетраэдра больше 360°, но меньше 540°;

в) сумма косинусов всех двугранных углов тетраэдра положительна и не превосходит 2, причём эта сумма равна 2 в том и только в том случае, когда все грани тетраэдра — равные треугольники;

г) если AB + CD = BD + DA, то сумма величин двугранных углов, рёбрами которых являются АВ и CD, равна сумме величин двугранных углов тетраэдра, рёбрами которых являются ВС и AD.

354. Можно ли расставить числа 1, 2, 3, ..., 4n + 2 в вершинах и серединах сторон правильного (2n + 1)-угольника так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон одинаковой? (Рассмотрите в качестве примеров случаи n = 3 или 8.)

355. N ребят перекидываются N мячами. В начале игры каждый из них бросает свой мяч кому-нибудь из своих товарищей и сам ловит брошенный кем-нибудь мяч (он может подбросить и поймать свой собственный мяч) так, что снова у всех оказывается по мячу. Затем ребята снова бросают мячи тем же, кому они бросали их в первый раз, и так далее. Игра останавливается, когда все мячи вернулись к своим владельцам (чтобы мячи не перепутались, будем считать их разноцветными). Докажите, что:

а) для любого участника мяч вернётся к нему не более чем через N бросаний;

б) игра обязательно закончится;

в) для 5, 10 и 15 участников она может закончиться самое большее через соответственно 6, 30 и 105 бросаний (а какова максимально возможная длительность игры для N = 7, 8 или 20?);

г) длительность игры является делителем числа N! = 1 · 2 · ... · N;

д) длительность игры не может превышать числа 3^N/3.

356. Из точки M, взятой внутри треугольника A₁B₁C₁, опущены перпендикуляры MA₂, MB₂ и MC₂ на прямые B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁ соответственно. Затем из той же точки M опущены перпендикуляры MA₃, MB₃ и MC₃ на прямые B₂C₂, A₂C₂ и A₂B₂, и так далее. Докажите, что треугольник A₄B₄C₄ подобен треугольнику A₁B₁C₁ и, следовательно, для любого натурального n треугольник A_3n+1B_3n+1C_3n+1 подобен треугольнику A₁B₁C₁.

357. Если x + ¹⁄_y = y + ¹⁄_z = z + ¹⁄_x, то x = y = z или x²y²z² = 1. Докажите это.

358. В любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него. Докажите это. Для каждого n выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n-угольник.

359*. Маленький шарик движется внутри биллиарда, имеющего форму эллипса с фокусами A и B, упруго отражаясь от его бортов, по ломаной P₁P₂P₃P₄..., где P₁, P₂, P₃, P₄, ... — точки эллипса. Докажите, что если звено P₁P₂ не пересекает отрезок AB, то

а) ни одно из следующих звеньев P₂P₃, P₃P₄, P₄P₅, ... не пересекает отрезок AB;

б) все эти звенья касаются одного и того же эллипса. (Подумайте, как построить этот эллипс.)

360. Последовательность a₁, a₂, a₃, ... обладает тем свойством, что |a₁ | = 1 и |a_k+1 | = |a_k + 1| для любого натурального k. Найдите наименьшее возможное значение суммы |a₁ + a₂ + ... + a_n|, если а) n = 1975; б) n = 1976.

1976 год

361. Двое играют в следующую игру. Сначала на клетчатой бумаге выделяют прямоугольник размером m×n клеток. Ходят по очереди. Каждым ходом игрок вычёркивает все клетки какого-то горизонтального или вертикального ряда, в котором ещё остались невычеркнутые клетки. Побеждает тот, кто делает последний ход, то есть вычёркивает последние клетки. Кто может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр? (Ответ, конечно, зависит от m и n).

362. Разделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника ABCD на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах. Докажите, что площадь «среднего» четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника ABCD.

363. Две параболы с параллельными осями пересекаются в точках A₀ и B₀. На первой параболе взяты точки A₁, A₂, ..., A_2n, а на второй — точки B₁, B₂, ..., B_2n так, что прямая A_kA_k+1 параллельна прямой B_kB_k+1 для любого целого неотрицательного числа k < 2n. Докажите, что прямая A₀B_2n параллельна прямой B₀A_2n.

364. Из 16 космонавтов нужно выбрать 4-х — экипаж космического корабля. Тренировки проводятся с 4-мя экипажами по 4 человека в каждом. Можно ли составить расписание тренировок таким образом, чтобы любые два космонавта побывали в одном экипаже ровно один раз?

365. а) Сумма нескольких чисел равна единице. Может ли сумма их кубов быть больше единицы?

б) Тот же вопрос для чисел, каждое из которых меньше единицы.

в) Может ли случиться, что некоторый ряд a₁ + a₂ + a₃ + ... сходится, а ряд a₁³ + a₂³ + a₃³ + ..., образованный кубами его членов, расходится?

Ряд x₁ + x₂ + x₃ + ... называют сходящимся, если последовательность его частичных сумм S_n = x₁ + x₂ + ... + x_n стремится к некоторому конечному пределу.

366. Можно ли расположить на плоскости несколько треугольников так, чтобы две вершины каждого из них лежали на сторонах (но не в вершинах) других треугольников?

367. Может ли произведение а) трёх; б) четырёх последовательных натуральных чисел равняться некоторой степени некоторого натурального числа (квадрату, кубу, ...)?

368. Пересечение трёх прямых круговых цилиндров, оси которых взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), а радиусы равны 1, содержится в некотором шаре, радиус которого равен квадратному корню из числа 1,5. Докажите это.

369*. Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Окружность с центром H лежит внутри треугольника. Постройте треугольник A'B'C', описанный около неё и вписанный в треугольник ABC.

370*. Рассмотрим тройку неотрицательных чисел: a, b, c. Рассмотрим абсолютные величины разностей этих чисел: ½a – b½, ½b – c½,½c – a½. Затем из этой тройки по тому же правилу образуем следующую, затем следующую и так далее. Обязательно ли среди полученных таким образом чисел встретится 0, если исходные числа а) целые; б) действительные?

371. В каждой клетке шахматной доски написано целое число от 1 до 64, причём в разных клетках — разные числа. За один вопрос можно, указав любое множество полей, узнать множество чисел, стоящих на этих полях. За какое наименьшее число вопросов можно узнать числа во всех клетках?

372. Дан треугольник ABC. Докажите, что величина угла ACB не меньше 120° в том и только том случае, когда для любой точки P сумма длин отрезков AP, BP и CP не меньше суммы длин отрезков AC и BC.

373. а) Все натуральные числа (записанные в десятичной системе) разбиты на два класса. Докажите, что любую бесконечную десятичную дробь можно разрезать на такие конечные куски, чтобы все они, кроме, быть может, первого куска, принадлежали одному классу.

б) Та же задача, но натуральные числа разбиты не на два, а на несколько классов.

374. Числа a, b, c — положительные, a > c и b > c. Докажите, что сумма квадратных корней из чисел c(a – c) и c(b – c) не превосходит квадратного корня из числа ab.

375. Внутри выпуклого многогранника объёмом 1 отмечены 3(2ⁿ – 1) точки. Докажите, что из него можно вырезать выпуклый многогранник объёмом 1 ⁄ 2ⁿ, не содержащий внутри себя ни одной отмеченной точки.

376. а) В ряд расположено 30 клеток. На самой правой клетке стоит белая фишка, на самой левой — чёрная. Каждый из двух играющих по очереди передвигает свою фишку на одно поле — вперёд или назад. (Пропускать ход нельзя.) Проигравший — тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает: начинающий или его партнёр?

б) Решите задачу, заменив в условии 30 на n.

377. Дан треугольник АВС. Найдите на стороне АС такую точку D, чтобы периметр треугольника АВD равнялся длине стороны ВС.

378*. Существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде а) x³ + y³ + z³, где x, y, z — целые числа; б) x₁ⁿ + x₂ⁿ + ... + x_nⁿ, где x₁, x₂, ..., x_n — целые числа. Докажите это.

в) Любое рациональное число представимо в виде суммы кубов трёх рациональных чисел. Докажите это.

379*. На каждом из нескольких кусков бумаги произвольной формы поставлена клякса (произвольной формы). Назовём промокашку подходящей для данного куска, если её можно разместить внутри этого куска так, что она закроет кляксу. Пусть набор промокашек, имеющих форму кругов разных радиусов, обладает таким свойством: для любых двух данных кусков найдётся промокашка, подходящая для каждого из них. Докажите, что тогда в этом наборе найдётся одна промокашка, подходящая для всех кусков.

380*. а) На плоскости дана выпуклая фигура и внутри неё — точка O. К каждой прямой l, проходящей через точку О, проведём перпендикуляр в точке О и на нём по обе стороны от точки О отложим два равных отрезка, длины которых равны длине отрезка, получающегося при пересечении данной фигуры с прямой l. Объединение всех этих отрезков — новая фигура с центром симметрии О. Будет ли полученная фигура выпуклой?

б) В пространстве дано выпуклое центрально-симметричное тело с центром O. К каждой плоскости α, проходящей через точку O, проведём перпендикуляр в точке O и на нём по обе стороны от точки O отложим два отрезка, длины которых равны площади сечения данного тела плоскостью α. Объединение всех этих отрезков — новое тело с тем же центром симметрии О. Докажите, что полученное тело тоже выпуклое.

381. 6 активистов класса образовали 30 различных комиссий. Каждые две комиссии отличаются составом, но обязательно «пересекаются», то есть имеют общего члена. Докажите, что можно образовать ещё одну комиссию, пересекающуюся с каждой из этих 30 комиссий.

382. Если ни одно из значений многочлена с целыми коэффициентами в нескольких последовательных целых точках не делится на количество этих целых точек, то многочлен не имеет ни одного рационального корня. Докажите это.

383. Если произведение двух натуральных чисел чётно, то сумму их квадратов можно представить в виде разности квадратов натуральных чисел, а если нечётно, то нельзя. Докажите это.

384. Если квадраты OABC и OA'B'C' одинаково ориентированы, то прямые AA', BB' и CC' проходят через одну точку. Докажите это. (Два многоугольника называем одинаково ориентированными, если обход одного из них происходит в ту же сторону, что аналогичный обход другого, то есть оба по часовой стрелке или оба — против.)

385*. На клетчатой бумаге нарисован выпуклый многоугольник с вершинами в узлах (то есть углах клеток). Выберем какую-нибудь вершину O многоугольника F и обозначим через nF многоугольник, полученный из F растяжением в n раз относительно точки O (число n — натуральное). Обозначим через N(F) количество узлов, которые лежат внутри или на границе F, а через M(F) — количество узлов, лежащих на границе многоугольника F. Через S(F) обозначим площадь многоугольника F (площадь одной клетки равна 1). Докажите, что

а) N(nF) является многочленом от n;

б) 2S(F) = N(2F) – 2N(F) + 1;

в) S(F) = N(F) – ^M(F) ⁄ ₂ +1;

г) для любых двух выпуклых многоугольников F и G с вершинами в узлах N(nF + mG) является многочленом от m и n (имеется в виду сумма Минковского, о которой рассказано, например, в статье Н.Б. Васильева «Сложение фигур» в «Кванте» номер 4 за 1976 год). В трёхмерном пространстве рассмотрим выпуклый многогранник F, координаты всех вершин которого целые. Обозначим через nF многогранник, полученный из F гомотетией с коэффициентом n и центром в начале координат; через N(F) — количество точек с целыми координатами, расположенных внутри или на границе многогранника F; M(F) — количество точек с целыми координатами, расположенных на границе многогранника; V(F) — объём многогранника.

д) Не существует формулы, которая выражает V(F) через N(F) и M(F). Докажите это.

е) Придумайте формулу, которая (для некоторого k) выражает V(F) через N(F), N(2F), ..., N(kF).

ж) Придумайте формулу, выражающую V(F) через N(F), N(2F), M(F) и M(2F).

з) Докажите формулы, полученные при решении пунктов е) и ж).

и) N(nF) является многочленом от n. Докажите это.

386. Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты — целое число. Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.

387*. Существует ли такое натуральное число, что если приписать его само к себе, то получится точный квадрат?

388. а) На плоскости отмечено конечное число точек. Докажите, что среди них найдётся точка, у которой не более трёх ближайших (то есть находящихся на наименьшем от нее расстоянии; таких точек, вообще говоря, может быть несколько).

б) Существует ли на плоскости конечное множество точек, у каждой из которых в этом множестве ровно три ближайших?

389. Можно ли бесконечный лист клетчатой бумаги разбить на «доминошки» (каждая доминошка покрывает две клетки) так, чтобы каждая прямая, идущая по линии сетки, разрезала пополам лишь конечное число доминошек?

390*. Существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что сумма цифр десятичной записи числа 2ⁿ больше суммы цифр десятичной записи числа 2^{n + 1}. Докажите это.

391. а) В последовательности x₀, x₁, x₂, ... числа x₀ и x₁ — натуральные и меньшие 1000, а каждое следующее вычисляем по формуле x_n+2 = |x_n+1 – x_n|. Докажите, что хотя бы один из первых 1 500 членов последовательности равен 0.

б) В последовательности y₀, y₁, y₂, ... числа y₀ и y₁ — натуральные и меньшие 100 00, а каждое следующее равно наименьшей из абсолютных величин разностей некоторых двух предыдущих чисел. Докажите равенство x₂₀ = 0.

392. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

393. Найдите сумму f (0) + f (1 ⁄ n) + f (2 ⁄ n) + ... + f (n – 1 ⁄ n) + f (1), где f (x) = 4^x⁄ (4^x + 2).

394. а) На плоскости даны четыре вектора, сумма которых равна нулю. Рассмотрим суммы первого из них с каждым из остальных трёх, вычислим длины полученных сумм. Докажите, что сумма длин полученных трёх векторов не меньше суммы длин исходных четырёх векторов.

Докажите аналогичное неравенство для б) четырёх чисел, сумма которых равна нулю; в) четырёх векторов трёхмерного пространства, сумма которых равна нулю.

395*. В вершинах правильного n-угольника с центром в точке O расставлены числа 1 и –1. За один шаг разрешено изменить знак у всех чисел, стоящих в вершинах правильного k-угольника с центром O (при этом разрешены и «двуугольники» — отрезки с серединой в точке O). Докажите существование такого первоначального расположения единиц и минус единиц, что из него ни за какое число шагов нельзя невозможно получить набор из одних только 1, при а) n = 15; б) n = 30; в) n — любое натуральное число, n > 2.

г) Выясните для произвольного n, сколько существует типов расстановок, то есть каково наибольшее количество элементов в множестве расстановок чисел 1 и –1, ни одну из которых нельзя получить ни из какой другой расстановки этого множества при помощи интересующих нас операций. Например, докажите, что для n = 2100 существует 2⁴⁸⁰ таких расстановок.

396. Треугольник, все стороны которого больше 1, назовём большим. Докажите, что а) из треугольника Δ, длины всех сторон которого равны 5, можно вырезать 1000 больших треугольников; б) треугольник Δ можно разрезать на 1000 больших треугольников; в*) треугольник Δ можно триангулировать на 1000 больших треугольников, то есть разбить его так, чтобы любые два треугольника либо не имели общих точек, либо имели только общую вершину, либо имели общую сторону; г*) решите пункты б)и в) для равностороннего треугольника со стороной длины 3.

397. На плоскости даны три окружности одинакового радиуса. Докажите, что если они а) пересекаются в одной точке, как показано на левом рисунке, то сумма величин отмеченных дуг AK, CK и EK равна 180°; б) расположены так, как показано на правом рисунке, то сумма величин отмеченных дуг AB, CD и EF равна 180°.

398. На окружности расположены n чисел, сумма которых равна нулю. Одно из этих чисел равно 1.

а) Существуют соседние числа, различающиеся не менее чем на ⁴⁄_n. Докажите это.

б) Если n > 2, то хотя бы одно из чисел отличается от среднего арифметического своих соседей не менее чем на ⁸⁄_n². Докажите это.

в) Оценку, предложенную в предыдущем пункте, можно улучшить — заменить в ней число 8 каким-нибудь большим числом так, чтобы утверждение этой задачи по-прежнему выполнялось для всех натуральных чисел.

г*) Докажите, что для n = 30 на окружности есть число, отличающееся от среднего арифметического двух своих соседей не менее чем на ²⁄₁₁₃. Приведите пример набора 30 чисел на окружности, в котором ни одно число не отличается от среднего арифметического двух своих соседей более чем на ²⁄₁₁₃.

д*) Найдите точную оценку разности между числом и средним арифметическим его соседей для любого n > 2.

399*. На отрезке длиной 7 можно расставить 5 точек так, чтобы для любого m = 1, 2, 3, ..., 7 нашлись две отмеченные точки на расстоянии m. Обозначим через k наименьшее количество точек, которые нужно поставить на отрезке длиной n так, чтобы для любого натурального m £ n, нашлись две отмеченные точки на расстоянии m.

а) Найдите k для n = 1, 2, 3, ..., 13.

б) Докажите неравенства 8n + 1 £ (2k – 1)² и (k + 1)² £ 4n + 5.

400*. Последовательность натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_k назовём универсальной для данного n, если из неё можно получить вычёркиванием части членов любую перестановку чисел от 1 до n, то есть любую последовательность из n чисел, в которую каждое из чисел от 1 до n входит по одному разу. Приведите пример универсальной последовательности из а) n²; б) n² – n + 1 членов.

в) Любая универсальная последовательность состоит не менее чем из n(n + 1) ⁄ 2 членов. Докажите это.

г) При n = 4 кратчайшая универсальная последовательность состоит из 12 членов. Докажите это.

д) Для каждого натурального n постарайтесь указать как можно более короткую универсальную последовательность.

401. Внутри остроугольного треугольника ABC расположена такая точка P, что величины углов APB, BPC и CPA на 60° больше соответственно величин углов ACB, BAC и CBA. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков АР, ВР, СР (за точку Р) с окружностью, описанной вокруг треугольника АВС, лежат в вершинах равностороннего треугольника.

402. Строго возрастающая последовательность a₁, a₂, a₃, ... целых неотрицательных чисел, для каждых натуральных m и n удовлетворяющая равенству a_mn = a_m + a_n, не существует. Докажите это.

403. Если в выпуклом многограннике из каждой вершины выходит чётное число рёбер, то любое сечение плоскостью, не проходящей ни через одну из вершин, является многоугольником с чётным числом сторон. Докажите это.

404. На полке стоят первые n томов энциклопедии, где n > 3. Позволено взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя томами или же в начало или в конец ряда, не меняя при этом порядка этих трёх томов. Всегда ли можно, применив несколько раз указанную операцию, расставить их в порядке возрастания номеров томов (независимо от первоначальной расстановки томов)?

405. На шахматной доске размером 99×99 отмечена фигура Ф. В каждой клетке фигуры Ф сидит жук. В какой-то момент жуки взлетели и сели снова в клетки той же фигуры Ф; при этом в одну клетку могли сесть несколько жуков. После перелёта любые два жука, занимавшие соседние клетки, оказались снова в соседних клетках или попали на одну клетку. (Соседними называем клетки, имеющие общую сторону или общую вершину.)

а) Пусть Ф — «центральный крест». Докажите, что в таком случае какой-то жук вернулся на место или перелетел на соседнюю клетку.

б) Верно ли это утверждение, если Ф — «оконная рама»?

в) А если Ф — вся доска?

406. Квадрат ABCD вписан в окружность радиуса R. Докажите для любой точки M этой окружности равенство AM⁴ + BM⁴ + CM⁴ + DM⁴ = 24R⁴.

407. m и n — натуральные числа, причём n > m. Докажите, что n представимо в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых — делитель числа m, а другое взаимно просто с ним, то есть не имеет с m ни одного общего делителя, кроме единицы. Решение М407.

408. Из 30 равных прямоугольников составлен прямоугольник, подобный исходным. Каким может быть отношение длин сторон этого прямоугольника?

409*. В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой — пятую, и так далее.

а) Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б) Докажите, что 11-я строка совпадает с 12-й.

в) Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10-я строка не совпадает с 11-й.

410*. На сфере с радиусом 1 проведена окружность большого круга, которую мы будем называть экватором. Будем использовать и другие географические термины: полюс, меридиан, параллель.

а) Зададим на этой сфере функцию f, значение которой в каждой данной точке M равно квадрату расстояния от M до плоскости экватора. Проверьте для любых трёх концов X, Y, Z трёх взаимно перпендикулярных радиусов сферы равенство f (X) + f (Y) + f (Z) = 1. (*)

В следующих пунктах f — произвольная неотрицательная функция на сфере, которая равна 0 во всех точках экватора и обладает свойством (*).

б) Пусть M и N — точки одного меридиана, расположенные между северным полюсом и экватором. Докажите, что если точка M расположена дальше от плоскости экватора, чем N, то f (M) ³ f (N).

в) Докажите, что функция f совпадает с функцией, описанной в пункте а).

411. Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину х. Выразите х через длины a, b и c сторон треугольника.

412. В городе на каждую площадь выходит не менее трёх улиц. На всех улицах введено одностороннее движение так, что с любой площади можно проехать на любую другую. Докажите, что можно запретить движение по одной из улиц (на участке между двумя площадями) так, что по-прежнему с любой площади можно будет проехать на другую.

413. Для каких положительных чисел a верно следующее утверждение: для любой функции f, определённой на отрезке [0; 1], непрерывной в каждой точке этого отрезка и такой, что f (0) = f (1) = 0, уравнение f (x + a) = f (x) имеет решение?

а) Рассмотрите сначала случай a = ¹⁄₂.

б) Для a = ¹⁄_n, где n — натуральное число, докажите сформулированное утверждение.

в) Для остальных положительных a утверждение ложно. Докажите это.

При решении задачи может пригодиться такое свойство непрерывных функций: если функция g определена на отрезке [a; b], непрерывна в каждой точке этого отрезка и на концах его принимает значения разных знаков, то между a и b найдётся такая точка c, что g (c) = 0.

414*. а) Из пяти треугольников, отсекаемых от данного выпуклого пятиугольника его диагоналями, площади четырёх равны S, а площадь пятого — 3S ⁄ 2. Найдите площадь x этого пятиугольника.

б) Если S₁, S₂, S₃, S₄ и S₅ — площади пяти таких треугольников, то x² – (S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅)x + S₁S₂ + S₂S₃ + S₃S₄ + S₄S₅ + S₅S₁ = 0.

415. Какое наибольшее число королей можно расставить на торической шахматной доске n×n, чтобы они не били один другого? Торическую шахматную доску получаем из обычной доски, склеивая её верхнюю горизонталь с нижней, а левую вертикаль с правой. На торической доске с каждого поля король может пойти на любое из восьми соседних полей.

416. В пространстве даны n точек, никакие четыре из которых не лежат на одной прямой. Какое наибольшее число отрезков с концами в этих точках можно провести так, чтобы не получилось ни одного треугольника с вершинами в этих точках?

417. На поверхности куба с ребром 1 расположена замкнутая ломаная линия. На каждой грани куба находится по крайней мере одна её точка. Докажите, что длина ломаной не меньше 3 квадратных корней из двух.

418. Для любого натурального n докажите, что сумма обратных величин первых n натуральных чисел не меньше произведения числа n и разности корня n-й степени из n + 1 и числа 1 и не больше суммы числа 1 и произведения числа n на разность числа 1 и числа, обратного корню n-й степени из n.

419. В круге радиусом 16 расположены 650 точек. Докажите существование кольца с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежат не менее 10 из данных точек.

420. а) Из дроби ^a⁄_b, где a ≠ 0, разрешено получить любую из трёх дробей ^{(a – b)}⁄_b, ^{(a + b)}⁄_b и ^b⁄_a. (В том числе при a £ 0; таким образом, мы рассматриваем дробь лишь как пару чисел, допуская в знаменатель ноль и отрицательные числа.) Можно ли такими преобразованиями из дроби ¹⁄₂ получить дробь ⁶⁷⁄₉₁?

б*) Из пары дробей (^a⁄_b; ^c⁄_d) разрешено получить любую из пар (^{(a + b)}⁄_b; ^{(c + d)}⁄_d), (^{(a – b)}⁄_b; ^{(c – d)}⁄_d), (^b⁄_a; ^d⁄_c) (в том числе при a = 0 или с = 0). Можно ли из пары дробей (¹⁄₂; ⁵⁄₇) получить следующие пары: (¹⁄₃; ²⁄₉), (¹⁄₄; ³⁄₈), (⁴⁄₅; ⁷⁄₈), (⁵⁄₁₉; ¹³⁄₅₀) и (³⁹⁄₅₀; ⁶⁰⁄₇₇)?

в*) Постарайтесь выяснить, какие вообще «дроби» (соответственно, пары «дробей» с возможно равными нулю знаменателями) можно получить из данных в пунктах а) и б).

1977 год

421. При каких натуральных m и n, где m £ n, можно закрасить некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги таким образом, чтобы любой прямоугольник размером m×n содержал ровно одну закрашенную клетку? (Начните с частных случаев m = 2 и n = 3, 4 или 5.)

422. Разбейте произвольный треугольник на семь равнобедренных треугольников, из которых три равны между собой.

423*. Для любых вещественных чисел x, y и z докажите, что произведение (x² + y² – z²)(x² + z² – y²)(y² + z² – x²) не превосходит квадрата произведения (x + y – z)(x + z – y)(y + z – x). Докажите это.

424. Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около противоположной грани, и перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти четыре плоскости пересекаются в одной точке.

425*. Существует ли такое натуральное n, что каждое рациональное число между нулём и единицей представимо в виде суммы n чисел, обратных натуральным?

1 2 3 4 ... n – 1 n
2 3 4 ... n – 1 n 1
3 4 ... n – 1 n 1 2
4 ... n – 1 n 1 2 3
... n – 1 n 1 2 3 4
... n – 1 n 1 2 3 4
... n – 1 n 1 2 3 4
n – 1 n 1 2 3 4 ...
n – 1 n 1 2 3 4 ... n – 2
n 1 2 3 4 ... n – 2 n – 1

426. Таблица размером n×n заполнена числами от 1 до n, как показано на рисунке. При каких n в ней можно выбрать n клеток так, чтобы никакие две клетки не принадлежали одной строке или одному столбцу и чтобы все числа в выбранных клетках были разные?

427. Докажите следующие утверждения.

а) Существует такое нечётное число n, что ни для какого чётного k ни одно из чисел k^k + 1, k^{k^k} + 1, k^{k^{k^k}} + 1, k^{k^{k^{k^k}}} + 1, ... не делится на n.

б) Для любого натурального n существует такое натуральное k, что все члены последовательности k^k + 1, k^{k^k} + 1, k^{k^{k^k}} + 1, k^{k^{k^{k^k}}} + 1, ... делятся на n.

428. В олимпиаде участвуют (m – 1) · n + 1 человек. Докажите, что среди них найдутся m участников, попарно незнакомых между собой, либо найдётся участник, знакомый не менее чем с n участниками олимпиады. Останется ли верным утверждение задачи, если количество участников олимпиады уменьшится на единицу? (Отношение знакомства считаем симметричным: если Дутин знаком с Жутиным, то и Жутин знаком с Дутиным.)

429. а) Сколько решений имеет уравнение [x] – 1977{x} = 1978?

б) Если p не равно 0, то для любого q уравнение [x] + p{x} = q имеет [|p|] или [|p|] + 1 решений. Докажите это.

430*. а) Любую выпуклую плоскую фигуру площади S можно поместить в прямоугольник площади 2S. Докажите это.

б) Любое выпуклое тело объёма V можно поместить в прямоугольный параллелепипeд объёма 6V. Докажите это.

431. В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть по лесу провод из точки А в точку В, расстояние между которыми равно l. Докажите, что для этой цели достаточно иметь провод длиной 1,6 l.

432*. Существует ли натуральное число, сумма цифр десятичной записи квадрата которого равна а) 1977; б) 1978?

в) Какие натуральные числа являются суммами цифр десятичной записи квадрата целого числа?

433. Сторона ВС выпуклого пятиугольника ABCDE параллельна диагонали AD, сторона CD — диагонали ВЕ, сторона DE — диагонали AC, а сторона АЕ — диагонали BD. Докажите, что сторона АВ параллельна диагонали СЕ.

434*. Для каждого натурального n представим сумму дробей вида 2^k ⁄ k, где k = 1, 2, ..., n, в виде несократимой дроби p ⁄ q. Докажите следующие утверждения.

а) Все числа p₁, p₂, p₃, ... чётные.

б) Если n > 3, то p_n делится на 8.

в) Для любого натурального k существует такое n, что все числа p_n, p_n+1, p_n+2, ... делятся на 2^k.

435*. В таблице размером m×n записаны действительные числа, в каждой клетке по числу. Пусть k £ m и l £ n. В каждом столбце подчеркнём k наибольших чисел, а в каждой строке — l наибольших чисел. Докажите, что по крайней мере kl чисел подчёркнуты дважды. Разберите случаи а) k = l = 2; б) k = l = 3; в) k и l — любые.

436. Даны 20 чисел a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀, b₁, b₂, ..., b₁₀. Докажите, что набор из 100 чисел (не обязательно различных), получаемых сложением одного из чисел a_k с одним из чисел b_m, можно так разбить на 10 подмножеств, по 10 чисел в каждом, чтобы сумма элементов подмножества была одна и та же для всех подмножеств.

437. Нечётное число, являющееся произведением n различных простых чисел, представимо в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2^n–1 способами. Докажите это. (Например, число 5 · 13 можно представить двумя способами: 65 = 9² – 4² = 33² – 32².)

438. В данный сегмент вписываем всевозможные пары касающихся окружностей. Для каждой пары окружностей через точку касания проводим касающуюся их прямую. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

439*. а) Уравнение ax^k + bx^l + cx^m = 1, где a, b и c — действительные, а k, l и m — натуральные числа, имеет не более трёх положительных корней. Докажите это.

б) Уравнение, в левой части которого находится сумма n слагаемых вида ax^k, где k — натуральное число, а a — действительное число, имеет не более n положительных корней. Докажите это.

в) Уравнение ax^k(x + 1)^p + bx^l(x + 1)^q + cx^m(x + 1)^r = 1, где a, b и c — действительные, а k, l, m, p, q и r — натуральные числа, имеет не более 14 положительных корней. Докажите это.

440. Куб 100×100×100 составлен из миллиона единичных кубиков. Назовём шампуром прямую, проходящую через центры кубиков и параллельную рёбрам куба.

а) При каком наименьшем k можно провести k непересекающихся шампуров так, чтобы к ним нельзя было добавить ещё один не пересекающий их шампур?

б) При каком наибольшем k можно провести 3k непересекающихся шампуров так, чтобы среди них было k шампуров каждого направления?

441. Внутри выпуклого 2n-угольника взята произвольная точка Р. Через каждую вершину и точку Р проведена прямая. Докажите, что найдётся сторона многоугольника, с которой ни одна из проведённых прямых не имеет общих точек (кроме, быть может, концов стороны).

442. Пусть p — простое число, p > 2. Для каждого натурального числа k < p вычислим остаток от деления числа k^p на p². Докажите, что сумма вычисленных остатков равна половине разности p³ – p.

443. Рассмотрим таблицу размером n×n, все клетки которой заполнены нулями. Разрешено произвольно выбрать n чисел, стоящих в разных строках и разных столбцах, и увеличить каждое из них на 1.

а) Можно ли за несколько шагов получить таблицы, изображённые на рисунках?

1 2 3 4 ... n – 1 n
2 3 4 ... n – 1 n 1
3 4 ... n – 1 n 1 2
4 ... n – 1 n 1 2 3
... n – 1 n 1 2 3 4
... n – 1 n 1 2 3 4
... n – 1 n 1 2 3 4
n – 1 n 1 2 3 4 ...
n – 1 n 1 2 3 4 ... n – 2
n 1 2 3 4 ... n – 2 n – 1

1 2 3 4 ... n – 1 n
2 3 4 ... n – 1 n n + 1
3 4 ... n – 1 n n + 1 n + 2
4 ... n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3
... n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4
... n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4
... n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4
n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4 ...
n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4 ... 2n – 2
n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4 ... 2n – 2 2n – 1

б) Можно ли получить таблицу, ни одно число которой не равно никакому другому?

в*) Какие вообще таблицы можно получить через t шагов?

444. На рисунке четыре прямые разбивают плоскость на 11 областей: четырёхугольник, два треугольника, три угла, четыре «бесконечных треугольника» (области, ограниченные каждая отрезком и двумя лучами) и «бесконечный четырёхугольник» (область, ограниченная двумя отрезками и двумя лучами).

а) Верно ли сказанное для любых четырёх прямых на плоскости, среди которых нет параллельных и нет троек прямых, проходящих через одну точку?

б) Три больших круга, не проходящих через одну точку, разбивают круг на 8 треугольников. На какие области разбивают сферу четыре больших круга, никакие три из которых не проходят через одну точку? (Большим кругом на сфере называют окружность, являющуюся пересечением сферы с плоскостью, проходящей через её центр.)

в) На какие области могут разбить сферу 5 больших кругов, никакие три из которых не проходят через одну точку?

445. Центры одинаковых непересекающихся окружностей находятся в центрах правильных шестиугольниках, покрывающих плоскость так, как показано на рисунке. Пусть M — многоугольник с вершинами в центрах окружностей. Окрасим те окружности или их дуги, которые лежат внутри M, как показано на рисунке. Докажите, что сумма величин окрашенных дуг равна 180°·n, где n — натуральное число, и дайте этому геометрическую интерпретацию.

446. Окружность радиуса 1 катится снаружи по окружности, квадрат длины которой равен 2. В начальный момент времени точка касания окружностей отмечена липкой красной краской. При качении любая покрашенная точка красит любую точку, с которой соприкасается. Сколько разных точек неподвижной окружности будут запачканы к тому моменту, когда подвижная окружность сделает 100 оборотов вокруг неподвижной?

447*. В остроугольном треугольнике ABC отрезки BO и CO, где O — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках D и E со сторонами AC и BC. Найдите величины углов треугольника ABC и докажите равенства AE = ED, CE = CB и CD = CO, если величины углов BDE и CED равны 50° и 30° соответственно.

448*. Центр любого эллипса, вписанного в данный четырёхугольник, лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей этого четырёхугольника. Докажите это.

449. а) По одной прямой двигаются n одинаковых шариков. Какое максимальное число соударений между ними может произойти?

б*) Тот же вопрос для трёх шариков массами m₁, m₂ и m₃.

в*) Если по одной прямой двигаются n различных шариков, то общее число столкновений между ними конечно. Докажите это.

В этих задачах шарики — это материальные точки, сталкивающиеся друг с другом абсолютно упруго, то есть с сохранением суммарных импульса и энергии, причём предполагаем, что все происходящие столкновения — только парные: три или более шарика в одной точке одновременно не оказываются.

450. Система прямоугольников из n этажей построена следующим образом. Начиная с нижнего прямоугольника, образующего первый этаж, верхнюю сторону каждого прямоугольника делим в отношении 1 : 2 : 3; на трёх полученных отрезках как на основаниях строим прямоугольники той же высоты, что и первоначальный, и так — до самого верхнего этажа. Из полученного множества прямоугольников выбрано некоторое подмножество, состоящее из попарно неравных прямоугольников (одно такое подмножество на рисунке выделено). Докажите существование вертикальной прямой, пересекающей не более двух из выбранных прямоугольников.

451. На плоскости отмечено несколько точек, не лежащих на одной прямой, и около каждой написано число. Для любой прямой, проходящей через две или более отмеченные точки, сумма всех чисел, написанных около этих точек, равна 0. Докажите, что все числа равны 0.

452. В окружность вписаны треугольники T₁ и T₂, причём вершины треугольника T₂ являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T₁. Докажите, что диагонали шестиугольника, являющегося пересечением треугольников T₁ и T₂, соединяющие его противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T₁ и пересекаются в одной точке.

453*. Множество состоит из n положительных чисел. Для каждого его непустого подмножества выпишем сумму его элементов. Докажите, что все 2ⁿ – 1 выписанных сумм можно так разбить на n множеств, что в каждом из них отношение наибольшего числа к наименьшему не превзойдёт числа 2.

454. За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает всё своё молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и так далее. После того как седьмой гном разлил всем остальным своё молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?

455. Мы будем рассматривать многочлены от одной переменной со старшим коэффициентом 1. Будем говорить, что два таких многочлена P и Q коммутируют, если многочлены P(Q(х)) и Q(Р(х)) тождественно равны (то есть после раскрытия скобок и приведения к стандартному виду все коэффициенты этих многочленов совпадают).

а) Для любого числа α найдите все многочлены степени не выше третьей, коммутирующие с многочленом x² – α.

б) Пусть P — многочлен степени 2, k — натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени k, коммутирующего с P.

в) Найдите все многочлены степени 4 или 8, коммутирующие с данным многочленом P степени 2.

г) Если два многочлена коммутируют с одним и тем же многочленом второй степени, то они коммутируют между собой. Докажите это.

д) Существует бесконечная последовательность многочленов P₁, P₂, P₃, ..., каждые два члена которой коммутируют, а P₂(x) = x² — 2. Докажите это.

456. В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся 3 ребра, а каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг этого многогранника можно описать сферу.

457. На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особенных пар чётно.

458. Напишем многочлен десятой степени, старший коэффициент которого равен 1, как и его свободный член. Остальные 9 коэффициентов этого многочлена заменим на звёздочки. Пусть теперь двое играют в такую игру. Сначала первый заменяет одну из звёздочек некоторым числом, затем второй заменяет числом любую из оставшихся звёздочек, затем снова первый заменяет одну из звёздочек числом и так далее (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будет действительных корней, то выигрывает первый игрок, а если будет хотя бы один корень — выигрывает второй. Может ли второй игрок выиграть при любой игре первого?

459*. В некоторой стране из каждого города в другой можно проехать, минуя остальные города. Известна стоимость каждого такого проезда. Составлены два маршрута поездок по городам страны. В каждый из этих маршрутов каждый город входит ровно по одному разу. При составлении первого маршрута руководствовались следующим принципом: начальный пункт маршрута выбрали произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут ещё не прошёл, выбирали тот, поездка в который из предыдущего города имеет наименьшую стоимость (если таких городов несколько, то выбирали любой из них), и так до тех пор, пока не пройдены все города. При составлении второго маршрута начальный город тоже выбрали произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут ещё не прошёл, выбирали тот, поездка в который из предыдущего города имеет наибольшую стоимость. Докажите, что общая стоимость проезда по первому маршруту не больше общей стоимости проезда по второму маршруту.

460. Пусть А — 2n-значное число (первая цифра не нуль). Будем называть число А особым, если как оно само, так и числа, образованные его первыми n цифрами и его последними n цифрами, являются квадратами целых чисел; при этом второе число может начинаться с цифры 0, но не должно быть равно нулю.

а) Найдите все двузначные и четырёхзначные особые числа.

Существует б) хотя бы одно 20-значное особое число; в) не более 10 особых 100-значных чисел; г) хотя бы одно 30-значное особое число. Докажите это.

461. На столе стоят чашечные весы и n гирь различных масс. Гири по очереди ставим на чашки весов (на каждом шаге со стола берём любую гирю и добавляем на ту или другую чашку весов).

а) Докажите, что гири можно ставить в таком порядке, чтобы сначала перевесила левая чашка, затем правая, потом снова левая, снова правая и так далее.

Этой последовательности результатов взвешиваний сопоставим слово из букв L и R: LRLRLRLR... Здесь буква L (left) означает, что перевесила левая чашка, а буква R (right) означает, что перевесила правая чашка.

б)* Для любого слова длиной n из букв L и R можно в таком порядке ставить гири на чашки весов, чтобы это слово соответствовало последовательности результатов взвешиваний.

462. Плоскость пересекает боковые ребра правильной четырёхугольной пирамиды в точках, отстоящих от вершины на расстояния a, b, с и d. Докажите равенство ¹⁄_a + ¹⁄_c = ¹⁄_b + ¹⁄_d.

463*. Если сумма натуральных чисел x₁, x₂, ..., x_m равна сумме натуральных чисел y₁, y₂, ..., y_n и эта сумма меньше mn, то можно вычеркнуть часть слагаемых так, чтобы равенство осталось верным. Докажите это.

464*. На плоскости даны 1000 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Пусть М — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждая точка множества М попала не менее чем в один и не более чем в четыре отмеченных квадрата.

465*. Имеется тысяча билетов с номерами 000, 001, ..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, ..., 99. Билет разрешено опустить в ящик, если номер ящика можно получить из номера этого билета вычёркиванием одной из цифр. Докажите, что а) можно разложить все билеты в 50 ящиков; б) нельзя разложить все билеты менее, чем в 40 ящиков; в) нельзя разложить все билеты менее, чем в 50 ящиков.

Пусть вообще имеется 10^k билетов с k-значными номерами (от 00...0 до 99...9). Билет разрешено опустить в ящик, номер которого можно получить из номера этого билета вычёркиванием некоторых k – 2 цифр. г) Докажите, что при k = 4 все 10 000 четырёхзначных билетов можно разложить по 34 ящикам.

д) Найдите минимальное количество ящиков, в которое можно разложить k-значные билеты. Попробуйте решить эту задачу для k = 4, 5, 6, ...

466. Среди 1977 монет 50 фальшивых. Каждая фальшивая монета отличается от настоящей на один грамм (в ту или в другую сторону). Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс грузов на чашках. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настоящая. Научитесь это делать!

467. Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке О. Докажите, что угол АОС прямой.

468. Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M скалярное произведение векторов MA и MB равно скалярному произведению векторов MC и MD. Верно ли обратное утверждение?

469*. а) Если уравнение x⁴ + ax³ + bx + c = 0 имеет четыре различных вещественных корня, то ab < 0. Докажите это.

б) Если уравнение xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a_k+1x^k+1 + a_k–1x^k–1 + ... + a₀ = 0 имеет n различных вещественных корней, то a_k+1a_k–1 < 0. Докажите это.

470. Докажите следующие утверждения.

а) Сумма выражений вида (–1)^k⁄ C_n^k, где 0 £ k £ n, равна числу (n + 1)((–1)ⁿ + 1) ⁄ (n + 2).

б) Сумма выражений вида 1 ⁄ C_n^k, где 0 £ k £ n, равна сумме чисел вида 2^k⁄ k, где 1 £ k £ n, умноженной на (n + 1) и делённой на 2ⁿ⁺¹.

471. Две пересекающиеся окружности вырезают из плоскости три ограниченные непересекающиеся области. Докажите, что не существует окружности, делящей пополам площадь каждой из этих трёх областей.

472. Внутри куба расположен выпуклый многогранник, проекция которого на каждую из граней совпадает с этой гранью. Докажите, что объём многогранника не меньше ¹⁄₃ объёма куба.

473*. Даны две группы по n гирь, в каждой из которых гири расположены в порядке возрастания масс. Докажите, что

а) 2n – 1 взвешиваниями можно расположить и все 2n гирь в порядке возрастания их масс;

б) меньшим 2n – 1 числом взвешиваний это сделать, вообще говоря, нельзя. (За одно взвешивание сравнивают массы двух гирь; массы всех гирь разные.)

474. Натуральное число называют совершенным, если оно равно половине суммы своих делителей. Докажите, что число несовершенно, если оно а) при делении на 4 даёт остаток 3; б) при делении на 6 даёт остаток 5.

Числа 6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 совершенные. До сих пор неизвестно, существует ли нечётное совершенное число.

475*. а) Равносторонний треугольник нельзя нарисовать на клетчатой бумаге так, чтобы его вершины попали в узлы сетки (вершины клеток). Докажите это.

б*) На клетчатой бумаге со стороной клетки, равной 1, можно для любого положительного числа ε нарисовать равносторонний треугольник, вершины которого находятся на расстоянии меньше ε от трёх различных узлов бумаги. Докажите это.

в*) Для любого ли многоугольника M и любого ли положительного числа ε можно нарисовать на клетчатой бумаге многоугольник, подобный M, каждая вершина которого находится на расстоянии меньше ε от ближайшего и своего для каждой вершины узла?

476*. а) Если все вершины выпуклого многоугольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а ни внутри, ни на его сторонах других узлов нет, то n < 555. Докажите это.

б) Пространство разбито тремя семействами параллельных плоскостей на одинаковые кубы. Вершины кубов назовём узлами. Докажите, что если все n вершин выпуклого многогранника лежат в узлах, а на его рёбрах, гранях и в его внутренности других узлов нет, то n < 9.

477*. Дан многочлен P с целыми коэффициентами такой, что для каждого натурального x верно неравенство x < P(x) . Определим последовательность формулами b₁ = 1 и b_k+1 = P(b_k) для каждого натурального k. Докажите, что если для любого натурального числа d хотя бы один из членов последовательности делится на d, то P(x) = x + 1.

478. В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.

а) Если для любых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи. Докажите это.

б) Постройте пример такого турнира семи команд.

в) Если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15. Докажите это.

479. Существуют ли а) 6; б) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух из них сумма этих двух чисел делится на их разность?

480*. Докажите следующие утверждения.

а) В последовательности, заданной начальным членом c₁ = 2 и рекуррентной формулой c_n+1 = [3c_n ⁄ 2], бесконечно много чётных чисел и бесконечно много нечётных чисел.

б) Последовательность остатков от деления на 2 чисел c₁, c₂, c₃, ... непериодическая.

в) Существует такое число γ, что для любого натурального числа n число c_n является наименьшим натуральным числом, большим произведения числа γ и n-й степени числа 3 ⁄ 2.

1978 год

481. Каждый член последовательности натуральных чисел, кроме первого, равен сумме квадратов цифр десятичной записи предыдущего члена этой последовательности. Докажите, что каким бы ни был первый член, в последовательности обязательно встретится число 1 или число 89. (Например, если первый член равен 1978, то второй равен 1² + 9² + 7² + 8² = 195, третий равен 1² + 9² + 5² = 107, четвёртый — 50, пятый — 25, шестой — 29, седьмой — 85, а восьмой — 89.)

482. Сечение правильного тетраэдра — четырёхугольник. Докажите, что периметр этого четырёхугольника больше 2a, но меньше 3a, где a — длина ребра тетраэдра.

483. а) Отношение квадрата радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника к сумме квадратов длин медиан, проведённых из острых углов, не превосходит ¹⁄₂₀. Докажите это.

б) Найдите наибольшее значение, которое может принимать это отношение.

484. При каких n существует выпуклый n-угольник, который можно разрезать на несколько правильных многоугольников (не обязательно одинаковых)?

485.* а) Для любого натурального n число e заключено между числами a_n и b_n, где a_n — это число (n + 1)/n, возведённое в n-ю степень, а b_n — это число (n + 1)/n, возведённое в (n + 1)-ю степень. Докажите это. (Число e — это предел последовательности a₁, a₂, a₃, ...)

б) Последовательность с_n = a_n + a_n : (4n) возрастает, а последовательность d_n = a_n + a_n : (2n) монотонно убывает. Докажите это.

в) Разделим отрезок [a_n; b_n] на четыре равных по длине отрезка. В каком из них лежит число e?

г) Разделим отрезок [a_n; b_n] на восемь равных частей. В какой из них лежит e?

д) А если отрезок [a_n; b_n] разделить на 2^k равных частей, где n > 2^k?

486. Какое из чисел больше: а) 2^{3^2³} или 3^{2^3²}; б) 2^{3^{2^{.^{.^.}}}} или 3^{2^{3^{.^{.^.}}}}, где в обоих выражениях n «этажей»?

487. На данных окружностях γ₁ и γ₂ постройте по хорде так, чтобы они были гомотетичны с заданным центром A, принадлежащим γ₁, и чтобы длина хорды окружности γ₂ равнялась данной величине a.

488. Рассмотрим последовательность многочленов P₀, P₁, P₂, ..., определённые формулами P₀(x) = 1, P₁(x) = x и P_n+1 = xP_n(x) – P_n–1(x) для любого натурального n. Докажите следующие утверждения.

а) Рассмотрим последовательность, определённую своим первым членом a₁ = x и рекуррентной формулой a_n+1 = x – ¹⁄_{a_n}. Для любого натурального числа n верно равенство a_nP_n–1 = P_n.

б) sin (n + 1)x = P_n(cos x) sin x.

в) tⁿ⁺¹ – t^–n–1 = (t – t^–1)P(t + t^–1), если t ≠ 0.

г) P_n(x) — это произведение разностей между числом x и удвоенных косинусов углов вида πk ⁄ (n + 1), где 1 £ k £ n.

д) P_n(x) — это сумма произведений числа сочетаний из n – k по k на (–x)^k, где 0 £ 2k £ n.

е) Произведение удвоенных косинусов углов вида πk ⁄ (2n + 1), где 1 £ k £ n, равно 1.

ж) Придумайте аналогичные равенства для последовательности многочленов, определённой тем же рекуррентным соотношением, но начинающейся не с многочленов 1 и x, а с многочленов 2 и x.

489. Даны три числа a, b и c. Построим последовательности по формулам a₁ = a, b₁ = b, c₁ = c, a_n+1 = (b_n + c_n) ⁄ 2, b_n+1 = (c_n + a_n) ⁄ 2 и с_n+1 = (b_n + a_n) ⁄ 2 для любого натурального n. Докажите, что эти три последовательности имеют общий предел, найдите его.

490. Для любого простого нечётного числа p и любых p – 1 целых чисел, не делящихся на p, можно, заменив некоторые из этих чисел на противоположные, получить p – 1 чисел, сумма которых делится на p. Докажите это.

491. Рассмотрим геометрическую прогрессию, все члены которой — целые числа. (Например, 16, 24, 36, 54, 81.)

а) Докажите, что сумма квадратов трёх последовательных членов прогрессии делится на сумму этих членов.

б) При каких натуральных n сумма квадратов n последовательных членов прогрессии обязательно делится на сумму этих n членов?

492. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC лежат соответственно точки C', A' и B' так, что отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке P, то прямые, соединяющие середины сторон AB и A'B', BC и B'C', CA и C'A', пересекаются в одной точке, причём эта точка, центр тяжести треугольника ABC и точка P лежат на одной прямой.

493. Для любого натурального числа n сумма квадратных корней из чисел n² – 1, n² – 2, ..., n² – (n – 1)² больше числа 0,785n² – n и меньше числа 0,79n². Докажите это.

494. Внутри квадрата со стороной 1 расположены n² точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая эти точки, длина которой меньше а) 3n; б) 2n.

495*. В космическом пространстве вокруг планеты O по трём круговым орбитам с центром O равномерно вращаются три спутника. Угловые скорости спутников равны соответственно ω₁, ω₂ и ω₃, а их начальные положения могут быть произвольными. Обязательно ли найдётся момент времени, когда все три спутника и точка O лежат в одной плоскости, если а) ω₁ = ω₂ = ω₃ = 1; б) ω₁ = ω₂ = 1 и ω₃ = 2; в) ω₁ = 2, ω₂ = 3 и ω₃ = 4? Попробуйте выяснить, каков ответ при других соотношениях угловых скоростей.

496. Каких шестизначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трёхзначных чисел или не представимых?

497. На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты произвольные точки A', B' и C' соответственно. На отрезках AA', BB' и CC' как на диаметрах построены окружности. Докажите, что три общие хорды пар этих окружностей пересекаются в точке пересечения высот треугольника ABC.

498*. Для каждого натурального n укажите наименьшее k такое, что любые n точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно разделить k прямыми. (Прямые разделяют данные точки, если для любых двух из этих точек найдётся прямая, от которой они лежат по разные стороны.)

499. Назовём число уравновешенным, если в его десятичной записи некоторое начало совпадает с некоторым концом (например, числа 1971, 19219 уравновешены, а число 1415145 — нет). Докажите, что существует число, которое после приписывания к нему любой из 10 цифр становится уравновешенным.

500*. N первоклассников выстроены в одну шеренгу (плечом к плечу). По команде «нале-Во» все одновременно повернулись на 90°, некоторые — налево, а некоторые — направо. Ровно через секунду каждый, оказавшийся лицом к лицу со своим соседом, поворачивается «кру-ГОМ» — на 180°. Ещё через секунду каждый, оказавшийся теперь лицом к лицу с соседом, снова поворачивается на 180°, и так далее.

а) Докажите, что движение когда-нибудь прекратится.

б) Какое наибольшее число раз может повернуться «кру-ГОМ» один человек?

в) Сколь долго может не затихать движение в строю?

г) Пусть шеренга бесконечна в обе стороны, и по команде «нале-ВО» только конечное множество первоклассников повернулись направо, а остальные — налево. Тогда по правилу задачи движение продолжалось бы бесконечно долго. Докажите, однако, что движение прекратится через конечное время, если это правило заменить таким: первоклассник поворачивается на 180°, только если первый (его сосед) и третий из стоящих перед ним обращены к нему лицом.

501*. Выберем из последовательности степеней тройки 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, ..., все числа, начинающиеся с цифры 9; пусть эти числа (по порядку) суть 3^{f (1)}, 3^{f (2)}, 3^{f (3)}, ... (в частности, f (1) = 2, так как первое из этих чисел 3² = 9).

а) Найдите f (2) и f (3) — номера второго и третьего таких чисел.

б) Таких чисел бесконечно много. Докажите это.

в) Если n > 1 и n — натуральное число, то разность f (n) – n нечётна, а число f (n) отличается от отношения числа n – lg 9 к числу 1 – lg 9 меньше чем на единицу; этими двумя условиями функция f определена однозначно. Докажите это.

502. Отрезки AA', BB' и CC' параллельны и не лежат в одной плоскости; M — точка пересечения плоскостей ABC', AB'C и A'BC; N — точка пересечения плоскостей AB'C', A'BC' и A'B'C. Докажите, что отрезок MN параллелен трём первоначальным.

503. Последовательность a₀, a₁, ..., a_2n выпукла вверх, то есть каждый её член, кроме первого и последнего, не меньше среднего арифметического двух соседних. Докажите, что среднее арифметическое её членов с чётными номерами не превышает среднего арифметического её членов, номера которых нечётны; выясните, для каких последовательностей эти средние арифметические равны.

504*. На шахматную доску размером n×n уложены k доминошек — плиток размером 1×2, причём положить (k + 1)-ю доминошку, не перемещая уже имеющиеся доминошки, нельзя. Докажите, что свободных клеток осталось не более чем а) (n² + n + 1) ⁄ 3; б) (n² + 2) ⁄ 3; в) n² ⁄ 3. г) Можно ли для какого-нибудь n получить более точную оценку?

505*. а) На прямой размещены n материальных точек одинаковой массы. Рассмотрим произвольный отрезок длиной 2r, содержащий хотя бы одну из его точек, и найдём центр тяжести O₁ всех попавших в него точек. Рассмотрим отрезок длиной 2r с серединой O₁ и найдём центр тяжести O₂ всех точек, попавших на отрезок. Затем найдём центр тяжести O₃ всех точек, попавших в отрезок длиной 2r с серединой O₂, и так далее. Докажите, что, начиная с некоторого номера, все точки последовательности O₁, O₂, O₃, ... совпадают.

б) На плоскости размещены n материальных точек одинаковой массы. Рассмотрим произвольный круг радиуса r, содержащий хотя бы одну из его точек; обозначим через O₁ центр тяжести всех попавших в него точек и построим последовательность O₁, O₂, O₃, ..., где O_n+1 — центр тяжести точек, попавших в круг радиуса r с центром O_n. Верно ли, что, начиная с некоторого номера, все точки этой последовательности совпадают?

506*. Для любых положительных чисел a, b, c и d сумма a²b² + a²c² + a²d² + b²c² + b²d² + c²d² не превосходит суммы a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ + 2abcd. Докажите это.

507*. Выберем произвольно n, где n > 5, чисел из первых 2n – 1 натуральных чисел. Для каждых двух из них вычислим наибольший общий делитель. Докажите, что хотя бы один из рассматриваемых наибольших общих делителей не меньше ушестерённой суммы числа 1 и целой части половины числа n.

508. Точка С лежит на отрезке АВ. Докажите, что радиус окружности, касающейся трёх полуокружностей с диаметрами АВ, АС и ВС, вдвое меньше расстояния от её центра до прямой АВ.

509*. Решите в натуральных числах уравнения: а) 2^x + 1 = 3^y; б) z^x + 1 = (z + 1)²; в) z^x + 1 = (z + 1)^y.

510. В книге «Венгерские математические олимпиады» есть задача №148: «Для любого положительного α < π докажите неравенство 6sin α + 3sin 2α + 2sin 3α > 0.» Докажите следующее обобщение этого неравенства: для любого положительного α < π и для любого натурального n сумма частных от деления числа sin kα на k, где 1 £ k £ n, положительна.

511. Внутри четырёхугольника ABCD отмечена точка M так, что ABMD — параллелограмм. Докажите, что если величина угла CBM равна величине угла CDM, то величина угла ACD равна величине угла BCM.

512. Пусть f (x) = x³ – x + 1. Для любого натурального m > 1 числа m, f (m), f (f (m)), f (f (f (m))), ... попарно взаимно просты. Докажите это.

513*. Существует такое число А, что в график функции y = A sin x можно вписать 1978 попарно неравных квадратов. Докажите это. (Квадрат называем вписанным, если все его вершины принадлежат графику.)

514*. Существует такая ограниченная бесконечная последовательность x₁, x₂, x₃, ..., что для любых различных натуральных чисел m и n произведение модуля разности чисел m и n на модуль разности чисел x_m и x_n не меньше 1. Докажите это.

515*. Рассмотрим конечное множество K₀. К нему добавим все точки вида Z_A(B), где A, B принадлежат K₀, а Z — центральная симметрия. Полученное множество обозначим K₁. Аналогично из множества K₁ получаем K₂, из K₂ — K₃, и так далее.

а) Пусть множество K₀ состоит из двух точек A и B на расстоянии 1 друг от друга. При каком наименьшем n в множестве K_n найдётся точка, находящаяся на расстоянии 10 000 от точки A?

б) Пусть K₀ состоит из трёх вершин треугольника площади 1. Найдите площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего K_n (то есть площадь его выпуклой оболочки).

В следующих пунктах K₀ — множество вершин тетраэдра, объём которого равен 1.

в) Рассмотрим наименьший выпуклый многогранник, содержащий K₁. Сколько граней у этого многогранника и какие они?

г) Чему равен объём этого многогранника?

д) Найдите объём наименьшего выпуклого многогранника, содержащего множество K_n.

516. Три автомата печатают на карточках пары натуральных чисел. Автоматы работают следующим образом. Первый автомат, прочитав карточку (a; b), выдаёт новую карточку (a + 1; b + 1); второй, прочитав карточку (a; b), выдаёт карточку (a/2; b/2) (он работает только когда a и b чётные); третий по двум карточкам (a; b) и (b; c) выдаёт карточку (a; c). Автоматы возвращают все прочитанные карточки.

Пусть первоначально имеется одна карточка с парой чисел (5; 19). Можно ли, используя автоматы в любом порядке, получить карточку а) (1; 50); б) (1; 100)?

в) Пусть первоначально имеется одна карточка (a; b), где a < b, а мы хотим получить карточку (1; n). При каких n это можно сделать?

517. В окружность с радиусом R вписан n-угольник площади S. На каждой стороне n-угольника отмечено по точке. Докажите, что периметр n-угольника с вершинами в отмеченных точках не меньше 2S / R.

518. Для любых n чисел отрезка [a; b], где 0 < a < b, произведение суммы этих чисел на сумму их обратных величин не превосходит частного от деления произведения (a + b)²n² на 2ab. Докажите это.

519. Даны две кучки спичек. Вначале в одной кучке m спичек, в другой — n спичек, причём m > n. Два игрока по очереди берут из кучки спички. За один ход игрок берёт из одной кучки любое (отличное от нуля) число спичек, кратное числу спичек в другой кучке. Выигрывает игрок, взявший последнюю спичку в одной из кучек.

а) Если m > 2n, то игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе выигрыш. Докажите это.

б) При каких α верно следующее утверждение: если m > αn, то игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе выигрыш?

520. Обозначим буквами a и b квадратные корни из 2 и 3 соответственно. Для каждого натурального числа n пусть q_n, r_n, s_n, t_n — такие целые числа, что число (1 + a + b)ⁿ равно сумме q_n + r_na + s_nb + t_nab. Найдите предел при стремлении n к бесконечности частного от деления r_n на q_n, а также частного от деления s_n на q_n и частного от деления t_n на q_n. Решение М520.

521. Обозначим через a_n целое число, ближайшее к квадратному корню из n. Найдите сумму обратных величин чисел a₁, a₂, ..., a₁₉₈₀.

522. На плоскости задано несколько непересекающихся отрезков, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Мы хотим провести ещё несколько отрезков, соединяющих концы данных отрезков так, чтобы все отрезки вместе образовали одну несамопересекающуюся ломаную. Всегда ли это можно сделать?

523. Фишка стоит в углу шахматной доски размером n×n. Каждый из двух играющих по очереди передвигает её на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, на котором фишка уже побывала, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить.

а) Если n чётно, то начинающий может добиться выигрыша, а если n нечётно, то выигрывает второй. Докажите это.

б) Кто выигрывает, если первоначально фишка стоит не на угловом поле, а на соседнем с ним?

524. Ни при каком натуральном m число 1978^m – 1 не делится на 1000^m – 1. Докажите это.

525*. Для любого тетраэдра существуют такие две плоскости, что отношение площадей проекций тетраэдра на эти плоскости не меньше квадратного корня из 2.

526. а) Площадь выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d и углом φ между диагоналями, отличном от прямого, равна четверти произведения |a² – b² + c² – d²| tg φ. Докажите это.

б) Можно ли выразить S через a, b, c и d, если φ = 90°?

527. x₁, x₂, ..., x_n — действительные числа, лежащие на отрезке [0; 1]. Докажите, что величина x₁ + x₂ + ... + x_n – x₁x₂ – x₂x₃ – ... – x_n–1x_n – x_nx₁ не превосходит а) 1 при n = 3; б) 2 при n = 4; в) [ⁿ⁄₂] при любом n > 2.

528. На каждой клетке шахматной доски стоит по фишке. Фишки нужно переставить так, чтобы расстояние между любыми двумя фишками не уменьшилось по сравнению с расстоянием между ними при первоначальном расположении. Сколькими способами это можно сделать? (Расстоянием между фишками называем расстояние между соответствующими центрами клеток.)

529. а) Многоугольник M' — образ выпуклого многоугольника M при гомотетии с коэффициентом k = –¹⁄₂. Докажите существование такого параллельного переноса T, что T(M') содержится в M.

б) При каких коэффициентах гомотетии k верно аналогичное утверждение?

530. На прямоугольном клетчатом листе бумаги некоторые клетки закрашены. Затем происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: клетка, имевшая чётное число окрашенных соседей, становится неокрашенной, а имевшая нечётное число окрашенных соседей — окрашенной. (Соседними считаем клетки, имеющие общую сторону.)

а) Докажите, что если множество B окрашенных клеток при перекрашивании не меняется, то количество элементов множества M чётно.

б) Пусть при перекрашивании множество B₁ окрашенных клеток переходит в B₂, B₂ — в B₃, ..., B_r–1 — в B_r, а B_r — в B₁. Докажите, что сумма |B₁| + |B₂| + ... + |B_r| чётна.

531. Из пунктов А и В не одновременно выехали навстречу друг другу автомобилист и велосипедист. Встретившись в точке С, они тотчас развернулись и поехали обратно (с теми же скоростями). Доехав до своих пунктов А и В, они опять развернулись и второй раз встретились в точке D; здесь они вновь развернулись, и так далее. В какой точке отрезка АВ произошла их 1978-я встреча?

532. Для любого натурального n а) целая часть суммы квадратных корней из n и из n + 1 равна целой части числа 4n + 2; б) разность между суммой квадратных корней из n и из n + 1 и квадратным корнем из 4n + 2 положительна, а её квадрат не превосходит частного от деления числа 1 на 256n³. Докажите это.

533*. Назовём выпуклый многоугольник особым, если некоторые три диагонали пересекаются в одной внутренней точке. Докажите, что хотя бы одна вершина A особого семиугольника обладает следующим свойством: для любого положительного ε вершину A можно, не меняя остальных вершин, сдвинуть на расстояние, меньшее ε, получив неособый семиугольник.

534. Три прямые, параллельные сторонам треугольника АВС и проходящие через одну точку, отсекают от треугольника АВС по трапеции. Три диагонали этих трапеций, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники. Докажите, что сумма площадей трёх из этих треугольников, прилежащих к сторонам треугольника АВС, равна площади четвёртого.

535*. На плоскости заданы три бесконечные в обе стороны последовательности точек A_k, B_k и C_k, где k — целое число. Назовём такую систему триграммой, если для любых целых k и m точка B_k+m лежит на прямой A_kC_m.

а) Проверьте, что изображённая на рисунке система является триграммой.

б) Для любых трёх различных прямых a, b и c существует такая триграмма, что для любого целого k точка A_k лежат на прямой a, точка B_k — на b, а C_k — на c. Докажите это.

в) Если для любого целого k точка A_k лежит на прямой a, а B_k — на прямой b, то и все точки вида C_k лежат на одной прямой. Докажите это.

Указание. Пункты б) и в) решите сначала для случая a || b.

г) Придумайте ограниченную триграмму (то есть триграмму, все точки которой лежат внутри некоторого круга).

536. а) Любой прямоугольник размером m×2n можно замостить в два слоя костяшками домино таким образом, чтобы каждая плитка верхнего слоя опиралась на две нижние. Докажите это.

б) Пусть прямоугольник размером 2m×2n уже замощён в один слой. Докажите, что можно выложить второй слой доминошек так, чтобы выполнялось то же самое условие (то есть чтобы никакие плитки из разных слоёв не совпадали).

537. Окружность касается внутренним образом окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника АВС, а также равных сторон АВ и АС этого треугольника в точках Р и Q соответственно. Докажите, что середина отрезка РQ является центром окружности, вписанной в треугольник АВС.

538*. Множество всех натуральных чисел представлено в виде объединения непересекающихся возрастающих последовательностей f (1) < f (2) < f (3) < ... и g(1) < g(2) < g(3) < ..., причём g(n) = f (f (n)) + 1 для любого натурального n. Вычислите f (240).

539. Р — данная точка внутри данной сферы, а А, В, С — такие три точки этой сферы, что отрезки РА, РВ и РС взаимно перпендикулярны; Q — диагонально противоположная точке Р вершина параллелепипеда с рёбрами РА, РВ и РС. Найдите множество точек Q.

540. Международное общество состоит из 1978 граждан шести различных стран, занумерованных числами от 1 до 1978. Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равен сумме номеров двух членов из его страны или удвоенному номеру некоторого члена из его страны.

1979 год

541. В компании из n человек у каждого ровно трое друзей.

а) Докажите, что n чётно.

б) Всякую ли такую компанию можно разбить на пары так, чтобы люди в каждой паре были друзьями?

542. Дан прямоугольный треугольник A₀A₁A₂ с катетами A₀A₂ = a и A₁A₂ = b. Муравей ползёт по бесконечной ломаной A₂A₃A₄A₅..., где A_nA_n+1 — высота треугольника A_n–2A_n–1A_n. Найдите длину пути (состоящего из бесконечного числа отрезков).

б) Постройте предельную точку L, к которой приближается муравей. На каких расстояниях от катетов она находится?

543. Обозначим через ρ(x;y) частное от деления модуля разности |x – y| чисел x и y на квадратный корень из произведения чисел (1 + x²) и (1 + y²). Докажите для любых вещественных чисел a, b и c неравенство ρ(a;c) £ ρ(a;b) + ρ(b;c).

544. Какое наибольшее число вершин, из которых нельзя провести ни одной диагонали, лежащей целиком внутри многоугольника, может иметь невыпуклый n-угольник? Решите эту задачу сначала для n = 4, 5, 6, 7.

545. На плоскости задано n точек. Нужно разместить в этих точках n прожекторов, каждый из которых освещает угол величиной ^360°⁄_n так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если а) n = 3; б) n = 4; в) n — любое натуральное число.

г) Пусть теперь прожекторы освещают углы, сумма величин которых равна 360°, и составлены в одну точку так, что они освещают всю плоскость. Докажите, что можно параллельно перенести в каждую из данных точек по одному прожектору так, чтобы вся плоскость была по-прежнему освещена.

546. Из произвольной точки М окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры МР и МQ на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежат диагонали прямоугольника.

547. Чтобы уравнение ¹⁄_x – ¹⁄_y = ¹⁄_n, где n — натуральное число, имело единственное решение в натуральных числах x и y, необходимо и достаточно, чтобы n было простым. Докажите это.

548. а) На окружности расположены 4 точки. Для каждой пары этих точек через середину соединяющей их хорды проведём прямую, перпендикулярную хорде, соединяющей две другие точки. Докажите, что все шесть построенных прямых проходят через одну точку.

б) На окружности расположены 5 точек. Через центр тяжести трёх из них (точку пересечения медиан треугольника с вершинами в этих точках) проведём прямую, перпендикулярную хорде, соединяющей остальные точки. Докажите, что все десять построенных прямых проходят через одну точку.

в) Обобщите эти утверждения на случай n точек.

549. Рассмотрим натуральное число. Выпишем все его делители и для каждого из них выясним, сколько делителей оно имеет. С полученными выполним две операции: сложим их кубы и найдём квадрат их суммы. Докажите, что получим равные результаты. Например, число 6 имеет 4 делителя: 1, 2, 3 и 6; при этом τ(1) = 1, τ(2) = 2, τ(3) = 2, τ(6) = 4 и (1 + 2 + 2 + 4)² = 1³ + 2³ + 2³ + 4³.

550. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно d км, должны добраться n велосипедистов, у которых имеется m велосипедов. Каждый может идти пешком со скоростью u км/ч или ехать на велосипеде со скоростью v км/ч. За какое наименьшее время все n велосипедистов смогут попасть из А в В? (Время считаем по последнему прибывшему. Велосипеды можно оставлять на дороге без присмотра.) Рассмотрите частный случай: m = 2, n = 3.

551*. а) Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого пятиугольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах пятиугольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?

б) Тот же вопрос для выпуклого n-угольника.

552. а) Найдите хотя бы одну пару (p; q) целых чисел, отличных от 0, для которых все корни каждого из трёхчленов x³ + px + q и x³ + qx + p целые.

б) Найдите все такие пары.

553*. Дан треугольник ABC, причём BC < AC < AB. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE так, что BD = CE = BC. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника АDЕ, равен расстоянию между центрами окружности, описанной около треугольника АВС, и окружности, вписанной в него.

554. Назовём натуральное число n хорошим, если существуют (не обязательно различные) такие натуральные числа, что их сумма равна n, а сумма обратных величин равна 1. Известно, что все числа между 33 и 73 — хорошие. Докажите, что все числа, большие 73, тоже хорошие.

555. Рассмотрим пересечение а) двух; б) трёх цилиндров одинакового радиуса r, оси которых взаимно перпендикулярны и проходят через одну точку. Сколько плоскостей симметрии имеет это пересечение? Каков его объём?

556. Обязательно ли конгруэнтны два остроугольных равнобедренных треугольника, имеющих равные по длине боковые стороны и равные радиусы вписанных окружностей?

557. Среди любых n попарно взаимно простых чисел, больших 1 и меньших (2n – 1)², есть хотя бы одно простое число. Докажите это.

558. В круге расположено k > 1 чёрных секторов, угол каждого из которых меньше 180° ⁄ (k² – k + 1). Докажите, что круг можно повернуть вокруг центра O так, что все чёрные секторы перейдут в белую часть круга.

559. Если a, b, c — длины сторон треугольника, то сумма отношений a ⁄ b, b ⁄ c и c ⁄ a отличается от суммы отношений b ⁄ a, c ⁄ b и a ⁄ c менее чем на 1. Докажите это.

560*. В дне ящика есть дырка. Нужно сделать выпуклую заслонку наименьшей площади, при любом положении которой на дне ящика дырка будет закрыта. Решите эту задачу, если

а) дно ящика — квадрат 4×4, а дырка размером 1×1 расположена так, как показано на рисунке;

б) дно ящика — квадрат n×n, где n нечётно, а дырка 1×1 расположена в центре;

в) попробуйте решить аналогичную задачу для каких-либо других случаев, когда дно и дырка — выпуклые фигуры.

561. Треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ площадей S₁ и S₂ расположены так, что лучи A₁B₁ и A₂B₂, B₁C₁ и B₂C₂, C₁A₁ и C₂A₂ соответственно параллельны, но противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂.

562. На отрезке [0; 1] задано такое множество, являющееся объединением нескольких отрезков, что расстояние между двумя точками множества M не равно 0,1. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, меньше а) 0,55; б) 0,5.

563. Функция f определена на отрезке [a; b] длиной 4 и имеет на нём непрерывную производную. Докажите, что внутри отрезка [a; b] существует такая точка x, что производная функции f в точке x меньше суммы числа 1 и квадрата значения функции f в точке x.

564. Для каких точек M стороны BC треугольника ABC верно утверждение: треугольник MPQ подобен треугольнику ABC, если точки P и Q являются для треугольников ABM и ACM

а) центрами описанных окружностей;

б) центрами тяжести (то есть точками пересечения медиан);

в) ортоцентрами (точками пересечения высот).

565*. a₁, a₂, ..., a_n — положительные числа; b_k — среднее арифметическое всевозможных произведений по k данных чисел, где 1 £ k £ n. Докажите неравенства

а) b₁² ³ b₂;

б) b_k² ³ b_k–1b_k+1 при 1 < k £ n;

в) b_k^k+1 ³ b_k+1^k при 1 < k £ n.

566. Какое наименьшее значение может иметь отношение площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников, три вершины одного из которых лежат соответственно на трёх сторонах другого?

567. Натуральные числа q и p взаимно просты. Отрезок [0; 1] разбит на p + q одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежит ровно одно из p + q – 2 чисел ¹⁄_p, ²⁄_p, ..., ^{(p – 1)}⁄_p, ¹⁄_q, ²⁄_q, ..., ^{(q – 1)}⁄_q.

568*. Диагонали выпуклого четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что

а) если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС, СОD и DОА, равны между собой, то АВСD — ромб;

б) если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDА и DАВ, равны между собой, то АВСD — прямоугольник.

569. В тетради написаны несколько чисел. К этим числам разрешено приписать число, равное среднему арифметическому двух или нескольких из них, если оно отлично от всех уже написанных чисел. Докажите, что начав с чисел 0 и 1, таким образом можно получить: а) число ¹⁄₅; б) любое рациональное число, расположенное между 0 и 1.

570*. Задан набор квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что ими можно покрыть квадрат площади 1.

571. Убывающая последовательность положительных чисел такова, что если для каждого натурального n разделить на n её n²-й член, то получим ряд, сумма которого не превосходит 1. Докажите, что а) если для каждого натурального n разделим на n её n-й член, то получаем ряда, сумма членов которого не превосходит 2; б) в условии пункта а) число 2 нельзя заменить ни на какое меньшее число.

572. Кенгуру прыгает по точкам координатной плоскости Охy, обе координаты которых неотрицательны, следующим образом: из точки (x; y) кенгуру может прыгнуть в точку (x + 1; y – 1) или в точку (x – 5; y + 7), причём прыгать в точки, у которой есть отрицательная координата, нельзя. Из каких начальных точек (x; y) кенгуру не может попасть в точку, находящуюся на расстоянии больше 1000 от начала координат? Нарисуйте множество всех таких точек и найдите его площадь.

573. Через точку O а) на плоскости; б) в пространстве проведено 1979 прямых, никакие две из которых не перпендикулярны друг другу. На первой прямой l₁ взята произвольная точка A₁, отличная от O. Докажите, что на остальных прямых l₂, l₃, ..., l₁₉₇₉ можно выбрать точки A₂, A₃, ..., A₁₉₇₉ соответственно так, что прямая l_k перпендикулярна прямой A_k–1A_k+1 для любого k = 2, 3, ..., 1978, прямая l₁₉₇₉ перпендикулярна прямой A₁₉₇₈A₁, а прямая l₁ перпендикулярна прямой A₁₉₇₉A₂.

574*. Конечная последовательность a₁, a₂, ..., a_n состоит из нулей и единиц и удовлетворяет следующему условию: для любого целого k от 0 до n – 1 сумма a₁a_k+1 + a₂a_k+2 + ... + a_n–ka_n нечётна.

а) Придумайте такую последовательность для n = 25.

б) Докажите существование такой последовательности хотя бы для одного n > 1000.

575*. На прямой по порядку расположены точки A₀, A₁, A₂, ..., A_n так, что длины отрезков A₀A₁, A₁A₂, ..., A_n–1A_n не превосходят 1. Требуется отметить k – 1 из точек A₁, A₂, ..., A_n–1 красным цветом так, чтобы длины любых двух из k частей, на которые отрезок A₀A_n разбивается красными точками, отличались не более чем на 1. Докажите, что это можно сделать для а) k = 3; б) любого натурального k < n.

576. На плоскости дано несколько точек. Для некоторых пар (A,B) этих точек взяты векторы AB, причём так, что в каждой точке оканчивается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна нулю.

577. Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размерами а) 8×8; б) n×n, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставим в центры полей.)

578. a и b — данные числа. Найдите все такие пары чисел x и y, что произведение числа a и квадратного корня из числа 1 – x² + y² равно разности между числом x и произведением числа y на квадратный корень из числа x² – y², а произведение числа b и квадратного корня из числа 1 – x² + y² равно разности между числом y и произведением числа x на квадратный корень из числа x² – y².

579. Учетверённая сумма квадратов нескольких чисел отрезка [0; 1] не превосходит квадрата суммы числа 1 и суммы этих чисел. Докажите это.

580. В парламенте у каждого его члена не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у любого парламентария в одной с ним палате будет не более одного врага. (Считаем, что отношение вражды симметрично: если А — враг В, то В — враг А.)

581. а) Существует ли трёхзначное число, куб которого оканчивается на три семёрки?

б) Для любого ли набора цифр, последняя из которых — не 0, существует куб, оканчивающийся этим набором цифр?

582. В окружность с центром О вписан четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстояние от точки О до любой его стороны равно половине длины противоположной стороны.

583. Рассмотрим набор камней, масса каждого из которых не больше 2 кг, а общая масса набора — 50 кг. Из такого набора выберем несколько камней, сумма масс которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число D. Какое наибольшее значение может принять число D?

584. Можно ли представить всё пространство в виде объединения прямых, каждые две из которых — скрещивающиеся (то есть не лежат в одной плоскости)?

585. На химической конференции присутствовали N учёных — химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. На любой вопрос химики отвечают правдиво, а алхимики иногда говорят правду, иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного должен выяснить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: «Кем является такой–то — химиком или алхимиком?» (В частности: «Кто Вы?») Докажите, что математик может выяснить всё, что требуется, а) за 4N вопросов; б) за 2N – 2 вопроса; в*) постарайтесь придумать способ, позволяющий установить, кто — химик, а кто — алхимик, за меньшее число вопросов. (Авторам известен довольно громоздкий способ, позволяющий сделать это за [^3N⁄₂] вопросов.)

586. Биссектрисы AD и CE треугольника ABC, величина угла B которого равна 60°, пересекаются в точке I. Докажите равенство DI = IE.

587. Дана тройка положительных чисел 2, a, b, где a² = 2 и ab =1. Разрешено любые два из них заменить вот какими: их суммой, делённой на a, и их разностью, также делённой на a. Можно ли, проделав эту процедуру несколько раз, получить тройку чисел 1, a, 1 + a?

588. а) Через точку, взятую внутри произвольного тетраэдра, параллельно его рёбрам проведены отрезки с концами на гранях тетраэдра. Докажите, что сумма всех шести отношений длин этих отрезков к длинам параллельных им рёбер равна трём.

б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для треугольника (на плоскости).

589*. На плоскости дан набор из n векторов, длина каждого из которых не превосходит 1. Докажите, что, заменив некоторые векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор n векторов, длина суммы которых не превосходит квадратного корня из а) n; б) 2.

590. а) Найдите наименьшее значение выражения |cos x| + |cos 2x|.

591. Из суммы всевозможных дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — нечётные числа от 1 до 1319, вычтем сумму всевозможных дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — чётные числа от 2 до 1318. Докажите, что числитель полученной дроби делится на 1979. (Число 1979 — простое.)

592. Для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна по длине третьей стороне. Докажите это.

593. Внутри окружности γ расположены n кругов. Докажите, что длина границы объединения этих кругов не превосходит длины окружности γ, если а) n = 2; б) центры всех n кругов лежат на одном диаметре окружности γ; в) все n кругов содержат центр окружности γ.

594. Найдите все действительные числа a, для которых существуют такие действительные неотрицательные числа x₁, x₂, x₃, x₄ и x₅, что x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ + 5x₅ = a, x₁ + 8x₂ + 27x₃ + 64x₄ + 125x₅ = a² и x₁ + 32x₂ + 243x₃ + 1024x₄ + 3125x₅ = a³.

595. Пусть A и E — противоположные вершины правильного восьмиугольника. В вершине A находится лягушка. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины E, лягушка может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в вершину E, лягушка останавливается и остаётся там. Пусть a_n — количество способов, которыми лягушка может попасть из вершины A в вершину E ровно за n прыжков. Докажите для любого натурального n, что a_2n–1 = 0 и a_2n равно делённой на корень из числа 2 разности (n – 1)–х степеней следующих двух чисел: два плюс корень из двух и два минус корень из двух.

596. Дана пятиугольная призма с основаниями A₁A₂A₃A₄A₅ и B₁B₂B₃B₄B₅. Каждое ребро оснований и все отрезки A_jB_k, где 1 £ j, k £ 5, окрашены в красный или в зелёный цвет так, что в каждом треугольнике с вершинами в вершинах призмы, стороны которого окрашены, есть стороны разного цвета. Докажите, что все десять рёбер оснований окрашены одинаково.

597. Для каждого натурального числа n обозначим через x_n сумму обратных величин первых n натуральных чисел.

а) Докажите существование предела разности x_n – ln n при стремлении n к бесконечности. Обозначим этот предел буквой γ.

б) Для любых натуральных чисел m и n докажите неравенства 0 < x_m + x_n – x_mn £ 1.

в) Найдите γ с точностью до 0,01.

598. Дана плоскость α, точка P на этой плоскости и точка Q вне этой плоскости. Найдите все точки R на плоскости α, для которых частное от деления суммы длин отрезков QP и PR к длине отрезка QR максимально возможно.

599. а) Сколькими нулями оканчивается число 4^5⁶ + 6^5⁴?

б) Укажите наибольшую степень числа 1979, на которую делится число 1978^{1979¹⁹⁸⁰} + 1980^{1979¹⁹⁷⁸}. (Число 1979 — простое.)

600. Два велосипедиста едут по двум пересекающимся окружностям. Каждый едет по своей окружности с постоянной скоростью. Выехав одновременно из одной из точек их пересечения и сделав по одному обороту, велосипедисты вновь встретились в этой точке. Докажите, что на плоскости, в которой лежат окружности, существует такая неподвижная точка, расстояния от которой до велосипедистов всё время равны, если они едут а) в одном направлении (против часовой стрелки); б) в разных направлениях.

1980 год

601. Середина стороны BC любого треугольника ABC лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот треугольника ABC с точкой описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположной вершине A, и делит этот отрезок пополам. Докажите это.

602. В седьмой строке треугольника Паскаля есть три подряд стоящих числа, образующих арифметическую прогрессию. (Седьмая строка состоит из восьми чисел. Самую верхнюю строку треугольника Паскаля, состоящую из одной лишь единицы, принято считать строкой номер 0.)

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

а) В какой следующей строке это повторится?

б) Какие строки треугольника Паскаля содержат арифметическую прогрессию из трёх подряд идущих чисел?

603. Решите систему уравнений: (3 – x)(x² + y²) = 3x – y и y(x² + y²) = x + 3y.

604. а) Андрей, Виктор и Сергей, плавающие под водой, одновременно вынырнули в точках A₀, B₀ и C₀ и тут же нырнули снова, причём Андрей решил проплыть за минуту треть пути до Виктора, Виктор — треть пути до Сергея, а Сергей — треть пути до Андрея. Через минуту они вынырнули вновь (точки A₁, B₁ и C₁ на рисунке) и повторили манёвр уже за полминуты, потом за четверть минуты и так далее. Где и когда они встретились?

б) Внутри сферы радиусом 1 км расположен миллион точек, занумерованных числами от 1 до миллиона. Каждую секунду одновременно каждая точка двигается к следующей по номеру на ¹⁄₃ расстояния до этой точки; последняя точка точно так же движется к первой. Докажите, что через некоторое время все точки соберутся внутри сферы радиусом 1 мм.

605. На плоскости отмечены 2n + 1 различных точек. Занумеруем их первыми 2n + 1 натуральными числами и рассмотрим следующее преобразование плоскости: сначала выполняем симметрию относительно первой точки, затем — относительно второй, третьей и так далее вплоть до (2n + 1)-й точки.

а) Докажите, что у этого преобразования есть единственная неподвижная точка (то есть точка, которая переходит в себя).

Рассмотрим всевозможные нумерации данных 2n + 1 точек числами от 1 до 2n + 1. Каждой такой нумерации соответствует своя композиция центральных симметрий и своя неподвижная точка. Рассмотрим множество F всех таких неподвижных точек.

б) Найдите множество F для n = 1.

в) Какое максимальное и какое минимальное количество точек может содержать множество F при каждом данном n = 1, 2, 4, 5, 6, 7, ...?

606. Функция f такова, что для любого действительного числа x сумма чисел f (x + 1) и f (x – 1) в корень квадратный из двух больше числа f (x). Докажите, что f — периодическая функция.

607. На равнобедренные трапеции можно разрезать а) квадрат; б) равнобедренный прямоугольный треугольник; в) любой треугольник. Докажите это.

608. На клетчатой бумаге (сторона клетки 1) нарисован n-угольник, все стороны которого лежат на линиях сетки и имеют нечётную длину.

а) Докажите, что n делится на 4.

б) Докажите, что при n = 100 площадь этого n-угольника обязательно нечётна. Выясните, какова чётность площади при других n.

609. а) Площадь многоугольника не превосходит произведения длин его проекций на две взаимно перпендикулярные прямые.

б) Объём многогранника не превосходит произведения длин его проекций на три взаимно перпендикулярные прямые.

в) Квадрат объёма выпуклого многогранника не превосходит произведения площадей его проекций на три взаимно перпендикулярные плоскости.

Докажите эти утверждения.

0 0 0
0 0 1
0 1 1
1 1 1
0 0 2
0 1 2
0 2 2
1 2 2
2 2 2

0 0 3
0 1 3
0 2 3
0 3 3
1 1 3
1 2 3
1 3 3
2 3 3
3 3 3

610. Фиксируем натуральное число k.

а) Рассмотрим множество всех таких наборов целых неотрицательных чисел a₁, a₂, ..., a_k, что a₁ £ a₂ £ ... £ a_k; обозначим количество таких наборов буквой N. Рассмотрим среди них те наборы, в которых a_k = k; обозначим их количество буквой M. Докажите равенство N = 2M.

б) Наложим на рассматриваемые наборы дополнительное ограничение: сумма a₁ + a₂ + ... + a_k должна делиться на k. Обозначим соответствующие количества буквами n и m. Докажите равенство n = 2m. (Например, при k = 3 имеем M = 9, N = 18, m = 4 и n = 8.)

611. На хорде АВ окружности с центром О берём произвольную точка М. Через точки А, М и О проведём окружность, пересекающую первую окружность в точках А и С. Докажите равенство MB = MC.

612. Возрастающая последовательность натуральных чисел такова, что каждый следующий её член не более чем вдесятеро превосходит предыдущий. Докажите, что если все числа этой последовательности записать подряд без пробелов и запятых, то полученная последовательность цифр не будет периодической.

613. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники ADB, BEC и CFA (а именно, AD : DB = BE : EC = CF : FA = k; величины углов ADB, BEC и CFA равны α). Докажите, что:

а) середины отрезков АС, DC, ВС и EF — вершины параллелограмма;

б) величины двух углов этого параллелограмма равны α, а отношение длин сторон равно k.

614. Для каждого натурального n через S(n) обозначим сумму цифр натуральных чисел от 1 до n. Например, S(1) = 1, S(2) = 1 + 2 = 3, S(3) = S(2) + 3 = 6, ..., S(9) = 45, S(10) = S(9) + 1 + 0 = 46, S(11) = S(10) + 1 + 1 = 48, S(12) = S(11) + 1 + 2 = 51.

а) Найдите S(100).

б) Докажите равенство S(10^k – 1) = 45k · 10^k–1 для любого натурального k.

в) Для любого двузначного числа 10a + b, где a и b — цифры, величина S(10a + b) равна сумме числа 5a² + ab + 41a и половины числа b(b + 1).

г) Найдите аналогичную формулу для трёхзначных чисел.

д) Вычислите S(1980).

615. Периметр любого сечения треугольной пирамиды плоскостью не превосходит наибольшего из периметров её граней. Докажите это.

616. Можно ли числа 1, 2, ..., 30 разбить на группы по а) пять; б) шесть чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?

в) При каких n и k числа 1, 2, ..., nk можно разбить на n групп по k чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?

617. Внутри треугольника расположены окружности α, β, γ и δ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей α, β и γ касается двух сторон треугольника и окружности δ. Докажите, что центр окружности δ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной в данный треугольник окружности и окружности, описанной около него.

618. а) Существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что n! делится на n² + 1. Докажите это.

б) Для любого положительного числа α существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что [αn]! делится на n² + 1. Решение М618.

619. Если для вписанного четырёхугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то биссектрисы его углов А и В пересекаются на стороне СD. Докажите это.

620. Пусть x₁, x₂, ..., x_n — действительные числа, сумма квадратов которых равна 1. Докажите, что сумма 2ⁿ модулей чисел ±x₁ ± x₂ ± ... ± x_n (со всевозможными комбинациями знаков «+» и «–») не превосходит 2n.

621. Вокруг окружности описан n-угольник. Произвольная точка Р внутри окружности соединена со всеми его вершинами и точками касания. Образовавшиеся 2n треугольников окрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

622. Количество решений уравнения x² + y² = z² + t² + 1 в натуральных числах, не превосходящих 1 0000 000, меньше количества решений уравнения x² + y² = z² + t² в натуральных числах, не превосходящих 1 0000 000. Докажите это.

623. а) Сколько осей симметрии имеет куб? Правильная треугольная пирамида?

б*) Если некоторый правильный многогранник имеет k осей симметрии, где k > 0, то k нечётно. Докажите это.

624. Найдите последовательность, первый член a₁ которой равен 1, а каждый следующий таков, что для любого натурального числа n сумма чисел (–1)^{n ⁄ d}a_d равна числу –1.

625. На координатной плоскости заданы четыре точки с рациональными координатами, не лежащие в вершинах параллелограмма, причём никакие три из них не принадлежат одной прямой. Разрешено проводить прямую через любые две уже полученные точки и отмечать точку пересечения любых двух проведённых прямых. Докажите, что множество точек, которые можно получить таким образом,— это множество всех точек плоскости с рациональными координатами, если четыре точки — вершины а) трапеции; б) произвольного четырёхугольника.

626. Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых клеток.

627. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число.

а) Пусть каждое из этих чисел встречается ровно один раз. (Приведите примеры такой расстановки чисел!) Докажите, что для любого заданного m найдутся две соседние (имеющие общую сторону) клетки, разность чисел которых не меньше m.

б) Пусть каждое натуральное число n встречается ровно n раз (то есть 1 — единожды, 2 — дважды и так далее). Укажите наибольшее число k такое, что обязательно найдутся две соседние клетки, разность чисел в которых не меньше k.

628. На сфере построен треугольник, одна «сторона» которого имеет величину 120°. Докажите, что «медиана», опущенная на эту «сторону», делится каждой из двух других «медиан» на две равные части. («Медианы» и «стороны» — дуги больших окружностей.)

629. Докажите следующие утверждения.

а) Число 2^2n–1 – 9n² + 21n – 14 делится на 27 при любом натуральном n.

б) Если a, b, m — натуральные числа, а числа a + b и a² + b² делятся на m, то aⁿ + bⁿ делится на m для любого натурального n.

в) Если a, b₀, b₁, ..., b_k, m — натуральные числа, а число f (n) = a_n + b₀ + b₁n + ... + b_kn^k делится на m при n = 1, 2, ..., k + 1, k + 2, то f (n) делится на m при любом натуральном n.

630. На плоскости даны окружность γ и точка K. Проведём через произвольные точки P, Q окружности γ и точку K окружность. Пусть М — точка пересечения прямой PQ с касательной к этой окружности, проведённой в точке K. Какое множество заполняют точки М?

631. Двузначные числа от 19 до 80 выписали подряд. Делится ли полученное число 1920212223...7980 на 1980?

632. Груз, упакованный в контейнеры, нужно доставить на орбитальную космическую станцию «Салют». Число контейнеров не меньше 35, общая масса груза 18 тонн. Имеется семь транспортных кораблей «Прогресс», каждый из которых может доставить на орбиту 3 тонны груза. Известно, что эти корабли могут одновременно доставить любые 35 из имеющихся контейнеров. Докажите, что они могут доставить на орбиту сразу весь имеющийся груз.

633. На диаметре АС некоторой окружности дана точка Е. Проведите через неё хорду ВD так, чтобы площадь четырёхугольника АВСD была наибольшей.

634. Обозначим через S(n) сумму всех цифр натурального числа n.

а) Существует ли такое натуральное n, что n + S(n) = 1980?

б) Хотя бы одно из любых двух последовательных натуральных чисел представимо в виде n + S(n) для некоторого третьего натурального числа n. Докажите это.

635. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, вдруг стали болеть гриппом. В один день несколько коротышек простудились и заболели, и хотя потом уже никто не простужался, здоровые коротышки заболевали, навещая своих больных друзей. Известно, что каждый коротышка болеет гриппом ровно день, причём после этого у него по крайней мере ещё один день есть иммунитет, то есть он здоров и заболеть опять в этот день не может. Несмотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка ежедневно навещает всех своих больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки забыли о прививках и не делают их. Докажите, что

а) если до первого дня эпидемии какие-нибудь коротышки сделали прививку и имели в первый день иммунитет, то эпидемия может продолжаться сколь угодно долго;

б) если же в первый день иммунитета ни у кого не было, то эпидемия рано или поздно кончится.

636. Множество А состоит из натуральных чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший элемент равен 100. Каждый элемент множества А, кроме 1, равен сумме двух (возможно, равных) чисел, принадлежащих А. Укажите среди всех множеств А, удовлетворяющих этим условиям, множество с минимальным числом элементов.

637. Дан равносторонний треугольник АВС. Некоторая прямая, параллельная прямой АС, пересекает прямые АВ и ВС в точках М и Р соответственно. Точка D — центр треугольника РМВ, точка Е — середина отрезка АР. Определите углы треугольника DЕС.

638. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги выкрашены в красный цвет, остальные — в синий, причём так, что каждый прямоугольник из 6 клеток размером 2×3 содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток может содержать прямоугольник из 99 клеток размером 9×11?

639. Рёбра AC и CB тетраэдра ABCD перпендикулярны. Перпендикулярны и рёбра AD и DB. Докажите, что косинус угла между прямыми АС и ВD меньше отношения CD/AB.

640. Число x лежит на отрезке [0; 1] и записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив её первые 5 цифр после запятой, получаем новую бесконечную десятичную дробь, отвечающую некоторому новому числу x₁. Переставив в десятичной записи числа x₁ цифры со второй по шестую (после запятой), получаем десятичную запись числа x₂. Вообще, десятичную запись числа x_k получаем, переставляя в десятичной записи числа x_{k – 1} цифры с k-й по (k + 4)-ю (после запятой).

а) Докажите, что как бы ни переставляли цифры на каждом шаге, получаемая последовательность x₁, x₂, x₃, ... всегда имеет некоторый предел.

б) Выясните, из каких рациональных чисел х можно ли с помощью такого процесса получить иррациональное число. Выясните, из каких рациональных чисел х можно с помощью такого процесса получить иррациональное число.

в) Придумайте такое число x, для которого описанный процесс всегда приводит к иррациональному числу, каковы бы ни были перестановки пятёрок цифр на каждом шаге.

641. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Точки M и N — середины сторон CD и DE. Прямые АМ и BN пересекаются в точке L. Докажите, что

а) площади треугольника АВL и четырёхугольника DMLN равны;

б) величины углов АLO и OLN равны 60°;

в) угол O и OLN равны 60°.

642. Каждое натуральное число представимо в виде a₀ + 2a₁ + ... + 2ⁿa_n, где каждое из чисел a₀, a₁, ..., a_n равно –1, 0 или 1, причём произведение любых двух соседних чисел последовательности a₀, a₁, ..., a_n равно 0. Докажите это и докажите, что такое представление единственно. (Например, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 4 – 1, 5 = 4 + 1, 6 = 8 – 2, 7 = 8 – 1, 9 = 8 + 1, 10 = 8 + 2, 11 = 16 – 4 – 1, 12 = 16 – 4 и 13 = 16 – 4 + 1.)

643. Карточки с числами 1, 2, ..., 31, 32 сложены в стопку по порядку. Разрешено снять сверху любое число карточек и вложить их между некоторыми из оставшихся или под ними, не меняя порядка тех и других, а в остальном произвольно. Эту операцию назовём перемешиванием. Докажите, что за 5 перемешиваний можно

а) переложить карточки в обратном порядке;

б) разложить карточки в любом порядке.

в) Не всякий порядок карточек можно получить за 4 перемешивания. Докажите это.

644. а) Существует выпуклый 1980-угольник со сторонами длины 1, 2, ..., 1980, величины всех углов которого равны. Докажите это.

б) Существует ли такой 1981-угольник?

645*. В подвале три коридора, все выходы из которых закрыты. OA = OB = OC = 1. В подвале находятся инспектор Варнике и преступник. Варнике замечает преступника, если расстояние между ними не превосходит r. Он знает, что максимальная скорость преступника в два раза меньше его собственной максимальной скорости. В начальный момент инспектор находится в точке O и не видит преступника. Как должен действовать Варнике, чтобы наверняка поймать преступника, если а) r = ^l⁄₃; б) r = ^l⁄₄; в) r > ^l⁄₅; г) r > ^l⁄₇. Шириной коридоров и размерами людей пренебречь. (Варнике должен придумать такой план действий, чтобы, даже если преступник о нём заранее знает, преступник всё равно не мог ускользнуть.)

646. От точки на плоскости отложено чётное число векторов длины 1. Они раскрашены попеременно в красный и синий цвета. Докажите, что длина разности суммы красных векторов и суммы синих векторов не превосходит 2.

647. Для любых a и b, где ¹⁄₂ £ a £ b, квадрат половины разности квадратов чисел b и a не меньше разности квадратного корня из среднего арифметического чисел a² и b² и средним арифметическим чисел a и b. Докажите это.

648. Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности. Докажите это.

649. Обозначим через c_n сумму обратных челичин первых n натуральных чисел. Докажите, что для любого натурального числа n сумма квадратов разностей чисел вида c_n – c_k, где k < n, равна половине разности числа n и квадрата числа c_n.

650. Существует ли такая последовательность

а) натуральных чисел, что любое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого);

б) натуральных чисел, что число 1 не принадлежит последовательности, а любое другое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого);

в) целых чисел, что 0 не принадлежит последовательности и не является суммой никакого множества её членов, а любое целое число, отличное от 0, единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого);

г) целых чисел, что ни 0, ни 1 не принадлежат последовательности и не являются суммами никакого множества её членов, а любое целое число, отличное от 0 и 1, единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого)?

651. Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же, сколько корзина, картина и картонка, вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну, и каждая из них больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если с ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.

652. Женя разрезал выпуклый картонный многогранник на грани (по рёбрам) и послал этот набор граней по почте Вите. Витя склеил из всех этих граней выпуклый многогранник. Могло ли случиться, что многогранники Жени и Вити не конгруэнтны?

653. Имеется линейка с двумя делениями. С помощью линейки можно проводить произвольные прямые и откладывать отрезки определённой длины. Постройте с её помощью

а) какой-нибудь прямой угол;

б*) прямую, перпендикулярную данной прямой.

654. Верно ли такое утверждение: из любых шести натуральных чисел можно выбрать три числа, любые два из которых не имеют общих делителей, больших 1, или можно выбрать три числа, имеющие общий делитель, больший 1?

655. На столе у чиновника Министерства околичностей лежат n томов Британской энциклопедии, сложенной в несколько стопок. Каждый день, придя на работу, чиновник берёт из каждой стопки по одному тому и складывает взятые тома в новую стопку, затем располагает стопки по количеству томов (в невозрастающем порядке) и заполняет ведомость, в которой указывает количество томов в каждой стопке. Кроме этого, чиновник никогда ничего не делает.

а) Какая запись будет сделана в ведомости через месяц, если общее количество томов n = 3, 6 или 10? (Начальное расположение произвольно.)

б) Если общее число томов имеет вид k(k + 1) ⁄ 2, где k — натуральное число, то начиная с некоторого дня ведомость будет заполняться одинаковыми записями. Докажите это.

в) Исследуйте, что будет через много дней работы при других значениях величины n.

656. В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Докажите, что среди них найдутся два, величина угла между которыми меньше 45°.

657. В квадратной таблице, заполненной числами, все строки различны. Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице все строки также будут различны.

658. В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведённых отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые квадрат разбивается этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.

659*. Докажите следующие свойства последовательности Фибоначчи, первые два члена которой равны 1, а каждый следующий равен сумме двух предыдущих: φ₁ = φ₂ = 1 и φ_n+2 = φ_n+1 + φ_n для любого натурального n.

а) Каждое натуральное число является числом Фибоначчи или суммой двух или более разных чисел Фибоначчи.

б) Количество таких представлений любого данного натурального числа в виде суммы чётного числа слагаемых отличается от количества таких представлений в виде суммы нечётного числа слагаемых не более чем на 1.

в) Если перемножить несколько подряд стоящих двучленов из последовательности 1 – x, 1 – x², 1 – x³, 1 – x⁵, ..., 1 – x^φ_n, ..., то все коэффициенты полученного многочлена равны –1, 0 или 1.

г) Любое натуральное число, начиная с числа 2, можно, причём единственным образом, представить в виде суммы различных чисел Фибоначчи, которая вместе с каждым слагаемым содержит хотя бы одно из двух предшествующих чисел Фибоначчи (если хоть одно такое существует): 2 = φ₂ + φ₁, 3 = φ₃ + φ₁, 4 = φ₃ + φ₂ + φ₁, 5 = φ₄ + φ₂ + φ₁, 6 = φ₄ + φ₃ + φ₁, 7 = φ₄ + φ₃ + φ₂ + φ₁, 8 = φ₅ + φ₃ + φ₁, 9 = φ₅ + φ₃ + φ₂ + φ₁, 10 = φ₅ + φ₄ + φ₂ + φ₁, ... (Известные нам доказательства утверждений б) и в) опираются именно на это утверждение.)

660. На окружности расставлены синие и красные точки. Разрешено добавить одну точку и одновременно поменять цвет обеих её соседних точек, либо убрать красную точку и поменять цвет обеих её бывших соседок. Первоначально было всего две красные точки. Меньше двух точек оставлять нельзя. Можно ли несколькими такими операциями получить на окружности а) две точки — синюю и красную; б) 8 красных точек; в) 8 красных точек; г) одну красную и 6 синих точек?

1981 год

661. На берегу круглого озера четыре пристани K, L, P и Q. От пристани K отплывает катер, от L — лодка. Если катер поплывёт прямо в P, а лодка — прямо в Q, то они столкнутся в некоторой точке X озера. Докажите, что если катер поплывёт в Q, а лодка в P, то они достигнут этих пристаней одновременно.

662. В копилке собрано четыре рубля медными монетами (по 1, 3 и 5 копеек). Докажите, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи.

663. Найдите все такие простые числа p, что число 2^p + p² тоже простое.

664*. Дан четырёхугольник ABCD. Обозначим точки пересечения высот треугольников ABC, BCD, CDA и DAB буквами N, K, L и M соответственно. Докажите равенство площадей четырёхугольников NKLM и ABCD.

665*. Световое табло состоит из нескольких ламп, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора ламп (для каждой кнопки — своего). Вначале лампы не горят.

а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло,— степень двойки.

б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из mn лампочек, расположенных в форме прямоугольника размером m×n, если кнопками можно переключить как любой горизонтальный, так и любой вертикальный ряд ламп? (Проверьте ваш ответ для небольших значений m и n.)

в) Придумайте другие примеры табло и наборов (переключаемых кнопками), в которых можно найти число узоров.

666. Наименьшее общее кратное любых n натуральных чисел a₁ < a₂ < ... < a_n не меньше na₁. Докажите это.

667. Постройте треугольник AВС, если заданы его наименьший угол A и отрезки с длинами d = AB – BC и e = AC – BC.

668*. Последовательность x₁, x₂, x₃,... определена условиями x₁ = 1, x₂ = 0, x₃ = 2, x_n+1 = x_n–2 + 2x_n–1. Докажите, что для любого натурального m существуют два соседних члена этой последовательности, каждый из которых кратен m.

669. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что

а) отрезок, соединяющий середины дуг AB и CD, перпендикулярен отрезку, соединяющему середины дуг BC и AD;

б) центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDA и DAB, являются вершинами прямоугольника.

670*. Дано несколько точек, некоторые пары которых соединены линиями (точки таких пар называем соседями). Число соседей у каждой точки нечётно. В начальный момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту происходит одновременное перекрашивание точек по следующему правилу: каждая точка, у которой большинство соседей имеет отличный от неё цвет, меняет свой цвет; в противном случае её цвет сохраняется. а) Докажите, что наступит момент, начиная с которого у некоторых точек цвет не будет меняться, а у некоторых будет меняться каждую минуту.

б) Останется ли это утверждение верным, если не предполагать, что у каждой точки число соседей нечётно?

671. Во вписанном четырёхугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Докажите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длин всех сторон четырёхугольника.

672. Пусть a — такое натуральное число, что 2^a – 2 делится на a (например, a = 3). Рассмотрим последовательность, первый член которой равен x₁ = a, а каждый следующий член x_n+1, где n = 1, 2, 3,..., получаем, вычитая единицу из числа 2, возведённого в степень x_n. Докажите, что для любого натурального n число x_n является делителем числа 2^x_n – 2.

673. На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист выбирает одну из них и бьёт по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.

а) Покажите, как после пяти ударов шайба сможет вернуться на своё место, а шайбы A и B поменяться местами.

б) Могут ли все три шайбы A, B и C вернуться на свои прежние места после 25 ударов?

674. На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника взяты точки A', B' и С' соответственно. Центр описанной окружности треугольника ABC совпал с точкой пересечения высот треугольника A'B'C'. Докажите подобие треугольников ABC и A'B'C'.

675*. Системой разновесов назовём множество натуральных чисел, из которого нельзя извлечь два различных подмножества с одинаковой суммой (например, числа 24, 23, 22, 20, 17, 11 образуют систему разновесов, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 8 не образуют: 2 + 3 + 4 = 1 + 8). Докажите, что из чисел, меньших 1000, можно выделить систему разновесов из а) 10; б) 11 чисел.

в) Докажите, что 14 чисел из них выбрать нельзя.

г) Докажите, что если числа образуют систему разновесов, то сумма их обратных величин не превосходит ⁵⁄₂.

д) Выберите из чисел, меньших 700, систему разновесов из 11 чисел.

676. Для любого натурального m сумма цифр десятичной записи числа 1981^m не меньше 19. Докажите это.

677. Внутри остроугольного треугольника АВС выбрана точка М, являющаяся точкой пересечения а) медиан; б) биссектрис; в) высот. Если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АМВ, МВС, АМС, равны, то треугольник АВС равносторонний. Докажите это.

678. 2m-значное число назовём справедливым, если его чётные разряды содержат столько же чётных цифр, сколько и нечётные. Докажите, что в любом (2m + 1)-значном числе можно вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное 2m-значное число было справедливым.

(Пример для числа 12345 показан на рисунке.)

679. а) На плоскости расположены четыре круга так, что первый касается второго в точке A, второй третьего — в точке B, третий четвёртого — в точке C, а четвёртый первого — в точке D. Докажите, что через четыре названные точки можно провести окружность или прямую.

б) В пространстве расположены четыре шара так, что первый касается второго в точке A, второй третьего — в точке В, третий четвёртого — в точке С, а четвёртый первого — в точке D. Докажите, что через четыре названные точки лежат в одной плоскости.

в) В пространстве расположены четыре шара так, что каждый касается трёх других. Докажите, что шесть точек касания принадлежат одной сфере или одной плоскости.

680. Два связиста играют в такую игру. Имеются n телефонных узлов, и связисты по очереди соединяют кабелем два из них по своему выбору. Выигрывает тот, после хода которого с любого узла можно будет дозвониться до любого другого (быть может, через несколько промежуточных; начало игры изображено на рисунке).

а) Выясните, кто выигрывает при n = 4, 5, 6, 7, 8 — начинающий или его партнёр?

в) Каков ответ при произвольном n?

в) Пусть игрок, связавший все узлы, проигрывает. Ответьте на вопросы пунктов а) и б) для этой новой игры.

г) Пусть вначале каждые два узла связаны кабелем, а связисты убирают по очереди по одному соединению. Игрок, нарушивший связность схемы, проигрывает. Вопрос тот же: кто выигрывает при правильной стратегии для n = 4, 5, 6, 7, 8? А для произвольного n?

Замечание. Можно было бы рассмотреть четвёртый вариант: считать, что в пункте г) игрок, нарушивший связность, выигрывает. Полное исследование этого варианта игры автору неизвестно.

681. а) Придумайте такие натуральные числа a, b, c и d, что числа a² + b², a² + b² + c² и a² + b² + c² + d² — квадраты целых чисел.

б) Существует ли такая последовательность, состоящая из квадратов натуральных чисел, что при любом n сумма n её первых членов — квадрат целого числа?

682. Внутри треугольника нужно расположить другой треугольник так, чтобы у каждого из трёх квадратов, построенных на сторонах внутреннего треугольника во внешнюю сторону, две вершины лежали на разных сторонах исходного треугольника.

а) Докажите, что медианы исходного треугольника перпендикулярны сторонам внутреннего треугольника.

б) Для любого ли исходного остроугольного треугольника такое построение возможно?

683. Несколько одинаковых кругов положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут окрашены в разные цвета. Нарисуйте расположение кругов, при котором трёх цветов для такой раскраски недостаточно.

684*. Двое играют в следующий вариант «морского боя». Один игрок располагает на доске n×n несколько непересекающихся «кораблей» n×1 (быть может, ни одного). Второй игрок наносит одновременно ряд ударов по полям доски и про каждое поле получает от противника ответ — попал или промахнулся. По какому минимальному числу полей следует нанести удары, чтобы по ответу противника можно было однозначно определить расположение всех его кораблей? Рассмотрите случаи, когда n равно а) 4; б) 10. в) А если n — любое натуральное число?

685*. Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

686. Для любого ли числа x, удовлетворяющего неравенству x ³ 1, целая часть квадратного корня из целой части квадратного корня числа x равна целой части квадратного корня из квадратного корня числа x?

687. а) В девятиугольной пирамиде все 9 боковых рёбер и все 27 диагоналей основания окрашены: некоторые — в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что существуют три вершины пирамиды, служащие вершинами треугольника, все стороны которого одного цвета.

б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольной пирамиды?

688. Ни одно из натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n не превосходит своего номера; сумма всех их чётна. Докажите, что сумма нескольких из данных чисел равна сумме остальных данных чисел.

689*. Из равнобедренных трапеций с основаниями 3 см и высотой 1 см нельзя составить прямоугольник. Докажите это.

690*. а) Внутри выпуклого многоугольника с площадью S₁ и периметром P₁ расположен выпуклый многоугольник с площадью S₂ и периметром P₂. Докажите неравенство 2S₁P₂ > S₂P₁.

б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для выпуклых многогранников.

691. а) Найдите хотя бы одно такое k, что некоторое натуральное число можно представить как в виде произведения k последовательных чисел, бóльших 1, так и в виде произведения k + 2 таких чисел.

б) Никакое произведения двух последовательных натуральных чисел нельзя представить в виде произведения четырёх последовательных натуральных чисел. Докажите это.

692. Точки C₁, A₁ и B₁ так взяты на сторонах, соответственно, АВ, ВС и СА треугольника ABC, что

АС₁ : С₁В = ВA₁ : A₁С = CB₁ : BA₁ = 1 : 3.

Докажите, что периметр Р треугольника AВС и периметр Р₁ треугольника А₁В₁С₁ связаны неравенствами а) 4Р₁ < 3P; б) 2Р₁ > P.

693. В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными накануне новостями со всеми своими знакомыми. Любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то новость, то через 10 дней её будут знать все жители посёлка.

694. В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещённым на одном (любом) ребре, прибавляют по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале числа были поставлены, как на а) левом; б) среднем; в) правом рисунке?

695*. Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и чёрный цвета так, чтобы чёрных и белых клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более ³⁄₄ клеток одного цвета?

696. Можно ли таблицу 10×10 клеток заполнить различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата k×k клеток, где 2 £ k £ 10, а) суммы; б) произведения k чисел на его диагоналях были одинаковы?

697. Назовём пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.

698. На сторонах a, b, c и d вписанного в окружность четырёхугольника «наружу» построены прямоугольники размерами a×c, b×d, c×a и d×b. Докажите, что центры этих прямоугольников являются вершинами а) параллелограмма; б) прямоугольника.

699. Полукруг с диаметром АВ разрезан отрезком СD, перпендикулярным АВ, на два криволинейных треугольника АСD и ВСD, в которые вписаны окружности, касающиеся АВ в точках Е и F. Докажите, что а) AD = AF; б) DF — биссектриса угла BDC; в) величина угла ЕDF не зависит от выбора точки С на АВ.

700. Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разбить на а) два; б) три класса так, чтобы ни в один из классов не попали два числа, разность которых — степень числа 10, то есть число вида 10ⁿ, где n — целое?

701. Люда, Марина и Наташа нарисовали остроугольный треугольник LMN. Затем Люда построила свой треугольник, у которого длины двух сторон равны LM и LN, а величина угла между ними на 60° больше величины угла L треугольника LMN. Аналогично Марина построила свой треугольник со сторонами длинами ML и MN, величина угла между которыми на 60° больше величины угла M, а Наташа — свой, у которого величина угла между сторонами длин NL и NM на 60° больше величины угла N. Докажите, что третьи (новые) стороны трёх построенных треугольников одинаковы.

702. Обозначим через S_n сумму первых n простых чисел: S₁ = 2, S₂ = 2 + 3 = 5, S₃ = 2 + 3 + 5 = 10, S₄ = S₃ + 7 = 17 и так далее. Докажите, что для любого натурального n между S_n и S_n+1 есть хотя бы один точный квадрат.

703*. Решите систему уравнений 3(x + ¹⁄_x) = 4(y + ¹⁄_y) = 5(z + ¹⁄_z), xy + yz + zx = 1.

704*. Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, тоже являются вершинами квадрата.

705. На прямоугольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (то есть каждую клетку листа покрывают в точности две карточки). Передвигать карточки нельзя.

а) Пусть карточки имеет размеры 1×2 клетки. Докажите, что можно выбрать часть карточек так, чтобы они покрыли лист в один слой.

Останется ли это верным, если карточки б) произвольных размеров; в*) размера 1×3 клетки?

706. Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что длины хорд, соединяющих точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке эти хорды показаны красным цветом), равны.

707. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, где занимаются не менее ²⁄₃ учеников этого класса.

708. На сторонах выпуклого четырёхугольника площади S вне него построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырёхугольника площади S₁.

а) Докажите неравенство S₁ ³ 2S.

б) Докажите, что S₁ = 2S тогда и только тогда, когда диагонали исходного четырёхугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

709*. Пол комнаты, имеющей форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом 60°. Разрешено вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим, как показано на рисунке. Докажите, что

а) из любого расположения плиток такими операциями можно получить любое другое;

б) это можно сделать не более чем за 1000 операций;

в) из расположения плиток нижнего левого рисунка нельзя получить расположение рисунка нижнего правого менее чем за 1000 операций.

710*. Существует ли такая возрастающая последовательность натуральных чисел, ни один из членов которой не равен сумме нескольких остальных, что n-й член этой последовательности для любого натурального числа n не превосходит числа а) 2 · 3^n/2; б) 10 · 1,5ⁿ; в) n¹⁰; г) 1000 · n^7/2; д) 1000 · n^3/2?

711. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная АОС делит четырёхугольник на две части равной площади.

712. Любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и до 7. Докажите это.

713. М — множество точек на плоскости. Точку О плоскости называем «почти центром симметрии» множества М, если из М можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества точка О является центром симметрии. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?

714*. N друзей одновременно узнали N новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая: а) N = 64; б) N = 55; в) N = 100.

715*. Прямой угол разбит на одинаковые клетки. На некоторых клетках стоят фишки, причём расположение фишек можно преобразовывать так: если для некоторой фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в эти клетки ставим по фишке, а старую фишку убираем. Вначале в угловую клетку ставим одну лишь фишку. Можно ли указанными операциями освободить от фишек уголки из а) трёх; б) шести; в) десяти клеток, показанные на рисунках?

716. Из точки P внутри данного треугольника АВС опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на прямые ВС, АС и АВ. Для каких точек P внутри треугольника АВС сумма отношений BC/PA₁, CA/PB₁ и AB/PC₁ принимает наименьшее значение?

717. Рассмотрим всевозможные подмножества множества {1, 2, ..., n}, состоящие из r чисел, и в каждом выберем наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выбранных чисел равно (n + 1) / (r + 1). Например, при n = 3 и r = 2 получаем три подмножества {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, и среднее арифметическое равно (1 + 1 + 2) / 3 = ⁴⁄₃.

718. Найдите наибольшее значение выражения вида m² + n² для таких всевозможных пар (m; n) натуральных чисел, что m £ 1981, n £ 1981 и ½n² – mn – m²½ = 1.

719. а) Для каких n ³ З существует множество из n последовательных натуральных чисел, обладающих следующим свойством: наибольшее из этих n чисел является делителем наименьшего общего кратного остальных n – 1 чисел?
б) При каких n ³ З существует единственное множество из n последовательных чисел, обладающих указанным свойством?

720. Функция f определена на множестве всех пар неотрицательных целых чисел (x; y) и для любых неотрицательных целых x и y удовлетворяет равенствам

f (0; y) = y + 1,
f (x + 1; 0) = f (x; 1),
f (x + 1; y + 1) = f (x; f (x + 1; y)).

Вычислите f (4; 1981).

1982 год

721. Каждая сторона треугольника поделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите отношение площади этого шестиугольника к площади исходного треугольника.

722. В вершинах n-угольника расставлены в некотором порядке первые n натуральных чисел.

а) Докажите, что сумма n модулей разностей соседних чисел не меньше 2n – 2.

б) Для какого количества расстановок эта сумма равна 2n – 2?

723*. Существует ли такое бесконечное множество натуральных чисел, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является степенью натурального числа (a^k, где a и k — натуральные числа, k > 1)?

724. По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлению. Докажите, что как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они окажутся в вершинах выпуклого многоугольника.

725*. Пусть q_n — сумма n-х степеней косинусов углов величиной 180°/7, 540°/7 и 900°/7. Найдите а) q₁ и q₂; б) q₃ и q₄. в) Докажите, что q_n — рациональное число при любом натуральном n.

726. Точку внутри правильного 2n-угольника соединили с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрасили попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных для а) n = 4; б) n = 3; в) любого натурального n.

727. Докажите неравенство a² + b² + c² + 2abc < 2, где a, b, c — длины сторон треугольника периметра 2.

728. Пусть А, В, С — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной P, а Q — вершина, противоположная Р. Докажите, что

а) расстояния от точек А, В и С до прямой РQ являются длинами сторон некоторого треугольника;

б) площадь S этого треугольника, объём V параллелепипеда и длина d его диагонали PQ связаны соотношением V = 2dS.

729. Найдите натуральное число, обладающее свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа.

730*. Последовательность a₁, a₂, a₃,... определена условиями a₁ = 0 и a_2n+1 = a_2n = n – a_n для любого натурального n. Например, a₁₀ = 5 – a₅ = 5 – (2 – a₂) = 3 + (1 – a₁) = 4:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
a_n 0 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6

а) Найдите a₁₉₈₂.

б) Каждое натуральное число входит в последовательность 2 или 4 раза. Докажите это. Сколько раз встретится в последовательности число 2k (при каждом натуральном k)?

в) Разность a_n – a_n–1 равна 1, если в разложение числа n на простые множители число 2 входит в нечётной степени, и 0 — в противном случае. Докажите это.

г) a_n = ⁿ⁄₃ для бесконечного множества значений n. Докажите это.

д) Найдётся ли n такое, что разность ½a_n – ⁿ⁄₃½ больше 1982?

е) Частное от деления a_n на n стремится к ¹⁄₃ при стремлении n к бесконечности. Докажите это.

731. Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и так далее; выигрывает тот, кто первым получит произведение больше а) тысячи; б) миллиона. Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнёр?

732. а) В треугольник ABC вписаны два разных прямоугольника так, что на основании AC лежат по две вершины каждого прямоугольника (а на сторонах AB и BC — по одной). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь треугольника ABC и докажите, что периметр любого вписанного в треугольник ABC прямоугольника, две вершины которого лежат на AC, тоже равен 10.

б) В четырёхугольник ABCD вписаны два прямоугольника с параллельными сторонами (так, что на каждой из сторон AB, BC, CD и DA лежит по одной вершине каждого прямоугольника). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь четырёхугольника ABCD и докажите, что для любой точки на любой из сторон четырёхугольника ABCD можно построить вписанный прямоугольник с вершиной в этой точке, стороны которого параллельны сторонам данного прямоугольникa и периметр которого также равен 10.

733. а) При каких натуральных m число 31^m – 1 делится на 2^m?

б*) Для любого нечётного а и натурального m существует бесконечно много таких натуральных k, что a^k – 1 делится на 2^m. Докажите это.

в*) Для любого нечётного а существует лишь конечное число таких натуральных m, что a^k – 1 делится на 2^m. Докажите это.

734. Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке K. Докажите, что длина проекции отрезка AK на прямую AB равна полусумме длин сторон AB и AC.

735*. а) Круг диаметром 1 нельзя покрыть несколькими бумажными полосами, сумма ширин которых меньше 1. Докажите это.

б) Назовём слоем толщины h часть пространства, заключённого между параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии h друг от друга. Докажите, что шар диаметром 1 нельзя покрыть несколькими слоями, сумма толщин которых меньше 1.

736. Медиана ВK и биссектриса СL треугольника АВС пересекаются в точке Р. Докажите равенство

PC · BC – AC · PL = PL · BC.

737. Обозначим через d_k количество тех домов некоторого города, в которых живёт не меньше k жителей, а через c_m — количество жителей в m-м по величине населения доме. Докажите равенства
а) c₁ + c₂ + c₃ + ... = d₁ + d₂ + d₃ + ...;
б) c₁² + c₂² + c₃² + ... = d₁ + 3d₂ + 5d₃ + ... + (2k – 1)d_k + ...;
в) d₁² + d₂² + d₃² + ... = c₁ + 3c₂ + 5c₃ + ... + (2k – 1)c_k + ...

738*. а) Количество прямых различных направлений, на которые данный n-угольник даёт одинаковые по величине проекции, не превосходит 2n;

б) максимальное число таких прямых для любого многоугольника чётно;

в) для треугольника это число больше трёх тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

Докажите эти утверждения.

739. а) При любом значении х, для которого левая часть равенства имеет смысл, докажите равенство tg x + tg (x + 60°) + tg (x + 120°) = 3tg x · tg (x + 60°) · tg (x + 120°).

б) Для любого нечётного натурального числа n существует такое число c_n, что для любого числа x, для которого все нижеупомянутые тангенсы существуют, сумма тангенсов чисел вида x + ^πk⁄_n, где 0 £ k < n, равна произведению числа c_n на произведение этих тангенсов.

в*) Для каждого нечётного натурального числа n вычислите c_n.

740. Серёжа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тетю Люду:
— Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?
— Это очень просто,— ответила соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на кастрюле, ближайшую к краю, до которой поднялась крупа — и зажми её пальцем! До этого уровня и надо налить воду.
— Так ведь пшена можно насыпать побольше и поменьше, да и кастрюли бывают разные — широкие и узкие,— усомнился Серёжа.
— Всё равно, мой способ годится в любом случае!— гордо ответила тетя Люда.

а) Докажите, что тетя Люда права: отношение объёмов воды и пшена по её рецепту всегда одно и то же.

б) Чему равно это отношение?

741. а) Найдите хотя бы одно натуральное число, которое делится на 30 и имеет ровно 30 различных делителей (включая 1 и само число).

б) Укажите все такие числа.

742. На а) окружности; б) сфере радиусом 1 расположены n точек. Докажите, что сумма квадратов расстояний между ними не превышает n².

743. В стране n городов.

а) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом или пароходом. Докажите, что, пользуясь лишь каким-то одним видом транспорта, из любого города можно попасть в любой другой (возможно, с пересадками).

б) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом, поездом или пароходом. Докажите, что можно выбрать не менее ⁿ⁄₂ городов и один из трёх видов транспорта так, что, пользуясь им одним, из любого выбранного города можно попасть в любой другой выбранный город.

в) Приведите пример, доказывающий, что в утверждении б) заменить число ⁿ⁄₂ бóльшим, вообще говоря, нельзя.

744*. В треугольник АВС вписан подобный ему треугольник А₁В₁С₁ (вершины А₁, В₁, С₁ углов, равных по величине углам А, B и C, лежат соответственно на отрезках ВС, СА и АВ). Пусть А₀, В₀, С₀ — точки пересечения прямых BВ₁ и CС₁, АA₁ и CС₁, BB₁ и AA₁. Докажите, что шесть окружностей, описанных около треугольников АВС₀, ВСA₀, АСB₀, А₁В₁С₀, A₁C₁B₀ и B₁C₁A₀, пересекаются в одной точке.

745. а) Ни одно из чисел d₁, d₂, d₃,... не превосходит по абсолютной величине числа 1. Докажите, что существует такая последовательность s₁, s₂, s₃,..., состоящая из чисел 1 и –1, что для всех натуральных n сумма чисел d₁s₁, d₂s₂, ..., d_ns_n по абсолютной величине не превосходит 1.

б) Для каждого натурального n задана тройка чисел (a_n, b_n, c_n), сумма которых a_n + b_n + c_n равна нулю и ни одно из которых не превосходит по абсолютной величине числа 1. Построим новую последовательность троек (x_n, y_n, z_n), в которой x₀ = y₀ = z₀ = 0, а каждая очередная тройка (x_n, y_n, z_n) получается из предыдущей тройки (x_n_–1, y_n_–1, z_n_–1) прибавлением к x_n_–1 одного из чисел a_n, b_n и c_n по нашему выбору, к y_n_-1 — другого, к z_n_-1 — третьего. Можем ли мы всегда добиться того, что все числа x_n, y_n и z_n будут по абсолютной величине не больше 1 или хотя бы ограничены некоторой константой?

в) Ответьте на аналогичный вопрос для последовательностей четвёрок чисел.

746. Бумажный квадрат складываем пополам по некоторой прямой l, проходящей через его центр, в невыпуклый девятиугольник. Как нужно провести прямую l, чтобы:

а) площадь полученного девятиугольника была максимальной?

б*) в нём помещалась окружность наибольшего возможного радиуса?

747. а) Сумма n чисел равна 0, сумма их модулей равна a. Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.

б*) Внутри выпуклого n-угольника А₁A₂A₃...A_n выбрана точка O так, что сумма векторов равна нулевому вектору, а сумма их длин равна d. Докажите, что периметр этого n-угольника не меньше 4d/n.

в*) Можно ли улучшить эту оценку (при некоторых n)?

748. а) Можно ли разместить на плоскости конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость?

Внутренней областью параболы мы называем выпуклую фигуру, границей которой служит эта парабола.

б*) В пространстве расположено несколько не пересекающих друг друга конусов. Докажите, что их нельзя переместить так, чтобы они покрыли всё пространство. (Конусом мы называем здесь неограниченную выпуклую фигуру, полученную в результате вращения некоторого угла вокруг его биссектрисы.)

749*. По кругу выписаны n положительных чисел. Вычислив частное от деления каждого из них на сумму двух соседних, сложим все частные. Докажите, что

а) при n = 3 сумма не меньше ³⁄₂ (и выясните, когда неравенство обращается в равенство);

б) при n > 3 сумма не меньше 2, причём равенство возможно только при n = 4;

в) при n > 4 число 2 нельзя заменить ни на какое большее число.

750. Докажите, что как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в N цветов, найдутся

а) прямоугольник, вершины которого лежат в центрах клеток одного цвета, а стороны идут параллельно линиям сетки — по горизонтальным и вертикальным прямым;

б) l горизонтальных и m вертикальных прямых, которые пересекаются в центрах lm клеток одного цвета (l и m — любые натуральные числа);

в) равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины которого — центры клеток одного цвета, при N = 2;

г*) то же для N = 3.

751*. На окружности намечены 3k точек, разделяющих её на 3k дуг, из которых k дуг имеют длину 1, ещё k дуг — длину 2, а остальные k дуг — длину 3. Докажите, что среди отмеченных точек есть две диаметрально противоположные.

752. Квадратная таблица n×n клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся друг от друга не больше, чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице не менее чем а) [ⁿ⁄₂]; б) n раз.

753. Числа a, b и c лежат на интервале (0, ^p⁄₂) и удовлетворяют равенствам: cos a = a, sin cos b = b и cos sin c = c. Расположите числа в порядке возрастания.

754*. а) Существуют ли такие многочлены P, Q и R от переменных x, y и z, что выполнено тождество

(x – y + 1)³ · P(x,y,z) + (y – z – 1)³ · Q(x,y,z) + (z – 2x + 1)³ · R(x,y,z) = 1?

б) Тот же вопрос для тождества

(x – y + 1)³ · P(x,y,z) + (y – z – 1)³ · Q(x,y,z) + (z – x + 1)³ · R(x,y,z) = 1.

755. Внутри тетраэдра выбрана некоторая точка. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из неё под углом, косинус которого не больше числа –¹⁄₃.

756*. В стране, кроме столицы, больше 100 городов. Столица страны соединена авиалиниями со 100 городами; каждый из остальных городов соединён авиалиниями ровно с 10 городами. Из любого города можно (быть может, с пересадками) перелететь в любой другой. Докажите, что можно так закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, что возможность попасть из любого города в любой сохранится.

757. Из последовательности 1, ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄, ... легко выделить трёхчленную арифметическую прогрессию: ¹⁄₂, ¹⁄₃ и ¹⁄₆. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию длиной а) 4; б) 5; в) k, где k — любое натуральное число?

758*. Какое наименьшее количество чисел можно вычеркнуть из последовательности 1, 2, 3, ..., 1982, чтобы ни одно из оставшихся чисел не равнялось произведению двух других оставшихся чисел?

759. Внутри выпуклого четырёхугольника, у которого сумма всех шести расстояний между вершинами (то есть сумма длин всех сторон и диагоналей) равна S₁, расположен другой, для которого эта сумма равна S₂.

а) Может ли величина S₂ быть больше S₁?

б) Докажите неравенство 3S₂ < 4S₁.

в) Если внутри тетраэдра с суммой длин рёбер S₁ расположен другой, для которого эта сумма равна S₁, то 3S₂ < 4S₁. Докажите это.

760. С замкнутой ломаной A₁A₂...A_m, где m нечётно, проделываем такую операцию: середины её звеньев соединяем m отрезками через одну (середину A₁A₂ — с серединой A₃A₄, A₂A₃ — с A₄A₅, ..., A_{m – 1}A_m — с A₁A₂, A_mA₁ — с A₂A₃). С полученной ломаной вновь проделываем эту же операцию. Так же действуем и далее. Докажите, что из любой m-звенной ломаной при а) m = 5 — через 2 шага; б) m = 7 — через 3 шага; в*) любом нечётном m через некоторое (зависящее от m) число шагов получится ломаная, подобная (даже гомотетичная) первоначальной.

761. Через произвольную точку Р стороны АС треугольника АВС параллельно его медианам АК и СL проведены прямые, пересекающие стороны ВС и АВ в точках Е и F соответственно. Докажите, что медианы АК и СL делят отрезок ЕF на три равные части.

762. Для любых положительных чисел a, b, c докажите неравенства

2abc(a + b + c) £ ab(a² + b²) + bc(b² + c²) + ca(c² + a²) £ 2(a⁴ + b⁴ + c⁴).

763*. Дан параллелограмм ABCD, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой AB относительно диагонали AC, пересекает в точке Q прямую, симметричную прямой DC относительно диагонали DB. Найдите отношение QA : BD, если известно отношение QA : BD = k.

764. Уравнение а) x² + y³ = z⁵; б) x² + y³ + z⁵ = t⁷ имеет бесконечно много решений в натуральных числах. Докажите это.

765. Пусть В — конечное множество точек на плоскости, не лежащее на одной прямой.

а) Докажите, что найдутся три такие точки множества В, что проходящая через них окружность не содержит внутри себя других точек множества В.

б) Назовём триангуляцией множества В семейство треугольников с множеством вершин В, не налегающих друг на друга и в объединении дающих выпуклый многоугольник (триангуляцию множества В можно получить, соединяя его точки непересекающимися отрезками, пока это возможно). Докажите, что для любого В существует такая триангуляция, что окружность, описанная около любого треугольника этой триангуляции, не содержит внутри себя точек множества В. Укажите способ построения такой триангуляции.

в) Докажите, что если никакие четыре точки множества В не лежат на одной окружности, то описанная в пункте б) триангуляция единственна.

766. Сумма квадратов трёх последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа. Докажите это.

767. Прямая делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что отношение, в котором эта прямая делит проекцию многоугольника на перпендикулярную к ней прямую, не превосходит суммы числа 1 и квадратного корня из 2.

б) Каждая из трёх прямых делит площадь данной фигуры пополам. Докажите, что площадь части фигуры, заключённой в треугольнике между тремя прямыми, не превосходит ¹⁄₄ всей площади фигуры.

768*. Сумма n чисел, ни одно из которых не превосходит по модулю 1, равна s. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы сумма выбранных чисел отличалась от ^s⁄₃ не более чем на ¹⁄₃.

769. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке L, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках X, Y, Z соответственно. Пусть R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности треугольника АВС. Докажите равенства

а) LX · LZ = R · LB;

б) LA · LC = r · LY;

в) S_ABC : S_XYZ = 2r : R.

770*. В основании треугольной пирамиды PABC лежит правильный треугольник АВС. Докажите, что если величины углов PAB, PBS, PCA равны, то пирамида PABC правильная.

771. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Вписанная в треугольник АВК и описанная около треугольника АВС окружности концентричны. Найдите величины углов треугольника АВС.

772. В мастерской пять разных станков. Обучение одного рабочего работе на одном станке стоит 1000 рублей. С какими наименьшими затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трёх из них все станки могли быть одновременно использованы в работе? Каждый рабочий может одновременно работать только на одном станке.

773. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон BC, CA и AB в точках X, Y и Z соответственно. Докажите, что если сумма векторов AX, BY и CZ равна нулю, то треугольник АВС равносторонний.

774*. Функция f (x), определённая на отрезке [0; 1], такова, что для любых чисел x и y отрезка [0; 1] значение функции в точке, являющейся полусуммой чисел x и y, не превосходит суммы значений функции f в точках x и y. Докажите, что

а) значения функции f во всех точках отрезка [0; 1] неотрицательны;

б) функция f равна нулю в бесконечном множестве точек отрезка [0; 1];

в) если существует такое число A, что значения функции f во всех точках отрезка [0; ¹⁄₂] не превосходят числа A, то и значения функции f во всех точках отрезка [0; 1] не превосходят числа A;

г*) если функция f непрерывна хотя бы в одной точке отрезка [0; 1], то она тождественно равна 0;

д*) существует функция f, удовлетворяющие условиям задачи и не во всех точках равная нулю.

775. Для каких натуральных n > 2 существуют такие различные натуральные числа a₁, a₂, ..., a_n, ни одно из которых не превосходит числа n + 1, что все n чисел ½a₁ – a₂½, ½a₂ – a₃½, ..., ½a_n–1 – a_n½, ½a_n – a₁½ различны?

776. На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты такие точки M и N соответственно, что AM : AC = CN : CE = λ. Найдите λ, если точки B, M и N лежат на одной прямой.

777. Дано уравнение x³ – xy² + y³ = n. Докажите, что

а) если натуральное n таково, что данное уравнение имеет целочисленное решение, то оно имеет по крайней мере три целочисленных решения;

б) при n = 2891 это уравнение не имеет целочисленных решений.

778*. A₁A₂A₃ — неравнобедренный треугольник; a_k — его сторона, лежащая против вершины A_k; M_k — середина этой стороны; T_k — точка её касания с окружностью, вписанной в данный треугольник; S_k — точка, симметричная T_k относительно биссектрисы угла A_k треугольника (k = 1, 2, 3). Докажите, что прямые M₁S₁, M₂S₂ и M₃S₃ имеют общую точку.

779*. Для невозрастающей последовательности положительных чисел, первый член которой равен 1, вычислим частное от деления квадрата каждого её члена на следующий член этой последовательности.

а) Докажите, что для любой исходной последовательности сумма некоторого набора таких частных не меньше 3,999.

б) Придумайте такую последовательность, что любая сумма таких частных меньше 4.

780*. Дан квадрат K со стороной 100. Пусть L такая — несамопересекающаяся незамкнутая ломаная, лежащая в K, что для любой точки Р границы квадрата K найдётся точка ломаной L, расстояние которой от Р не больше ¹⁄₂. Докажите, что на ломаной найдутся такие две точки X и Y, что расстояние между ними не превышает 1, а длина части заключённой между ними ломаной не меньше 198.

1983 год

781. Постройте прямую, параллельную стороне AC данного треугольника ABC и пересекающую его стороны AB и BC в таких точках D и E соответственно, что AD = BE.

782. Если произведение двух натуральных чисел равна 30 030, то их произведение не делится на 30 030. Докажите это.

783. а) При каком наибольшем n существует такое число x, что его первая степень расположена на интервале (1; 2), вторая — на интервале (2; 3), третья — на интервале (3; 4), ..., n-я — на интервале (n; n + 1)?

б) Для каких n существуют такие две прогрессии — арифметическая a₁, a₂, a₃,..., a_n_{+ 1} и геометрическая b₁, b₂, b₃,..., b_n, что a₁ < b₁ < a₂ < b₂ < a₃ < ... < a_n < b_n < a_{n + 1}?

784. Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причём ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом α (для нашей Земли α = 66,5°). Угловая скорость вращения планеты по орбите много меньше угловой скорости вращения планеты вокруг её оси. Найдите зависимость продолжительности Т самого короткого дня в году в данном пункте на поверхности планеты от географической широты φ этого пункта. Нарисуйте эскиз графика функции Т(φ).

785. а) Про возрастающую последовательность положительных чисел a₁, a₂, a₃,... известно, что для любого натурального числа k > 1 существует такое число b_k, что a_kn £ b_ka_n при всех n. Докажите, что существуют положительные числа c и α, для которых a_n £ cn^α при всех n ³ 1. Останется ли верным это утверждение, если в условии

б) слово «любого» заменить на «некоторого»;

в) не требовать, чтобы последовательность a_n была возрастающей?

786. Для любого натурального k и для любого натурального n > 1 число n^k представимо в виде суммы k последовательных нечётных чисел. Докажите это. (Например, 4³ = 13 + 15 + 17 + 19, 7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13, 3⁴ = 25 + 27 + 29.)

787. Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

788. а) На графике функции y = x² отмечены точки A(a;a²) и B(b;b²). Найдите между ними точку, для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками АМ и ВМ, наименьшая.

б) На графике дифференцируемой функции y = f (x) отмечены точки А и В. Известно, что график и отрезок АВ ограничивают выпуклую фигуру. Пусть М — точка графика, расположенная между А и В, для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками АМ и ВМ, наименьшая. Докажите, что касательная к графику в точке М параллельна хорде АВ.

789. а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, разбили на пары и точки каждой пары соединены друг с другом. Обязательно ли среди полученных пяти хорд найдутся хорды одинаковой длины?

б*) 100 точек, делящие окружность на 100 равных дуг, разбили на пары и точки каждой пары соединены друг с другом. Докажите, что среди полученных пятидесяти хорд есть хорды одинаковой длины.

790. а) Функция f такова, что если |x – y| = 1, то |f (x) – f (y)| = 1. Верно ли, что для любых x и y выполнено равенство |f (x) – f (y)| = |x – y|?

Пусть про отображение F плоскости в себя известно, что любые точки X и Y, находящиеся на расстоянии 1, оно переводит в точки f (X) и f (Y), также находящиеся на расстоянии 1. Докажите, что тогда отображение F сохраняет расстояния, то есть для любых точек X и Y верно равенство XY = f (X)f (Y). Для этого докажите следующие утверждения: для любых точек X и Y

б) f (X)f (Y) £ XY + 1;

в) если XY² = 3, то f (X)f (Y)² = 3;

г*) XY £ f (X)f (Y);

д*) XY ³ f (X)f (Y).

(Вы можете, конечно, предложить и другой план доказательства теоремы.)

791. Пете подарили микрокалькулятор, на котором он может выполнять следующие операции: по любым данным числам x и y вычислить сумму x + y, разность x – y, сумму x + 1, а также обратную величину 1 : x (если число x не равно 0). Петя умеет с помощью своего микрокалькулятора

а) возвести любое число в квадрат, проделав не более шести операций;

б*) перемножить любые два числа, проделав не более двадцати операций.

А Вы так сможете?

792. Решите в натуральных числах уравнения а) 3^x + 1 = 2^y; б) 3^x – 1 = 2^y.

в) Найдите все натуральные n, при которых оба числа 1/n и 1/(n + 1) выражаются конечными десятичными дробями.

г) Ни при каком простом p > 3 и натуральном m > 1 ни одно из чисел p^m + 1 и p^m – 1 не является степенью двойки.

793. Из вершины P тетраэдра PABC проведём отрезки PA', PB', PC', перпендикулярные соответственно граням PBC, PCA, PAB, а по длине равные площадям этих граней (направления этих векторов выбираем так, что точки A и A', B и B', C и C' лежат по разные стороны от плоскостей соответствующих граней РВС, РСА, РАВ. Докажите, что

а) Повторив это же построение для тетраэдра PA'B'C' (и его вершины Р), мы получим тетраэдр, гомотетичный исходному тетраэдру РАВС с коэффициентом 3V/4, где V равно объёму тетраэдра РАВС.

б) Сумма векторов PA', PB' и PC' перпендикулярна плоскости ABC.

в) Из точки O, взятой внутри тетраэдра ABCD, опустим перпендикуляры на плоскости его граней. На этих перпендикулярах от точки O отложим отрезки, длины которых равны площадям соответствующих граней, и концы этих отрезков примем за вершины нового тетраэдра A'B'C'D'. (Разумеется, с точностью до параллельного переноса, этот тетраэдр не зависит от выбора точки O.) Докажите, что, повторив это построение для тетраэдра A'B'C'D', мы получим, гомотетичный исходному с коэффициентом 3V, где V — объём исходного тетраэдра АВСD. (Если 3V = 1, то последний тетраэдр получается из исходного параллельным переносом.)

794. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку К первой окружности проведём прямые КА и КВ, пересекающие вторую окружность в точках P и Q. Докажите, что хорда РQ второй окружности перпендикулярна диаметру КМ первой окружности.

795. Обозначим через σ(n) сумму всех делителей натурального числа n. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что а) σ(n) > 2n; б) σ(n) > 3n. Докажите для любого натурального числа n неравенства в) σ(n) < (log₂n + 1); г) σ(n) < (ln n + 1).

Вот таблица нескольких первых значений функции σ:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
σ(n) 1 3 4 7 6 12 8 15 13 18 12 28 14 24 24 31 18 39 20 42

796. Точка P расположена внутри квадрата ABCD так, что AP : BP : CP = 1 : 2 : 3. Найдите величину угла APB.

797. Известно, что последними цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них может встретиться любая группа цифр, то есть что для любого набора из n цифр a₁, a₂, ..., a_n можно найти целое число, квадрат которого оканчивается цифрами a₁a₂...a_n, где b — одна из вышеуказанных цифр?

798. На окружности отметили 4k точек и раскрасили их попеременно в красный и синий цвета; затем 2k красных точек произвольным образом разбили на пары и соединили точки каждой пары красным отрезком, так что всего провели k красных отрезков. Аналогично 2k синих точек разбили на пары и соединили синими отрезками, проведя всего k синих отрезков. Никакие три отрезка не пересеклись в одной точке. Докажите, что количество точек пересечения красных отрезков с синими не меньше k.

799. а) Найдите решение уравнения 3^{x + 1} + 100 = 7^{x – 1} и докажите, что у него нет других решений.

б) Найдите два разных решения системы уравнений y = x², 3^x + 3^y = 2^x + 4^y и докажите, что у неё нет других решений.

800*. а) На плоскости отмечены все точки с целочисленными координатами — узлы квадратной решётки. Среди них выделен один «начальный» узел О. Для каждого из остальных узлов Р проведена прямая, относительно которой узлы О и Р симметричны,— серединный перпендикуляр к отрезку ОР. Проведённые прямые разбивают плоскость на мелкие части (треугольники и выпуклые многоугольники). Припишем каждой из них натуральное число — ранг — по следующему правилу: часть, содержащая точку О (она имеет форму квадрата), получает ранг 1, части, граничащие с ней по стороне,— ранг 2, части, граничащие с ними по стороне (и отличные от уже рассмотренных) — ранг 3 и так далее. Докажите, что сумма площадей всех частей ранга r одна и та же при всех натуральных r.

б) Верно ли аналогичное утверждение для произвольной решётки из параллелограммов (например, для решётки из ромбов с углом в 60°)? Для решётки из правильных шестиугольников?

в) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для кубической решётки в пространстве.

801. Для любого натурального n сумма целых частей корней из числа n степеней 2, 3, ..., n равна сумме целых частей логарифмов числа n, основаниями которых служат числа от 2 до n включительно. Докажите это.

802. На сторонах AB и BC треугольника ABC как на гипотенузах построены вне него прямоугольные треугольники APB и BQC с одинаковыми углами величины β при их общей вершине В. Найдите величины углов треугольника PQK, где К — середина стороны АС.

803. Сумма двух рациональных чисел x и y — натуральное число, сумма обратных к ним чисел 1/х и 1/y — тоже натуральное число. Какими могут быть x и y?

804. Точка O — середина оси прямого кругового цилиндра, A и B — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания этого цилиндра, C — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости OAB. Докажите, что сумма двугранных углов трёхгранного угла OABC (с вершиной O) равна 360°.

805. а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC выбраны точки X, Y и Z соответственно так, что отрезки AX, BY и CZ пересекаются в одной точке. Докажите, что площадь треугольника XYZ не превосходит четверти площади треугольника ABC.

б) На гранях BCD, ACD, ABD и ABC тетраэдра ABCD выбраны точки X, Y, Z и T соответственно так, что отрезки AX, BY, CZ и DT пересекаются в одной точке. Докажите, что объём тетраэдра не более чем в 27 раз превосходит объём тетраэдра ABCD.

806. Многочлен a_nx^n–1 + a_n–1x^n–2 + ... + a₁x + a₁ имеет хотя бы один корень на интервале (0; 1), если равна нулю а) сумма чисел a₁, a₂ ⁄ 2, a₃ ⁄ 3, ..., a_n ⁄ n; б) для некоторого положительного числа p сумма чисел a₁ ⁄ (p + 1), a₂ ⁄ (p + 2), a₂ ⁄ (p + 2), a₃ ⁄ (p + 3), ..., a_n ⁄ (p + n). Докажите это.

807. а) Из точки M, расположенной внутри равностороннего треугольника ABC, опущены перпендикуляры MX, MY и MZ на его стороны. Докажите, что сумма векторов MX, MY и MZ в полтора раза больше вектора MO, где O — центр треугольника ABC.

б) Из точки M опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, ..., MK_n на стороны правильного n-угольника (или их продолжения). Докажите, что сумма векторов MK₁ + MK₂ + ... + MK_n равна n векторам MO, где O — центр треугольника многоугольника.

в) Из точки M, расположенной внутри правильного тетраэдра ABCD, опущены перпендикуляры OK₁, OK₂, OK₃ и OK₄ на его грани. Докажите, что сумма векторов MK₁, MK₂, MK₃ и MK₄ равна ⁴⁄₃ вектора MO, где O — центр тетраэдра.

808*. На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — k (неокрашенных) клеток в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — k клеток — в синий и так далее. Первый стремится к тому, чтобы четыре какие-нибудь красные клетки расположились в вершинах квадрата (со сторонами, параллельными линиям сетки). Сможет ли второй ему помешать, если k равно а) 1; б*) 2; в*) некоторому натуральному числу, не равному 1?

809. Для каждого натурального числа n найдите сумму частных от деления на (k + 1)! числа k, где k = 1, 2, ..., n.

810*. В любой выпуклый многоугольник можно поместить прямоугольник, площадь которого не меньше ¹⁄₄ площади этого многоугольника. Докажите это.

811. Пусть h_a, h_b, h_c — высоты, а m_a, m_b, m_c — медианы остроугольного треугольника (проведённые к сторонам а, b и с), r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей.

812. Сумма любого множества чисел, каждое из которых обратно к произведению числа k + 1 и квадратного корня из числа k, где k — натуральное число, меньше числа 2. Докажите это.

813. Даны отрезки OА, OB и OС одинаковой длины (точка B лежит внутри угла АОС). На них как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади треугольника ABC.

814*. Отметим в натуральном ряду числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например, 72 = 6² + 6², 73 = 8² + 3², 74 = 7² + 5².

а) Объясните, почему не могут встретиться четыре последовательных отмеченных числа.

Докажите, что среди отмеченных чисел встретится бесконечно много б) пар; в) троек последовательных чисел.

815*. На окружности расставлены 4k точек, занумерованных в произвольном порядке числами от 1 до 4k.

а) Докажите, что эти точки можно соединить 2k не пересекающими друг друга отрезками так, что разность чисел в концах каждого отрезка не превосходит 3k – 1.

б) Постройте пример расстановки номеров, показывающий, что число 3k – 1 в пункте а) нельзя заменить меньшим.

816. Натуральные числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что а) суммы цифр чисел 2a и 2b равны; б) если а и b чётные, то суммы цифр чисел a/2 и b/2 равны; в) суммы цифр чисел 5a и 5b равны.

817. Точка K лежит на стороне BС треугольника AВС. Докажите, что равенство AK² = AB × AC – KB× KC выполнено тогда и только тогда, когда AB = AC или ÐBАK = ÐСАK.

818. Пусть какие-то k вершин правильного n-угольника белые (остальные вершины — чёрные). Будем называть множество белых вершин равномерным, если при любом m количества белых вершин в любых двух наборах из m последовательных вершин n-угольника совпадают или отличаются на 1 (на рисунке приведён пример равномерного множества для n = 8 и k = 5).

а) Постройте равномерные множества для n = 12 и k = 5, а также для n = 17 и k = 7.

Докажите, что равномерное множество существует и единственно (с точностью до поворотов n-угольника), б) если n делится на k; в*) для любых n и k (k £ n).

819. В Швамбрании n городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения организованы на разных уровнях.) Злой волшебник намеревается установить на каждой дороге одностороннее движение так, что, выехав из любого города, в него уже нельзя будет вернуться. Докажите, что

а) волшебник может это сделать;

б) при этом найдётся город, из которого можно добраться до всех других, и найдётся город, из которого нельзя выехать;

в) существует n! = 1 × 2 × ... × n способов осуществить намерение злого волшебника.

820*. а) Правильный восьмиугольник разрезан на конечное число параллелограммов. Докажите, что среди них есть хотя бы два прямоугольника.

б) Правильный 4k-угольник разрезан на конечное число параллелограммов. Докажите, что среди них есть хотя бы k прямоугольников.

в) Найдите сумму площадей прямоугольников из пункта б), если длина стороны 4k-угольника равна 1.

821. Решите уравнение 3x³ + 3x² + 3x = 1.

822. Карточки четырёх цветов — n зелёных, n красных, n синих и n жёлтых — сложены стопкой так, что через четыре карточки цвет повторяется (например, 1-я, 5-я, 9-я, 13-я, ... карточки зелёные, 2-я, 6-я, 7-я, 17-я, ... — красные и так далее.) Несколько карточек сверху сняли, не перекладывая перевернули и произвольным образом вставили между оставшимися. После этого стопу разделили на n маленьких стопок по четыре карточки. Докажите, что в каждой из этих четвёрок встретятся карточки всех четырёх цветов.

823. С фотографии срисован контур дома длиной 60 м и шириной 15 м, причём более длинная стена на фотографии слева (остальные части контура на фотографии загорожены веткой дерева). Требуется:

а) дорисовать контур;

б) нарисовать точную карту (проекцию на горизонтальную плоскость), на которой указать контур дома и точку съёмки;

в) определить высоту дома и высоту, с которой производилась съёмка.

824. В сетке, изображённой на рисунке, каждая ячейка имеет размер 1×1. Можно ли эту сетку представить эту сетку в виде объединения а) 8 ломаных длины 5; б) 5 ломаных длины 8?

825. Множество M состоит из k лежащих на одной прямой отрезков, никакие два из которых не пересекаются. Докажите, что если любой отрезок длины, не большей 1, можно расположить на прямой так, чтобы его концы принадлежали множеству М, то сумма длин отрезков, составляющих М, не меньше ¹⁄_k.

826. На доске написали три числа. Затем одно из них стёрли и написали сумму двух других чисел, уменьшенную на единицу. Эту операцию повторили несколько раз и в результате получили числа 17, 1967 и 1983. Могли ли первоначально быть написаны числа а) 2, 2, 2; б) 3, 3, 3?

827. Четыре синих треугольника на рисунке равновелики (то есть их площади равны).

а) Докажите, что три красных четырёхугольника также равновелики.

б) Найдите отношение площади красного четырёхугольника к площади синего треугольника.

828*. Можно ли в клетках бесконечного листа бумаги расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике размером 4×6, стороны которого идут по сторонам сетки, равнялась а) 10; б) 1?

829. Среди любых 2m + 1 различных целых чисел, по модулю не превосходящих 2m – 1, есть три числа, сумма которых равна 0. Докажите это.

830*. Школьник упражняется в решении квадратных уравнений. Выписав какое-то уравнение х² + p₁х + q₁ = 0, он решает его и, убедившись, что оно имеет два корня, составляет второе уравнение х² + p₂х + q₂ = 0, в котором p₂ — это меньший, а q₂ — больший корень первого уравнения. По второму уравнению он составляет третье, если это возможно, и так далее.

а) Докажите, что это упражнение не может продолжаться бесконечно долго.

б) Найдите наибольшую возможную длину такой последовательности квадратных трёхчленов.

831. Точки P и Q — середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, M и N — середины диагоналей AC и BD. Если прямые MN и PQ перпендикулярны, то BC = AD. Докажите это.

832. Для любого натурального а) n > 6 квадрат можно разрезать на n квадратов; б) n > 100 куб можно разрезать на n кубов. Докажите это.

833*. Последовательность задана формулами x₁ = 2 и x_n+1 = (2 + x_n) / (1 – 2x_n) для любого натурального n. Докажите, что а) x_n не равно 0 ни для какого натурального n; б) последовательность x₁, x₂, x₃, ... непериодическая.

834. Оросительная установка обслуживает круг радиусом 100 метров. Такими установками надо полностью оросить квадратное поле со стороной 1 километр.

а) Бригадир предложил расположить 64 установки в вершинах квадратной сетки со сторонами, параллельными краям поля, как показано на рисунке. В каких пределах может меняться сторона a квадратной сетки?

б) Можно ли оросить поле с помощью 46 таких установок?

835*. На круговой шахматный турнир приехало n шахматистов из страны A и n шахматистов из страны B. Оказалось, что как бы ни разбить шахматистов на пары (чтобы друг с другом играли шахматисты разных стран), найдётся хотя бы одна пара шахматистов, которые ранее встречались друг с другом. Докажите, что можно выбрать a шахматистов из страны A и b шахматистов из страны B так, что каждый из выбранных шахматистов уже встречался с каждым из выбранных b шахматистов, причём a + b > n.

836. Пусть А — одна из точек пересечения двух окружностей с центрами О₁ и O₂; Р₁Р₂ и Q₁Q₂ — общие касательные, M₁ и M₂ — середины хорд Р₁Q₁ и Р₂Q₂ этих окружностей. Докажите равенство углов О₁АО₂ и M₁АM₂.

837*. a, b, c — натуральные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наибольшее из целых чисел, не представимых в виде хbc + yca + zab, где x, y, z — неотрицательные целые числа, равно 2abc – ab – bc – ca. Докажите это.

838. Множество точек, лежащих на сторонах равностороннего треугольника, разбито на два подмножества. Обязательно ли хотя бы в одном из этих подмножеств найдутся три точки — вершины прямоугольного треугольника?

839*. Можно ли так выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих 100 000, чтобы среди выбранных чисел не было ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (то есть ни одной тройки a, b, c, в которой a + c = 2b)?

840*. а) Если a, b, c — длины сторон треугольника, то a²b(a – b) + b²c(b – c) + c²a(c – a) ³ 0. Докажите это неравенство и выясните, в каких случаях оно обращается в равенство.

б) Для любых положительных чисел a, b и c докажите неравенство a³c + b³c + c³a ³ a²bc + b²ca + c²ab.

1984 год

841. Произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной окружности, равна площади этого треугольника. Докажите это.

842. Докажите следующие утверждения.

а) Если сумма трёх чисел равна нулю, то сумма их синусов равна умноженному на –4 произведению синусов половин этих чисел.

б) Если сумма синусов углов треугольника в корень из трёх раз больше суммы косинусов углов этого треугольника, то величина хотя бы одного из углов равна 60°.

843. К плоскости треугольника ABC восставлены перпендикуляры AA', BB' и CC', длины которых равны длинам соответствующих высот треугольника. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки пересечения плоскостей ABC', BCA' и CAB' на плоскость ABC, попадает в центр вписанной в треугольник ABC окружности, а его длина равна её радиусу.

844*. а) Любое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы (быть может, состоящей из единственного слагаемого) произведений чисел вида a_n · n!, где 0 < a_n £ n. Докажите это.

б) Любое рациональное число, лежащее на интервале (0; 1), единственным образом представимо в виде суммы (быть может, состоящей из единственного слагаемого) дробей вида b_n ⁄ (n + 1)!, где 0 < a_n £ n. Докажите это.

в) Представьте в виде пункта а) число 1984 и в виде пункта б) — число 19 ⁄ 84.

845*. Для каких n из n уголков, состоящих из четырёх клеток 1×1, и нескольких прямоугольников 1×4 можно составить центрально-симметричную фигуру?

846. Среднее арифметическое длин сторон любого выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей. Докажите это.

847. Дан квадрат размером n×n клеток. Двое игроков обводят по очереди по одной стороне одной клетки (дважды обводить одну и ту же сторону нельзя). Кто выиграет при правильной игре, если а) побеждает игрок, первым построивший замкнутую линию; б) проигрывает игрок, который вынужден первым построить замкнутую линию?

848*. а) Постройте график функции f₀(x) = ||x – 1|– 2||x| – 3||.

б) На рисунке изображены графики трёх кусочно-линейных функций f₁, f₂ и f₃. Запишите формулы для них в виде y = kx + b + c₁|x – a₁| + c₂|x – a₂| + ... + c_m|x – a_m|, где m — количество точек излома, a₁, a₂, ..., a_m — абсциссы точек излома, k, b, c₁, c₂, ..., c_m — некоторые числа.

в) Запишите в таком же виде функцию f₀ из пункта а).

г*) Некоторая функция является линейной комбинацией линейных функций, «абсолютных величин» («модулей») и операций сложения, причём знак сложения модуля использован в её записи n раз (в формуле пункта а) n = 4). Какое наибольшее число изломов может иметь её график?

849. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равняться сумме седьмых степеней остальных чисел.

850*. Через точку пeрeсечения биссектрисы угла А треугольника АВС с отрезком, соединяющим основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне ВС. Докажите, что длина меньшего основания образовавшейся трапеции равна полусумме длин её боковых сторон.

851. На сторонах AB и AD квадрата ABCD выбраны точки P и Q так, что периметр треугольника APQ вдвое больше длины стороны квадрата. Докажите, что величина угла PCQ равна 45°.

852. Если a, b, c — длины сторон треугольника, то сумма чисел (a – b) / (a + b), (b – c) / (b + c) и (c – a) / (c + a) меньше а) 1; б*) 1 ⁄ 8.

853. Квадрат АВСD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите множество, которое описывает середина отрезка PQ, где Р — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны AB.

854. На переговорном пункте установлены автоматы для размена серебряных монет достоинством 10, 15 и 20 копеек, действующие так, как показано ниже:

20 копеек → 15 копеек, 2 копейки, 2 копейки и 1 копейка;

15 копеек → 10 копеек, 2 копейки, 2 копейки и 1 копейка;

10 копеек → 3 копейки, 3 копейки, 2 копейки и 2 копейки.

У Пети был 1 рубль 25 копеек серебряными монетами, и он все их разменял в автоматах на медь. Вася, посчитав сколько каких монет стало у Пети, сказал:

— А я знаю, какие у тебя были серебряные монеты!

Узнайте это и Вы.

855*. Можно ли жёсткий правильный тетраэдр с ребром 1 протащить сквозь обруч диаметра а) 1; б) 0,95; в) 0,9; г) 0,85?

856. а) Постройте четырёхугольник, зная длины его сторон и длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

б) При каких условиях задача имеет решение?

857. Среди 1984 первых натуральных чисел (от 1 до 1984) отметим те, которые можно представить в виде суммы пяти целых неотрицательных степеней двойки (то есть пяти не обязательно различных чисел 1, 2, 4, 8, ...). Каких чисел окажется больше: отмеченных или неотмеченных?

858. Для величин α, β и γ углов некоторого треугольника выполнено равенство sin²α + sin β = sin γ.

а) Найдите α, β и γ, если треугольник равнобедренный (рассмотрите все случаи).

б) Может ли треугольник быть остроугольным?

в*) Какие значения может принимать наибольший угол треугольника?

859. Найдите наименьшее такое положительное число a, что для любого квадратичного трёхчлена f, удовлетворяющего для любого числа x отрезка [0; 1] неравенству |f (x)| £ 1, выполнено неравенство |f'(1)| £ a.

860*. а) Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, а I и r — центр и радиус его вписанной окружности, K — центр тяжести треугольника, вершины которого — точки касания вписанной окружности треугольника ABC с его сторонами. Докажите, что точка K лежит на отрезке OI, причём OI : IK = 3R : r.

б) Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, а n_a, n_b и n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам треугольника и направленные во внешнюю сторону. Докажите равенство a³n_a + b³n_b + c³n_c = 12S · MO, где S — площадь треугольника АВС, M — точка пересечения медиан, О — центр вписанной окружности.

861. Из любых n чисел можно выбрать несколько (быть может, одно) так, что сумма выбранных чисел отличается от ближайшего к ней целого числа не более, чем на ¹⁄_{(n + 1)}. Докажите это.

862. а) Внутри данного равностороннего треугольника укажите множество всех таких точек М, что расстояния от М до его сторон сами служат длинами сторон некоторого треугольника.

б) Внутри данного правильного тетраэдра укажите множество всех таких точек М, что расстояния от М до граней тетраэдра служат длинами сторон некоторого четырёхугольника.

863. На каждой клетке доски n×n стоит по фишке. Можно ли переставить их так, чтобы любые две фишки, угрожавшие одна другой ходом коня, после перестановки стали угрожать друг другу ходом короля, если n равно а) 3; б) 6; в) 4?

864. Назовём красивым разбиение треугольника на подобные ему треугольники, никакие два из которых не равны по размерам.

а) Для всякого прямоугольного треугольника существует красивое разбиение. Докажите это.

б*) Существует ли красивое разбиение равностороннего треугольника?

в) Для каких неравносторонних треугольников существует красивое разбиение?

865*. Рассмотрим возрастающую последовательность n + 1 натуральных чисел; для любых двух её соседних чисел вычислим их наименьшее общее кратное. Сложим числа, обратные этим n наименьшим общим кратным. Докажите, что сумма вычисленных обратных величин не превосходит разности между числом 1 и числом, обратным n–й степени числа 2, если а) n = 2; б) n = 3; в) n — любое натуральное число.

866. а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоит по одному солдатику. Для какого наибольшего d можно переставить солдатиков в другие клетки так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d? (Расстояние измеряем по прямой между центрами старой и новой клеток; сторона клетки равна 1.)

Решите эту же задачу для б) квадрата размером 21×21; в) прямоугольника размером m×n клеток.

867. На уроке танцев 17 мальчиков и 17 девочек построили двумя параллельными рядами так, что образовалось 17 пар. При этом в каждой паре рост мальчика отличается от роста девочки не более чем на дециметр. Докажите, что если в каждом ряду перестроить мальчиков и девочек по росту, то по-прежнему в каждой паре мальчик и девочка будут отличаться не более чем на дециметр.

868. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды не прямые. Из вершин основания в боковых гранях проведены высоты. Докажите, что три прямые, соединяющие между собой основания высот каждой грани, параллельны одной плоскости.

869*. Пары последовательных натуральных чисел (8; 9) и (288; 289) обладают тем свойством, что каждое из этих чисел содержит каждый свой простой множитель не менее чем во второй степени.

а) Найдите ещё одну такую пару последовательных чисел.

б) Докажите, что существует бесконечно много таких пар.

870. По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное число комнат, занумерованных по порядку целыми числами, и в каждой стоит по роялю. В этих комнатах живёт несколько (конечное число!) пианистов. В одной комнате может жить и несколько пианистов. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах — k-й и (k + 1)-й — приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются в (k – 1)-ю и (k + 2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней переселения прекратятся.

871. В каждую клетку таблицы размером 3×3 записаны числа 1 или –1. Затем одновременно число в каждой клетке заменяют на произведение чисел, расположенных во всех соседних клетках (соседними считаем клетки, имеющие общую сторону). Докажите, что после нескольких таких операций во всех клетках будут только единицы.

872. На плоскости расположены три окружности ω₁, ω₂ и ω₃ радиусов r₁, r₂ и r₃ — каждая вне двух других, причём r₁ > r₂ и r₁ > r₃. Из точки пересечения внешних касательных к окружностям ω₁ и ω₂ проведены касательные к окружности ω₃, а из точки пересечения внешних касательных к ω₁ и ω₃ — касательные к ω₂. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.

873. Учитель написал на доске квадратный трёхчлен x² + 10x + 20. Затем каждый ученик по очереди увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбору один из младших коэффициентов (коэффициент при x или свободный член), но не оба сразу. В результате получился трёхчлен x² + 20x + 10. Можно ли утверждать, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трёхчлен с целыми корнями?

874*. При каких целых m и n а) m-я степень числа, являющегося суммой числа 5 и утроенного квадратного корня из 2, равна n-й степени числа, являющегося суммой числа 3 и упятерённого квадратного корня из 2; б) m-я степень числа, являющегося суммой числа a и умноженного на число b квадратного корня из d, равна n-й степени числа, являющегося суммой числа b и умноженного на число a квадратного корня из d, где a и b — взаимно простые натуральные числа, d — натуральное число, d > 1, а среди делителей числа d нет ни одного квадрата простого числа? Решение М874.

875*. По кругу написано n натуральных чисел, причём n > 2, причем отношение суммы двух соседей любого из этих чисел к нему самому является натуральным числом. Докажите, что сумма всех n таких отношений а) не меньше 2n; б*) меньше 3n.

876. На окружности, касающейся сторон угла с вершиной О, выбраны две диаметрально противоположные точки А и В, отличные от точек касания. Прямая, касающаяся окружности в точке В, пересекает стороны угла в точках C и D, а прямую ОА — в точке Е. Докажите равенство длин отрезков ВC и DE.

877. Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 вырезали 99 квадратиков размера 2×2 каждый. Докажите, что из этого листа можно вырезать ещё один такой квадратик.

878. Если сумма величин плоских углов при вершине пирамиды больше 180°, то каждое боковое ребро пирамиды меньше полупериметра её основания. Докажите это.

879. Если a, b, c, d, e — целые числа, причём a + b + c + d + e и a² + b² + c² + d² + e² делятся на нечётное простое число p, то a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ + e⁵ – 5abcde делится на p. Докажите это.

880*. В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 5, 0, 9, 8, 5, ... каждый член, начиная с седьмого, равен последней цифре суммы шести предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встретятся подряд шесть чисел 0, 1, 0, 1, 0, 1.

881. Сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трёх вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвёртой вершины. Докажите это.

882. Если сумма трёх целых чисел равна нулю, то сумма их четвёртых степеней — удвоенный квадрат целого числа. Докажите это.

883. В какое наименьшее число цветов нужно раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги, чтобы

а) любые две клетки на расстоянии 6 были покрашены в разные цвета? (Расстояние между клетками — наименьшее число линий сетки, горизонтальных и вертикальных, которые должна пересечь ладья на пути из одной клетки в другую.)

б) любые четыре клетки, образующие фигуру формы буквы Г, были покрашены в четыре разных цвета?

884. Непрерывная и монотонная функция f определена на отрезке [0; 1] и принимает значения также на отрезке [0; 1]. Докажите, что её график можно покрыть n прямоугольниками площади ¹⁄_n² каждый, стороны которых параллельны осям координат.

885*. Для каждого натурального числа n обозначим через p(n) количество разбиений числа n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаем одинаковыми). Количество различных чисел в разбиении назовём его разбросом.

а) Докажите, что сумма q(n) разбросов всех разбиений числа n равна 1 + p(1) + p(2) + ... + p(n – 1).

б) Докажите, что эта сумма не превосходит произведения числа p(n) на квадратный корень из 2n.

886. Можно ли в 4n – 4 клеток, расположенных по периметру квадрата размером n×n, расставить 4n – 4 последовательных целых чисел (не обязательно положительных) так, чтобы суммы чисел в вершинах каждого прямоугольника, стороны которого параллельны диагоналям квадрата, а также суммы чисел в концах каждой диагонали равнялись одному и тому же числу s? Решите задачу для n, равного а) 3; б) 4; в) 5; г) 1985. Если расстановка возможна, найдите допустимые значения s.

887. Из точки C к окружности проведены две касательные CA и CB, где A и B — точки касания. Вторая окружность проходит через точку C, касается прямой AB в точке B и пересекает первую окружность в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

888. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab = cd. Докажите, что число a¹⁹⁸⁴ + b¹⁹⁸⁴ + c¹⁹⁸⁴ + d¹⁹⁸⁴ составное.

889. Существуют ли на плоскости такие три точки А, В и С, что для любой точки P плоскости длина хотя бы одного из отрезков РА, РВ и РС иррациональна?

890. На территории страны, имеющей форму квадрата со стороной 1000 км, находится 51 город. Страна располагает средствами для прокладки 11 000 км шоссейных дорог. Сможет ли она соединить сетью шоссейных дорог все свои города?

891. Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

892. а) Среди чисел вида 2^m + 2^k, а также среди чисел вида 3^m + 3^k бесконечно много квадратов, а среди чисел вида 4^m + 4^k, 5^m + 5^k или 6^m + 6^k нет ни одного квадрата целого числа (здесь m и k — натуральные числа, не равные друг другу).

б*) Есть ли квадраты среди чисел вида 7^m + 7^k?

893. Каждые два из n блоков ЭВМ соединены проводом. Можно ли каждый из этих проводов покрасить в один из n – 1 цветов так, чтобы от каждого блока отходило n – 1 проводов разного цвета, если а) n = 6; б) n = 13?

894. а) Сумма пяти неотрицательных чисел равна 1. Докажите, что их можно расставить по кругу так, чтобы сумма пяти попарных произведений соседних чисел не превосходила ¹⁄₅.

б*) По кругу расставлено n ³ 4 неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что сумма всех n попарных произведений соседних чисел не превосходит ¹⁄₄.

895*. Площадь сечения куба плоскостью, касающейся вписанной в него сферы, не превосходит половины площади грани куба. Докажите это, когда сечение — а) треугольник; б) четырёхугольник.

в) В случае а) площадь полной поверхности отсекаемого от куба тетраэдра меньше площади грани куба. Докажите это.

896. Четырёхугольник АВСD выпуклый. Окружность с диаметром АВ не касается прямой СD. Докажите, что окружность с диаметром СD касается прямой АВ тогда и только тогда, когда прямые ВС и АD параллельны.

897. Найдите хотя бы одну такую пару (x; y) целых чисел, что (x + y)⁷ – x⁷ – y⁷ делится на 7, а xy(x + y) не делится на 7.

898*. Для нечётных натуральных чисел a < b < c < d выполнены равенства ad = bc, a + d = 2^k и b + c = 2^m, где k и m — некоторые натуральные числа. Докажите, что а) a = 1; б) для каждого m > 2 существует и единственен набор чисел a, b, c, d и k, удовлетворяющий этим условиям.

899. Назовём округлением числа х замену его на одно из двух чисел [x] или –[–x]. (Таким образом, при округлении целое число не меняем, а нецелое заменяем на одно из двух целых чисел, между которыми оно расположено.)

а) Докажите, что в любом равенстве вида x₁ + x₂ + ... + x_m = y₁ + y₂ + ... + y_n все слагаемые можно округлить так, что равенство останется верным.

б) В прямоугольную таблицу записаны некоторые числа, причём суммы по строкам и суммы по столбцам — целые числа. Докажите, что все числа таблицы можно округлить так, что суммы ни по строкам, ни по столбцам не изменятся.

в) Пусть теперь суммы по строкам и суммы по столбцам не обязательно целые. Докажите, что все числа таблицы можно округлить так, что как суммы по строкам, так и суммы по столбцам будут округлениями соответствующих «бывших» сумм.

900. Может ли проекция выпуклого шестигранника на плоскость быть а) 8-угольником; б) 9-угольником?

в*) Какое наибольшее число сторон может иметь проекция выпуклого многогранника с n гранями?

1985 год

901. Биссектрисы AK и BM треугольника ABC пересекаются в точке I. Докажите, что если IK = IM, то AC = BC или величина угла ACB равна 60°.

902. Натуральный ряд разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на её разность.

903. Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей ни через одну вершину, является многоугольником с а) чётным; б) нечётным числом сторон?

904*. Для каждого натурального числа A = a₀ + a₁ · 10 + ... + a_n · 10ⁿ положим D(A) = a_n + a_n–1 · 2 + ... + a₁ · 2^n–1 + a₀ · 2ⁿ. Например, D(1985) = 1 + 9 · 2 + 8 · 4 + 5 · 8 = 91, D(91) = 9 + 1 · 2 = 11 и D(11) = 1 + 1 · 2 = 3.

а) Для любого натурального числа A в последовательности A₁ = D(A), A₂ = D(A₁), A₃ = D(A₂), ... встретится некоторое такое число A* < 20, что D(A*) = A*. Докажите это.

б) Найдите A* для A = 19⁸⁵.

905*. Уравнение 4xⁿ + (x + 1)² = y² относительно натуральных чисел x и y а) не имеет решений при n = 1; б) имеет по крайней мере два решения при n = 2; в*) имеет бесконечно много решений при n = 2; г*) не имеет решений ни для какого натурального n > 2. Докажите эти утверждения.

906. а) Для любого натурального a уравнение xy = a(x + y) имеет по крайней мере три решения в натуральных числах x и y. Докажите это.

б) Найдите количество решений этого уравнения в натуральных числах при a = 1985.

907. Если сумма утроенной величины угла A и удвоенной величины угла B равна 180°, то BC² = AB² – AB · AC. Докажите это.

908. а) На стороне АВ треугольника АВ выбрана точка Р, и через неё проведены прямые, параллельные АВ и АС соответственно, до пересечения со сторонами АС и ВС в точках M и N соответственно. При каком выборе точки Р отрезок MN имеет наименьшую длину?

Решите задачу а) для треугольника с прямым углом С; б*) для произвольного треугольника АВС.

909. а) Докажите существование арифметической прогрессии, состоящей из четырёх различных членов, каждый из которых — более чем первая степень натурального числа.

б) Существует ли сколь угодно длинная такая прогрессия?

в) А бесконечно длинная?

Существует ли бесконечная (не постоянная) арифметическая прогрессия, не содержащая г) ни одной более чем первой степени натурального числа; д) ни одного числа, составленного из одинаковых цифр?

910. На сторонах правильного шестиугольника взяты точки А₁, А₂, ..., А₆. Известно, что три попарно не смежные стороны А₁А₂, А₃А₄ и А₅А₆ шестиугольника А₁А₂А₃А₄А₅А₆ определяют треугольник KLM, вершины которого лежат на продолжениях диагоналей правильного шестиугольника. Докажите, что это верно и для трёх других сторон шестиугольника А₁А₂А₃А₄А₅А₆.

911. На сторонах АВ и СD выпуклого четырёхугольника АВСD выбраны произвольные точки E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AF, BF, CE и DE являются вершинами выпуклого четырёхугольника, причём его площадь не зависит от выбора точек E и F.

912. а) Многочлен x²; б) любой многочлен можно представить в виде разности двух многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией. Докажите это.

913. Касательные к описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведённые в точках А и В, пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая РС

а) пересекает сторону АВ в точке К, делящей её в отношении АС² : ВС²;

б) симметрична медиане, проведённой из С, относительно биссектрисы угла С треугольника.

914. На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и так далее). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

915. Выпишем по окружности четыре положительных числа и вычислим частное от деления каждого из них на сумму двух следующих за ним по часовой стрелке. Докажите, что сумма этих частных не меньше 2.

916. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади треугольника.

917. а) Чему равна длина максимальной серии идущих подряд несчастливых билетов? б) Сколько существует таких серий максимальной длины? (Номера билетов меняются от 000 000 до 999 999. Билет называем счастливым, если сумма первых трёх цифр равна сумме трёх последних цифр.)

918*. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа — 3, 4 и 5.

919. а) Сумма интеграла от функции tg x по отрезку [0; ^π⁄₄] и интеграла от функции arctg x по отрезку [0; 1] равна ^π⁄₄. Докажите это.

б) Сумма интеграла от корня четвёртой степени из x⁴ + 1 по отрезку [0; 3] и интеграла от корня четвёртой степени из x⁴ – 1 по отрезку [1; 3] больше 9 и меньше 9,001. Докажите это.

920. а) Найдите хотя бы одно решение уравнения x³ + y³ + z³ = x²y²z² в натуральных числах.

б*) Уравнение x³ + y³ + z³ = nx²y²z² имеет решение в натуральных числах только при n = 1 или 3. Докажите это и найдите все эти решения.

921. Известны величина α угла A и величина β угла B выпуклого четырёхугольника ABCD, а его удвоенная площадь равна AB · CD + BC · AD. Найдите отношения длин сторон AB : BC : CD : DA, если а) α = ^5π⁄₁₂ и β = ^7π⁄₁₂; б) α = ^π⁄₂ и β = ^π⁄₃?

922. Уравнение sin^p x + cos^q x = 1, где p > 0 и q > 0, имеет решение x на интервале (0; ^π⁄₂) тогда и только тогда, когда (p – 2)(q – 2) < 0 или p = q = 2. Докажите это.

923. Площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости. Докажите это.

924. Каждые две из n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник АВС с вершинами в данных точках называем ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях АВ, ВС, СА или АС, СВ и ВА (например, на рисунке всего три ориентированных треугольника).

а) Расставьте стрелки, чтобы не возникло ни одного ориентированного треугольника.

б*) Каково наибольшее возможное число ориентированных треугольников (для каждого n)? Нарисуйте соответствующие примеры для n = 4, 5 и 6.

925. На белой плоскости расположена синяя фигура К₀. Из неё получается новая синяя фигура К₁ по следующему правилу, применяемому одновременно ко всем точкам М плоскости: если не менее половины площади круга радиуса 1 с центром в точке М занято синим цветом, то точка М становится синей, а если менее половины — то белой. На следующем шагу из полученной синей фигуры К₁ по тому же правилу получается фигура К₁, затем из неё — фигура К₃ и так далее. Докажите, что а) для произвольной ограниченной фигуры К₀, начиная с некоторого шага, вся плоскость станет белой; б) если К₀ — круг радиуса 100, то это случится не позже чем через миллион шагов.

926. Если x² + y² = u² + v² = 1 и xu + yv = 0, то x² + u² = y² + v² = 1 и xy + uv = 0. Докажите это.

927*. На плоскости дано конечное множество точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведено несколько отрезков с концами в данных точках. Эти отрезки разрешено менять: если какие-то два из них, АС и ВD, пересекаются, их можно стереть и провести отрезки а) АВ и СD; б) АВ и ВС. (Если «новый» отрезок уже проведён, проводить его во второй раз не нужно.) Можно ли несколькими такими заменами вернуться к исходному набору отрезков?

928. В кинотеатре N + 1 место. Сначала N человек, имеющие билеты с указанием мест (в их числе и Игорь), сели на произвольные N мест, не глядя на свои билеты. Пришедший последним (N + 1)-й зритель хочет занять своё место; если оно занято,— сгоняет сидящего там, тот поступает так же и так далее, пока нужное согнанному место не окажется свободным. Какова вероятность того, что Игорю придётся пересесть? (Другими словами, какую долю среди всех возможных размещений зрителей составляют невыгодные для Игоря?)

929. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = e⁴ . Докажите, что по крайней мере а) три из них чётны; б) три делятся на 5; в) два числа делятся на 10.

930*. Числа от 1 до 1985 разбиты на 6 множеств. Докажите, что хотя бы в одном из них есть три числа, одно из которых равно сумме двух других, или два числа, одно из которых вдвое больше другого.

931. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках C', A' и B' соответственно. Если AA' = BB' = CC', докажите, что треугольник ABC — равносторонний.

932. В квадратной клетке со стороной 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может прострелить её сразу в 6 местах. Не хвастает ли он? (Анаконду можете считать ломаной длины 10, расположенной внутри квадрата 1×1.)

933. 13 рыцарей из k разных кланов, где 1 < k < 13, сидят за круглым столом. Каждый держит золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков ровно k штук. Король Артур приказал своим рыцарям одновременно передать кубки своим соседям справа, потом сделать то же самое ещё раз и так далее. Докажите, что найдутся такой момент времени и такие два рыцаря из одного клана, что в руках у них — золотые кубки.

934*. В пространстве расположены 2n точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены n² + 1 отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют а) хотя бы один треугольник; б) не менее n треугольников.

935*. Внутри правильного 2n-угольника с центром О произвольным образом расположен правильный 2n-угольник с вдвое меньшей стороной. Докажите, что он накрывает точку О, если а) n = 2; б) n = 3; в) n — любое натуральное число, не равное 1.

936. За 3n + 1 взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить самый лёгкий и самый тяжёлый из 2n + 2 камней, если: а) n = 3; б) n — любое натуральное число. Докажите это.

937. Существует ли такая а) произвольная; б) выпуклая фигура, что ею нельзя накрыть полукруг радиуса 1, а двумя её экземплярами можно накрыть круг радиуса 1?

938*. Радиус круга, центр которого — точка O, равномерно вращается, поворачиваясь каждую секунду на угол величиной ^360°⁄_n, где n — натуральное число, большее 3. В начальный момент он занимал положение ОМ₀, через секунду — положение ОМ₁, ещё через 2 секунды — положение ОМ₂, через 3 секунды после этого — положение ОМ3 и так далее, наконец, ещё через n – 1 секунд — положение ОМ_{n – 1}.

а) Если n — степень числа 2, то радиусы ОМ₀, ОМ₁, ..., ОМ_{n – 1} делят круг на n равных секторов. Докажите это.

б) Возможно ли это при других значениях n?

939. В клетки таблицы размером 10×10 записали каким-либо образом цифры так, что каждая цифра встречается 10 раз.

а) Возможно ли, что в каждой строке и в каждом столбце не более 4 различных цифр?

б*) Докажите, что хотя бы в одной строке или хотя бы в одном столбце не менее 4 различных цифр.

940*. а) Квадрат разбит на прямоугольники. Назовём цепочкой такое множество этих прямоугольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают эту сторону без перекрытий (пример изображён на рисунке). Докажите, что любые два прямоугольника входят в некоторую цепочку.

б) Докажите аналогичное утверждение для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки сторону квадрата нужно заменить на ребро куба).

в) Верно ли, что любые два параллелепипеда в разбиении куба принадлежат одному «слою» — множеству параллелепипедов, проекции которых на некоторую грань заполняют её целиком, не налегая друг на друга?

941. Дан правильный (4k + 2)-угольник А₀А₁...А_{4k + 1} с центром О. Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом А_kOА_{k + 1} на прямых А₁А_2k, А₂А_{2k – 1}, ..., А_kА_{k + 1} (на рисунке проиллюстрирован случай k = 2), равна радиусу ОА₀ описанной окружности (4k + 2)-угольника, если а) k = 2; б) k — любое натуральное число.

942. Первые 2n натуральных чисел разбиты на два множества по n чисел в каждом. Пусть a₁ < a₂ < ... < a_n — числа первого множества, расположенные в порядке возрастания, а b₁ < b₂ < ... < b_n — числа второго множества, расположенные в порядке убывания. Докажите, что сумма модулей разностей a₁ – b₁, a₂ – b₂, ..., a_n – b_n равна n².

943. Последовательность a₁, a₂, a₃, ... задана формулами a_2n = a_n, a_4n–3 = 1 и a_4n–1 = 0 для любого натурального n. Докажите, что эта последовательность непериодическая.

944*. Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке. Во всех 19 узлах образовавшейся фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения найдутся 7 таких, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания против часовой стрелки.

945*. Рассмотрим строго возрастающую неограниченную последовательность положительных чисел. Для каждого натурального n вычислим сумму частных вида a_k : a_k+1, где 1 £ k £ n. Докажите, что для всех достаточно больших n эта сумма меньше числа а) k – 1; б) k – 1985.

946. Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

947. На доске написаны числа 1, ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄, ¹⁄₅, ¹⁄₆, ¹⁄₇, ¹⁄₈, ¹⁄₉, ¹⁄₁₀, ¹⁄₁₁ и ¹⁄₁₂.

а) Докажите, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «–» между этими числами, выражение не будет равно 0.

б) Какое наименьшее количество написанных чисел необходимо стереть с доски для того, чтобы после некоторой расстановки «+» и «–» между оставшимися числами значение выражения равнялось 0?

948. Если равносторонний треугольник покрыт пятью меньшими равными равносторонними треугольниками, то его можно покрыть четырьмя такими треугольниками. Докажите это. (Треугольник рассматриваем вместе с его внутренней областью; треугольники разрешено передвигать.)

949. Даны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять групп так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были бы одинаковы во всех пяти группах?

950. Двадцать пять коротышек хотят получить по единичному квадратику в квадрате размером 5×5. Каждый коротышка находится в ссоре не более чем с тремя другими коротышками. Докажите, что можно распределить участки таким образом, чтобы участки никаких двух поссорившихся коротышек не были бы соседними. (Соседними называем участки, имеющие общую сторону.)

951. Длины всех сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF равны 1. Докажите, что радиус описанной окружности хотя бы одного из треугольников АСЕ и BDF не меньше 1.

952. а) Приведите пример числа а, удовлетворяющего равенству {а} + {¹⁄_а} = 1.

б) Докажите, что любое такое число а иррационально.

Здесь фигурные скобки обозначают дробную часть данного числа, то есть разность между самим числом и его целой частью. Целая часть данного числа — это наибольшее целое число, не превосходящее данного числа.

953. На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?

954. а) В треугольник вписан прямоугольник со сторонами a и b так, что все его вершины лежат на сторонах треугольника. Пусть x и y — длины проекций треугольника на прямые, параллельные сторонам длин a и b соответственно. Докажите, что сумма частного от деления числа a на x и частного от деления числа b на y равна 1.

б) В тетраэдр вписан прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b и c так, что все его вершины лежат на поверхности тетраэдра. Пусть x, y и z — длины проекций треугольника на прямые, параллельные рёбрам a, b и c соответственно. Докажите, что сумма частных от деления a на x, b на y и с на z равна 1.

955*. За круглым столом сидят n участников «безумного чаепития». Каждую минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники чаепития могут оказаться сидящими в обратном порядке (так, что левые соседи у каждого станут правыми и наоборот)? Решите эту задачу для а) n = 4, 5 или 6; б) любого натурального n > 2.

956. На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку А и три — через точку В. Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от А и В,— вершины параллелограмма.

957. Из любых 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвёртая степень целого числа.

958*. a₁ < a₂ < ... < a_n — неотрицательные целые числа. Докажите, что у многочлена (1 + x)^a₁ + (1 + x)^a₂ + ... + (1 + x)^a_n не меньше нечётных коэффициентов, чем у многочлена (1 + x)^a₁.

959*. В стране между некоторыми парами городов установлено авиационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более чем ¹⁄_{(k – 1)} часть авиалиний таким образом, что среди любых k городов найдутся два, не соединённые между собой авиалинией, если а) k = 3; б)k — любое натуральное число, k > 1.

960. а) Если разность кубов двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа n, то число n представимо в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел. Докажите это утверждение.

б) Вот пример таких чисел: 8³ – 7³ = (2² + 3²)². Приведите ещё хотя бы один пример.

в) Докажите, что таких примеров бесконечно много. Решение М960.

1986 год

961. На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD — точка F, причём 2AE = BE и CF = CD. Подобны ли треугольники AKE и CFL?

962. Ни для какого многочлена P с целыми коэффициентами не существуют такие не равные одно другому целые числа x₁, x₂, ..., x_n, что n > 2 и x₂ = P(x₁), x₃ = P(x₂), ..., x_n = P(x_n–1) и x₁ = P(x_n). Докажите это.

963. Каждая сторона шестиугольника параллельна противоположной его стороне. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

964. В любой последовательности a₁, a₂, a₃, ... различных натуральных чисел, удовлетворяющей для любого натурального n неравенству а_n < 100n, есть число, в десятичной записи которого встречается а) цифра 1; б) 1986 единиц подряд. Докажите это.

965. Дано шесть чисел а₁, а₂, ..., а₆. Чтобы подсчитать «в лоб» сумму их попарных произведений а₁а₂ + а₁а₃ + ... + а₅а₆, нужно затратить 15 умножений и 14 сложений. Покажите, как можно найти сразу сумму этих чисел, а также суммы их произведений по два, по три, по четыре и по пять, затратив всего 15 сложений и 14 умножений.

966. Любой треугольник можно разрезать отрезками на четыре части, из которых можно составить два подобных ему треугольника. Докажите это.

967. Обозначим через σ(n) сумму всех натуральных делителей числа n (включая 1 и n), а через φ(n) — количество чисел, не превосходящих числа n и взаимно простых с n. Докажите для любого натурального n неравенство σ(n) + φ(n) ³ 2n.

968. Три многоугольника в пространстве расположены так, что их плоскости пересекаются в одной точке О.

а) Существует плоскость, площади проекций на которую этих трёх многоугольников равны. Докажите это.

б) Сколько существует таких плоскостей, проходящих через точку О?

969. Для любых положительных чисел a, b и c сумма чисел a³⁄(b² + bc + c²), b³⁄(c² + ca + a²) и c³⁄(a² + ab + b²) не меньше среднего арифметического чисел a, b и c. Докажите это.

970. На начальной остановке в автобус вошли 32 пассажира, которым нужно ехать до 32 разных остановок, расположенных на расстоянии 1 км друг от друга. Водитель решил провести голосование: какие остановки отменить, а какие сохранить. Он называет остановки в некотором порядке. Пассажир голосует за отмену остановки, если он собирается ехать дальше, против, если он собирается выходить на этой остановке, и воздерживается, если — раньше (не учитывая, что при дальнейшем голосовании могут отменить и его остановку). Если за отмену подано больше голосов, чем против, остановку отменяют, а те, кто хотел на ней выходить, решают ехать до ближайшей к ней из ещё не отменённых (если таких две — до первой из них). Какое а) наименьшее; б) наибольшее число остановок может сохраниться в зависимости от порядка, в котором их называет водитель?

971. Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая сыграла с каждой один раз). Докажите, что можно выбрать из них такие команды A, B, C и D, что A выиграла у B, C и D, команда B выиграла у C и D, а C выиграла у D.

972. Последовательность x₁, x₂, x₃, ... задана условиями x₁ = ¹⁄₂ и x_n+1 = x_n² + x_n для любого натурального n. Найдите целую часть суммы обратных величин чисел 1 + x₁, 1 + x₂, ..., 1 + x₁₀₀.

973. AH — высота, а BE — биссектриса треугольника ABC. Если величина угла BEA равна 45°, то и величина угла EHC равна 45°. Докажите это.

974. Двое играют в шахматы с часами. После того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих показывали 2 часа 30 минут.

а) Докажите, что в партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого более, чем на 1 минуту 50 секунд.

б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была не менее 2 минут?

975. На «шахматной доске» размером n×n стоят 20 разных фигур, каждая из которых с любого поля бьёт не более 20 полей.

а) Докажите, что при n = 100 эти фигуры можно передвинуть так, чтобы они не били друг друга.

б) Пусть дополнительно известно, что если фигуру сдвинуть, то множество полей, которые она бьёт, тоже параллельно сдвинется (на тот же вектор). Докажите, что при n = 30 эти 20 фигур можно передвинуть так, чтобы они не били друг друга.

976. Из вершины A квадрата ABCD проведены два луча, образующие между собой угол величиной 45°. Один пересекает сторону ВС в точке Е, а диагональ ВD — в точке Р, другой — сторону СD в точке F, а диагональ ВD — в точке Q. Докажите, что площадь треугольника АЕF вдвое больше площади треугольника АРQ.

977. Можно ли с помощью операций сложения, вычитания и умножения из многочленов f и g получить x, если а) f = x² + x и g = x² + 2; б) f = x² + x и g = x² – 2; в) f = 2x² + x и g = 2x; г) f = 2x² + x и g = x²?

978. Можно ли в квадрате со стороной 1 расположить два непересекающихся равносторонних треугольника, стороны которых больше квадратного корня из ²⁄₃?

979. Пусть k и n — натуральные числа, 1 < k £ n. Назовём набор k положительных чисел a₁, a₂, ..., a_k, меньших 1, исключительным, если для любого разбиения n = n₁ + n₂ + ... + n_k числа n на неотрицательные слагаемые хотя бы одно из чисел a_jn_j, где 1 £ j £ n,— целое.

а) Для каких k и n существует исключительный набор?

б) Каковы исключительные наборы?

980*. Внутри выпуклого а) многоугольника; б) многогранника A₁A₂...A_n взята точка O. Докажите, что среди углов A_jOA_k, где 1 £ j < k £ n, не менее чем n – 1 имеют величину от 90° до 180°.

981. Число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере а) 8; б) 28 различных делителей. Докажите это.

982. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС построены во внешнюю сторону квадраты АВВ₁А₂, ВСC₁B₂ и САА₁С₂. Докажите, что перпендикуляры к отрезкам А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.

983. В турнире с участием 16 теннисистов каждые двое играют одну партию.

а) Приведите пример такого турнира, 10 любых участников которого можно расставить так, чтобы каждый выиграл у своего левого соседа.

б) Докажите, что если условие пункта а) выполнено, то и любых 11 участников можно расставить по кругу таким образом.

984. Через произвольную точку К квадрата АВСD проведена прямая, пересекающая его противоположные стороны АВ и СD в точках Р и Q. Докажите, что отличная от К точка пересечения окружностей, проходящей через точки К, В и Q, с окружностью, проходящей через точки К, D и P, лежит на диагонали ВD.

985. Углом между двумя прямыми, пересекающимися в точке O, называем угол между их лучами с вершиной O, не превосходящий 90°. Сколькими способами через точку O в пространстве можно провести прямые l₁, l₂ и l₃ так, чтобы углы между l₂ и l₃, l₃ и l₁, l₁ и l₂ соответственно равнялись данным величинам α₁, α₂ и α₃? (Две тройки прямых не различаем, если они конгруэнтны, то есть если поворотами вокруг осей и симметриями относительно плоскостей можно одну тройку перевести в другую.) Предостережение. Ответ зависит от величин α₁, α₂ и α₃. Например, для α₁ = α₂ = α₃ = 30° он не такой, как для α₁ = α₂ = α₃ = 70°.

986. Для любых положительных чисел a и b сумма удвоенного квадратного корня из a и утроенного кубического корня из b не меньше пяти корней пятой степени из произведения ab. Докажите это.

987. В турнире участвуют 2m команд. В первом туре встретились некоторые m пар команд, во втором — другие m пар. Докажите, что после этого можно выбрать m команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.

988*. Из точки O на плоскости проведены n векторов единичной длины. Докажите, что если для некоторого натурального числа k, где 2k < n, по обе стороны от каждой прямой, проходящей через O, лежит не менее k векторов, то длина суммы всех векторов не превосходит n – 2k.

989. Найдите все такие натуральные числа a, для которых число a – 1 является суммой а) двух; б) трёх делителей числа a (не обязательно различных; множеству делителей принадлежит и 1).

в*) Для любого n существует лишь конечное число таких натуральных a, что a – 1 является суммой n натуральных делителей числа a (не обязательно различных).

990. В пространстве заданы три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, у которых эти прямые

а) проходят по рёбрам?

б) проходят по рёбрам и диагоналям граней?

в) содержат 6 вершин параллелепипеда?

991. CH — высота, а CK — медиана треугольника ABC. На стороне AB выбраны точки E и F так, что величина угла ACE равна величине угла BCF; на лучи CE и CF опущены перпендикуляры AM и BN. Докажите, что точки M, H, K и N лежат на одной окружности.

992. Среди 90 выпускников одной математической гимназии у каждого не менее 10 друзей. Докажите, что любой выпускник может пригласить в гости трёх других так, что среди четырёх собравшихся у каждого будет не менее двух друзей.

993. а) Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат натурального числа.

б*) При 2 < n < 11 не существует n последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат. Докажите это.

994. При каком наибольшем k неравенство a⁴ + b⁴ + c⁴ + abc(a + b + c) ³ k(ab + bc + ca)² верно при всех значениях a, b и c?

995. Функция f определена и непрерывна на всём множестве вещественных чисел и удовлетворяет равенству f (f (x)) = f (x) + x для любого x. а) Найдите две такие функции f. б) Других таких функций нет. Докажите это.

996. Два одинаковых квадрата в пересечении образуют восьмиугольник. Стороны одного квадрата синие, другого — красные. Докажите равенство суммы длин синих сторон восьмиугольника сумме длин его красных сторон.

997. Рассмотрим всевозможные произведения mn, где 1 £ m < n £ 1996. Сумма обратных величин всех этих произведений не является целым числом. Докажите это.

998*. Рассмотрим все тетраэдры AXBY, описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках A и B сумма углов пространственного четырёхугольника ABCD, то есть сумма величин углов AXB, XBY, BYA и YAX, не зависит от выбора точек X и Y.

999*. Для любого натурального числа n рассмотрим последовательность, состоящую из n положительных чисел. Для каждого натурального числа k £ n разделим k на сумму первых k чисел рассматриваемой последовательности. Разделим сумму таких частных на сумму обратных величин чисел рассматриваемой последовательности. Докажите, что частное а) меньше 4; б) меньше 2; в) может быть сколь угодно близко к 2.

1000. В дугу AВ вписана ломаная АМВ, состоящая из двух отрезков, причём АМ > МВ. Докажите, что основание перпендикуляра КН, опущенного из середины К дуги АВ на отрезок АМ, делит ломаную пополам: AН = HM + MB.

1001. В куче 1001 камень. Её произвольно делим на две кучи, подсчитываем количества камней в них и записываем произведение этих двух чисел. Затем с одной из этих куч (в которой больше одного камня) проделываем ту же операцию: делим на две и записываем произведение чисел камней в двух вновь образованных кучах. Затем ту же операцию повторяем с одной из трёх полученных куч и так далее, пока во всех кучах не станет по одному камню. Чему равна сумма 1000 записанных произведений?

1002. а*) Рассеянный математик, забыв трёхзначный код своего подъезда, нажимает кнопки с цифрами 0, 1, 2, ..., 8, 9 по одной в секунду. Дверь откроется, если три цифры кода в нужном порядке будут набраны подряд. Математик уверен, что даже в случае «крайнего невезения» (если нужная комбинация встретится последней) он сможет войти в подъезд не позже чем через 1002 секунды (то есть 16 минут 42 секунды). Прав ли он? Как действовать, чтобы попасть в дом за наименьшее время?

Ответьте на аналогичный вопрос, если б) исправны только кнопки с цифрами 1, 2 и 3, а никакие другие цифры в код не входят; в*) исправны все кнопки, но математик помнит, что все три цифры кода различны.

1003. В треугольнике ABC проведены высоты AA', BB' и CC'. Докажите равенство произведений AB' · BC' · CA', AC' · BA' · CB' и A'B' · B'C' · C'A'.

1004. Через вершину A треугольника ABC, в котором AB ≠ AC, проведём всевозможные прямые. Докажите, что

а) на каждой из них лежит не более чем одна точка M, отличная от вершины треугольника и такая, что величины углов ABM и ACM равны;

б) существует не более пяти таких прямых, на которых нет ни одной такой точки M.

1005. Клетки квадратной таблицы размером n×n, где n > 2, заполняем числами ±1 по следующим правилам:

во все граничные клетки таблицы пишем числа –1;
число, помещаемое в очередную незаполненную клетку таблицы, равно произведению ближайших к этой клетке чисел, расположенных по разные стороны от неё и лежащих или в одной строке, или в одном столбце с ней. Так делаем до тех пор, пока все клетки таблицы не будут заполнены.

а) Какое наибольшее количество +1 может получиться в таблице?

б) Какое наименьшее число +1 может получиться в таблице?

1006. Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.

а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равными?

б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвёртой части?

1007. Треугольник со сторонами a₁, b₁ и c₁ подобен треугольнику со сторонами a₂, b₂ и c₂ тогда и только тогда, когда сумма квадратных корней из произведений a₁b₁, a₂b₂ и a₃b₃ равна квадратному корню из произведения периметров этих треугольников. Докажите это.

1008. Лестница состоит из 2n + 1 ступеней. На n нижних ступенях лежит по одному камню. Двое по очереди таскают камни. Первый может переложить любой камень вверх на первую свободную ступеньку, а второй — переложить камень на одну ступеньку вниз, если она свободна. Цель первого — положить камень на верхнюю ступеньку. Может ли второй ему помешать?

1009. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает прямые ВС и СD в точках К и L соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки С, К и L, лежит на окружности, проведённой через точки В, С и D.

1010. Последовательность r₁, r₂, r₃, ... определена условиями r₁ = 2 и r_n+1 = r₁r₂...r_n +1. (Например, r₂ = 3, r₃ = 7, r₄ = 43 и r₅ = 1807.)

а) Сумма обратных величин любых нескольких членов этой последовательности меньше 1. Докажите это.

б) Пусть n натуральных чисел таковы, что сумма их обратных величин меньше 1. Докажите, что эта сумма не превышает суммы обратных величин чисел r₁, r₂, ..., r_n.

в) Известные нам доказательства опираются на следующую лемму. Если среди всех невозрастающих последовательностей α₁, α₂, ..., α_n неотрицательных вещественных чисел, сумма которых равна 1, а при любом натуральном k < n произведение первых k из них не превосходит суммы остальных n – k из них, выбрать ту, для которого величина α_n наименьшая, то α_kr_k = 1 при 1 £ k < n и α_n(r_n – 1) = 1.

1011. Для любой невозрастающей последовательности n положительных чисел a₁ ³ a₂ ³ ... ³ a_n докажите следующие неравенства:

а) a₁² – a₂² + a₃² ³ (a₁ – a₂ + a₃)²;

б) a₁² – a₂² + a₃² – a₄² ³ (a₁ – a₂ + a₃ – a₄)²;

в) a₁² – a₂² + ... + (–1)ⁿa_n–1² + (–1)ⁿ⁺¹a_n² ³ (a₁ – a₂ + ... + (–1)ⁿa_n–1 + (–1)ⁿ⁺¹a_n)².

1012. а) На плоскости можно расположить несколько непересекающихся кругов так, чтобы каждый касался ровно 5 других. Докажите это.

б) Число 5 в предыдущем пункте нельзя заменить на 6. Докажите это.

1013. На сторонах AВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно. Три параллельные прямые, проходящие через точки M, B и N, пересекают основание АС в точках К, D и L. Докажите, что площадь трапеции (или параллелограмма) KLMN не больше площади хотя бы одного из треугольников ABD и DBC.

1014. Пусть а₁, а₂, ..., а_n — попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных b, что числа а₁ + b, а₂ + b, ..., а_n + b тоже попарно взаимно просты.

1015. Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен х⁴ + х³ + х² + х + 12 = 0?

1016. Многоугольник описан около окружности с центром O. Пусть Р — центр масс многоугольника, K — центр масс его контура. Докажите, что точки Р, О и К лежат на одной прямой, причём РО = 2РК. (При определении точки Р мы рассматриваем многоугольник как однородную пластину, а при определении точки К — как контур из однородной проволоки.)

1017*. Каждой вершине правильного пятиугольника приписано некоторое целое число. Сумма всех пяти чисел положительна. Если трём последовательным вершинам приписаны числа х, y, z, причём y < 0, то эти числа заменяем соответственно на х + y, –y и z + y. Такие операции выполняются, пока хотя бы одно из пяти чисел отрицательно. Обязательно ли этот процесс закончится через конечное число шагов?

1018. Пусть A и В — соседние вершины правильного n-угольника с центром О. Треугольник ХYZ конгруэнтен треугольнику ОАВ и вначале совпадает с ним, а затем движется в плоскости n-угольника так, что точки Y и Z остаются на контуре, а X — внутри n-угольника. Какую фигуру опишет точка X, когда Y и Z совершат полный оборот по границе n-угольника?

1019. На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество узлов (точек пересечения линий сетки). Докажите, что всегда можно окрасить некоторые точки этого множества в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой линии сетки количество белых узлов отличалось от количества красных узлов не более чем на 1.

1020*. На сфере радиуса 1 проведена а) кривая, длина которой меньше π; б) замкнутая кривая, длина которой меньше 2π. Докажите существование плоскости, проходящей через центр сферы и не пересекающей проведённой кривой. (Можете считать, что кривая на сфере — это «ломаная», состоящая из дуг больших кругов.)

1987 год

1021. Альпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После ночёвки в лагере у подножия скалы он может подниматься, навешивая верёвку, со скоростью 40 метров в час, а после холодной ночёвки на скале — 30 метров в час. По готовой верёвке он поднимается со скоростью 400 метров в час. За сколько дней он может достичь вершины, если будет работать на скале (включая подъём по верёвке) 6 часов в день? (Временем спуска и других операций пренебрегите.)
1 4 6 7
8 5 3 2

1022. Первые 8 натуральных чисел можно расставить в виде таблицы из двух строк и четырёх столбцов так, что сумма чисел верхней строки равна сумме чисел нижней строки, а суммы чисел в столбцах также равны между собой. Можно ли расставить подобным образом первые а) десять; б) двенадцать натуральных чисел?

в) При каких натуральных n можно расставить таким образом числа от 1 до 2n?

1023. Среди любых ли 100 треугольников найдётся такой, который можно целиком покрыть остальными 99?

1024*. Для любых двух треугольников, вершины каждого из которых занумерованы числами от 1 до 3, разделим косинус каждого из углов первого треугольника на синус соответствующего угла второго треугольника. Докажите, что сумма этих частных не превосходит сумму котангенсов углов первого треугольника, причём равенство выполнено тогда и только тогда, когда соответствующие углы треугольников равны.

1025*. Две прямые, проведённые через одну и другую точку пересечения продолжений противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разрезают его на четыре меньших четырёхугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей стороны, можно вписать окружности, то и в исходный четырёхугольник можно вписать окружность.

1026. а) Пять равных дуг AB, BC, CD, DE и EA расположены так, что каждая делится соседними на три равные части, как изображено на рисунке. Найдите величины дуг (в градусах). б) Тот же вопрос для «розетки» из m равных дуг, каждая из которых делится соседними на три равные части.

1027. Число 1985!! + 1986!! делится на 1987. Докажите это. (Через n!! обозначаем произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n и имеющих ту же чётность, то есть n!! = n(n – 2)(n – 4) ...)

1028. а) На плоскости заданы две пересекающиеся прямые, и на них отмечено по одной точке (D и E). Постройте треугольник ABC, биссектрисы CD и AE которого лежат на данных прямых, а их основания — данные точки D и E.

б*) Если РCDE = 30°, то величина хотя бы одного из углов треугольника ABC равна 60° или 120°. Докажите это.

1029. Среди n членов арифметической прогрессии удалось выбрать k членов, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Докажите, что число n не меньше числа 2^k–1.

1030. Для выпуклого многогранника M обозначим через S(M) сумму площадей его граней, через P(M) — сумму произведений длин его рёбер на величины соответствующих им внешних углов многранника. (Внешний угол при данном ребре — это угол между перпендикулярами к граням, примыкающим к ребру, направленными во внешнюю область многогранника; сумма внешнего угла в сумме с величиной соответствующего двугранного угла равна 180°.) Если выпуклый многогранник M₁ лежит внутри выпуклого многогранника M₂, то а) S(M₁) < S(M₂); б) P(M₁) < P(M₂). Докажите эти утверждения.

1031. На плоскости дана прямая l и две точки А и В по одну сторону от неё. На прямой l выбраны точка М, сумма расстояний от которой до точек А и B минимальная, и такая точка N, что АN = ВN. Докажите, что точки А, В, М и N лежат на одной окружности.

1032. Выписаны n чисел 2, 3, ..., n + 1, их всевозможные произведения по два, по три, и так далее до произведения всех n этих чисел. Докажите, что сумма чисел, обратных всем выписанным, равна ⁿ⁄₂. (Например, ¹⁄₂ + ¹⁄₃ + ¹⁄₆ = 1 и ¹⁄₂ + ¹⁄₃ + ¹⁄₄ + ¹⁄₆ + ¹⁄₈ + ¹⁄₁₂ + ¹⁄₂₄ = 2.)

1033. Окружность отрезает от квадрата четыре криволинейных треугольника (граница каждого состоит из дуги окружности и двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к противоположным углам квадрата, в голубой цвет, два других — в красный. Докажите, что

а) суммы длин красных и голубых дуг равны;

б) суммы периметров красных и голубых криволинейных треугольников равны.

1034. Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений), а) проигрывает; б) выигрывает. Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?

1035. На отрезке [0; 1] отмечаем сначала точку x₀, а затем x₁, ..., x_n. Для каждой очередной точки x_k, где 1 £ k £ n, измеряем расстояние d_k до ближайшей к ней из ранее поставленных точек. Докажите, что сумма d₁ + d₂ + ... + d_n не превосходит суммы числа 1 и половины двоичного логарифма числа n.

1036. Существует ли невыпуклый пятиугольник, который можно разрезать на два конгруэнтных пятиугольника?

1037. Решите в натуральных числах уравнение x^y – y^x = x + y.

1038. а) Если произведение mn натуральных чисел m и n делится на 6, то прямоугольник размером m×n можно разрезать на трёхклеточные уголки. Докажите это.

При каких m и n это можно сделать так, чтобы линии раздела не вырезали ни одного прямоугольника б) размером 2×3; в) площади меньше mn?

1039. Точки A, B, C и D — вершины тетраэдра. Докажите, что а) если DA · BC = DB · CA = DC · AB, то все эти скалярные произведения равны 0;

б) если три угла между противоположными рёбрами тетраэдра равны, то они прямые.

1040*. Числа 1, 2, 3, ..., 3n произвольным образом разбиты на три группы по n чисел в каждой. Докажите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так, чтобы одно из них равнялось сумме двух других.

1041. На плоскости заданы а) четыре; б) три вершины правильного пятиугольника. С помощью двусторонней линейки восстановите его остальные вершины. (Двусторонней линейкой можно делать то же, что и обычной линейкой без делений, а также проводить прямую, параллельную данной, на расстоянии, равном ширине линейки.)

1042. В классе организуют турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учеников этого класса (из одного, двух, трёх и так далее человек, кроме команды всего класса). Докажите, что каждая команда будет соревноваться с командой, состоящей из всех остальных учеников класса.

1043. Можно ли разбить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого n числа n, n – 50 и n + 1987 принадлежали трём разным подмножествам?

1044. Из любых четырёх чисел всегда можно выбрать два таких числа x и y, что отношение числа x – y к числу 1 + xy принадлежит отрезку [0; 1].

1045*. В некотором царстве, некотором государстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решил созвать всех подданных к 7 часам вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень послал с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в свою очередь может передавать любое указание любому другому жителю, и так далее. Каждый житель до поступления указания находится у себя дома (в известном месте) и может передвигаться со скоростью 3 км/час в любом направлении. Докажите, что царь может организовать оповещение так, чтобы все жители успели прийти к началу бала.

1046. Величина угла A остроугольного треугольника ABC равна 60°. Докажите, что одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведёнными из вершин В и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.

1047. В шахматном турнире, проводимом в один круг, не менее ³⁄₄ всех сыгранных к этому моменту партий закончились вничью. Докажите, что в этот момент некоторые два участника набрали одинаковое число очков.

1048*. Один из двух играющих («начинающий») ставит коня на некоторую клетку шахматной доски размером а) 8×8; б) m×n, где m ³ n > 2. Затем игроки по очереди передвигают коня по обычным правилам (буквой «Г»), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигрывает тот, кому некуда ходить. У кого из игроков есть выигрышная стратегия — у начинающего или у его партнёра?

1049. Будем говорить, что в цилиндр Ц₁ вписан боком другой цилиндр Ц₂, если две образующие второго лежат на основаниях первого, а четыре точки окружностей основания второго — на боковой поверхности первого. Взяв цилиндр Ц₁, у которого отношение диаметра к высоте равно k, впишем в него боком (если это возможно), цилиндр Ц₂, в него впишем Ц₃, в Ц₃ — Ц₄ и так далее. При каких значениях k

а) можно вписать Ц₂, но нельзя вписать Ц₃;

б*) можно вписать Ц₁₀, но нельзя Ц₁₁;

в*) можно вписать бесконечную последовательность Ц₁, Ц₂, Ц₃, ...?

1050*. На отрезке [–1; 1] выбрано k различных точек, для каждой из которых посчитано произведение расстояний до остальных k – 1 точек и через S обозначена сумма обратных величин этих k произведений. Докажите, что а) S ³ 2 при k = 3; б) S ³ 4 при k = 4.

1051. В левый нижний угол шахматной доски поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может перепрыгнуть через любую другую фишку, симметрично отразившись от неё, если соответствующее поле свободно. Можно ли несколькими такими ходами собрать все фишки в виде квадрата 3×3 в а) левом; б) правом верхнем углу доски?

1052. Из n четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого n-угольника диагоналями, не более ⁿ⁄₂ могут оказаться описанными около окружности. Докажите это. Приведите пример восьмиугольника, у которого таких четырёхугольников четыре.

1053. В последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., где каждое число равно сумме двух предыдущих, для любого m > 3 не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел. Докажите это.

1054. Шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или в одной плоскости. Докажите это.

1055. На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих точках не менее 100 дуг, не превосходящих 120°.

1056. В каждой клетке квадратной таблицы 1987×1987 написано число, не превосходящее по модулю 1. В любом квадрате размером 2×2 сумма чисел равна 0. Докажите, что сумма всех чисел таблицы не превосходит 1987.

1057. Два игрока поочередно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие p. Правилами игры запрещено писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.

а) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p = 10, и укажите её.

б) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p = 1000.

1058. На целочисленной решетке отмечено непустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отмеченного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отмеченных узлов, чем неотмеченных. Докажите, что отмеченных узлов бесконечно много.

1059. График функции y = f (x), определённой на всей числовой прямой, переходит в себя при повороте на 90° вокруг начала координат.

а) Уравнение f (x) = x имеет ровно одно решение. Докажите это.

б) Приведите пример такой функции.

1060*. На плоскости даны две замкнутые ломаные, каждая с нечётным числом звеньев. Все прямые, содержащие звенья этих ломаных, различны, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что из каждой ломаной можно выбрать по одному звену так, чтобы они были противоположными сторонами некоторого выпуклого четырёхугольника.

1061. В стране, где больше двух городов, некоторые пары городов соединены непересекающимися дорогами. Для любых трёх городов А, В и C по этой сети дорог можно проехать из А в B, не заезжая в C. Докажите, что на всех дорогах можно установить одностороннее движение так, что из каждого города можно будет проехать в любой другой, двигаясь по установленным направлениям.

1062. а) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки D и E. Прямые BD и CE пересекаются в точке M, AM и BC — в точке P, AM и DE — в точке N. Докажите равенство PN · MA = 2 · PM · NA.

б) На рёбрах SA, SB и SC тетраэдра ABCS взяты точки D, E и F соответственно. Плоскости ABE, BCD и CAF пересекаются в точке M; прямая SM пересекает плоскости ABC и DEF в точках P и N соответственно. Докажите равенство PN · MS = 2 · PM · NS.

1063. Сколько существует целых чисел, представимых в виде разности a – a*, где a — число, записываемое в десятичной системе счисления n цифрами, а a* — число, получаемое при записи цифр числа a в обратном порядке? (Например, если a = 1917, то a – a* = 1917 – 7191 = –5724.) Найдите ответ для а) n = 4; б) n = 5; в) любого натурального n.

1064. Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая n-звенная плоская ломаная, если число n а) нечётно; б) чётно? (Предполагаем, что никакие три вершины не лежат на одной прямой и никакие три звена не пересекаются в одной точке.)

1065*. Рассмотрим векторы (x; y) с целыми неотрицательными координатами. Назовём такой вектор образующим, если |x – y| =1.

а) Рассматриваемый вектор (x; y) представим в виде суммы нескольких различных образующих (или сам является образующим) тогда и только тогда, когда величина k(x, y) = x + y – (x – y)² неотрицательна. Докажите это.

б) Количество n(x, y) различных (с точностью до порядка слагаемых) представлений вектора (x; y) в виде суммы образующих (быть может, состоящей из единственного слагаемого) зависит только от k(x, y). Докажите это; найдите n(13, 18).

1066. Шесть точек расположены на плоскости так, что все пятнадцать расстояний между ними не больше 1. Докажите, что из них можно выбрать три точки, все расстояния между которыми строго меньше 1.

1067.Для любых неотрицательных чисел x, y и z, сумма квадратов которых равна 1, сумма частного от деления числа x на 1 – x², частного от деления y на 1 – y² и частного от деления z на 1 – z² не меньше полтора квадратных корней из 3. Докажите это.

1068. Дан угол АОВ (А и В — точки на сторонах угла). Постройте прямую l, проходящую через вершину О так, чтобы площади треугольников АОС и ВОD, где С и D — основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на прямую l, были равны.

1069. В некотором городе разрешены только парные обмены квартирами. Если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не участвуют в других обменах. Докажите, что любой сложный обмен квартирами нескольких семей можно осуществить за два дня. (Предполагаем, что и до, и после обмена каждая семья живёт в отдельной квартире.)

1070. Тетраэдр пересечён тремя плоскостями, каждая из которых параллельна двум его противоположным рёбрам и одинаково удалена от них. Докажите, что сумма квадратов площадей этих трёх сечений в 4 раза меньше суммы квадратов площадей граней тетраэдра.

1071. На доске нарисовано поле для игры «в цифры»: (((((((((_*_)*_)*_)*_)*_)*_)*_)*_)*_). Двое играющих ходят по очереди. Первый игрок начальным ходом записывает на месте первого (самого левого) пробела (_) какую-нибудь цифру. Каждый дальнейший ход состоит в том, чтобы записать цифру на месте очередного пробела и заменить стоящую слева звёздочку (*) на знак сложения или умножения. При этом ни одна цифра не должна встретиться дважды. В конце игры вычисляют значение полученного выражения. Если это число чётное, то выигрывает первый игрок, нечётное — второй. Кто выигрывает при правильной игре?

1072. Разложите на простые множители число 989 · 1001 · 1007 + 320.

1073. Из точки O все стороны шестиугольника A₁A₂A₃A₄A₅A₅ видны под углом 60°, причём OA₁ > OA₃ > OA₅ и OA₂ > OA₄ > OA₆. Докажите неравенство A₁A₂ + A₃A₄ + A₅A₆ < A₂A₃ + A₄A₅ + A₆A₁.

1074. Дана стопка из 2n + 1 карточек, с которой разрешено производить следующие две операции:

сверху снимаем часть карточек и перекладываем вниз с сохранением порядка;
верхние n карточек с сохранением порядка выкладываем в n промежутков между нижними n + 1 карточками.

Докажите, что с помощью указанных операций из исходного расположения карточек в стопке нельзя получить более 2n(2n + 1) расположений карточек.

1075. Найдите наибольшее натуральное число, в десятичной записи которого каждая некрайняя цифра меньше полусуммы двух соседних с ней цифр.

1076. Биссектриса угла А остроугольного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке L, а описанную окружность треугольника — в точке N, отличной от А. Точки К и М — основания перпендикуляров, опущенных из L на стороны АВ и AС. Докажите равенство площадей четырёхугольника АКNМ и треугольника АВС.

1077. Обозначим через p_k(n) количество перестановок n–элементного множества, имеющих ровно k неподвижных точек. Докажите, что n! равно сумме произведений вида а) k · p_k(n) = n!; б) (k – 1)² · p_k(n) = n!, где 0 £ k £ n.

1078. Функция f определена на множестве всех неотрицательных целых чисел и принимает значения в этом множестве. Докажите, что равенство f (f (n)) = n + 1987 не выполнено хотя бы для одного неотрицательного целого числа n.

1079. При каких n > 2 можно расположить на плоскости n точек так, чтобы расстояние между любыми двумя выражалось иррациональным число, а площадь треугольника с вершинами в любых трёх — рациональным числом (отличным от нуля)?

1080. q — натуральное число. Докажите, что если число k² + k + q простое для любого целого неотрицательного k, утроенный квадрат которого не превосходит числа q, то число k² + k + q простое для любого целого неотрицательного k, меньшего числа q – 1.

1988 год

1081. Предпоследняя цифра десятичной записи числа 3ⁿ для любого натурального n > 2 чётна. Докажите это.

1082. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что сумма AB² + BС² + CD² + DA² вдвое превышает сумму AO² + BO² + CO² + DO² тогда и только тогда, когда диагонали АС и ВD перпендикулярны или одна из них делится точкой О пополам.

1083. Наибольшее из неотрицательных чисел a₁, a₂, ..., a_n равно a. а) Докажите, что среднее арифметическое квадратов чисел a₁, a₂, ..., a_n не превосходит квадрата суммы этих чисел, к которому прибавлена четверть квадрата числа a.

б) Когда достигается равенство?

1084. Две окружности на плоскости пересекаются в точках A и B. Докажите существование такой точки C, отличной от точки B, что любая окружность с хордой AC будет пересекать данные окружности (второй раз) в точках, одинаково удалённых от C.

1085*. Несколько попарно скрещивающихся прямых, расположенных в пространстве, спроецировали на горизонтальную плоскость. Их проекции изображены так, чтобы в точках пересечения было видно, какая точка расположена выше, а какая ниже. Могла ли получиться проекция, изображённая на рисунке?

1086. С числом разрешено производить две операции: «увеличить вдвое» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить а) 100; б) n, если сумма цифр двоичной записи числа n равна s?

1087. Рассмотрим треугольник АВС, точку М в плоскости этого треугольника и проекции А₁, В₁ и С₁ точки М на высоты, проведённые из вершин А, В и С соответственно. Докажите, что

а) существует одна и только одна точка М, для которой отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ равны;

б) для такой точки М длины отрезков АА₁, ВВ₁ и СС₁ равны диаметру вписанной в треугольник окружности.

1088. Если pq + qr + pr = 1, причём числа p, q и r рациональные, то число (1 + p²)(1 + q²)(1 + r²) — квадрат рационального числа. Докажите это.

1089. Диагонали выпуклого четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О. Пусть K, L, M и N — центры окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС, СОD и DOA. Докажите, что произведение периметров четырёхугольников АВСD и KLMN не меньше учетверённой площади четырёхугольника АВСD.

1090. Для любых положительных чисел a, b и c сумма квадратных корней из чисел a² –ab + b² и b² –bc + c² не меньше квадратного корня из числа a² +aс + с². Докажите это.

1091. Назовём натуральное число удачным, если цифры в его десятичной записи можно разбить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны.

а) Найдите наименьшее такое число a, что числа a и (a + 1) — удачные.

б) Существует ли такое a, что числа a, a + 1 и (a + 2) — удачные?

1092. Вырезанный из бумаги выпуклый многоугольник 10 раз сложили, перегибая каждый раз по какой-нибудь прямой, и затем разрезали по некоторой прямой. Какое наибольшее число кусков могло получиться?

1093. На окружности в n точках расставлены числа 1, 2 и 3. Затем одновременно во всех точках производится следующее преобразование: каждое число 2 заменяем на 0, а затем к следующему за ним по часовой стрелке числу прибавляем 1. Пусть вначале на окружности k двоек, где k > 1.

а) Через какое количество преобразований заведомо не останется ни одной двойки?

б) Пусть, кроме того, в n – k остальных точках вначале стояли единицы. Докажите, что в конце концов останется k единиц и n – k нулей.

1094. a, b и c — неотрицательные числа.

а) Из неравенства a⁴ + b⁴ + c⁴ £ 2(a²b² + b²c² + c²a²) следует неравенство a² + b² + c² £ 2(ab + bc + ca). Докажите это.

б) Верно ли обратное, то есть следует ли из второго неравенства первое?

1095. На плоскости задана окружность с центром в точке O и две точки A и B (отличные от O) такие, что прямая AB проходит через точку O. Постройте хорду MN этой окружности, видную из точки A под углом α и а) параллельную прямой AB; б) проходящую через точку B (если B лежит вне окружности, то через B должно проходить продолжение хорды MN).

1096. Диаметр d окружности разбит на k равных частей, и через каждую точку деления проведена хорда, перпендикулярная диаметру. Докажите, что сумма длин всех проведённых хорд не меньше 0,5 · kd и не больше 0,8 · kd.

1097. Координаты вершин равнобедренного треугольника — целые числа. Докажите, что квадрат длины основания — чётное число.

1098. На окружности расставлены n точек, занумерованных подряд числами 1, 2, ..., n. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит хорду, соединяющую две точки с номерами одной чётности. Никакая хорда не должна иметь общих точек (даже концов) с проведёнными ранее. Побеждает тот, кто делает последний ход. При каждом n = 4, 5, 6, ... выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию: начинающий или его партнёр.

1099*. В отряде, ведущем подготовку к полёту на Марс, 6783 космонавта. Среди любых четырёх из них можно выбрать троих, составляющих слаженный экипаж для посадочного модуля. Докажите, что можно выбрать 5 космонавтов, любые трое из которых составляют слаженный экипаж.

1100. На берегу прямолинейной реки лежат брёвна (не пересекающие друг друга отрезки; их конечное число). Каждое бревно составляет с линией берега угол, величина которого меньше 45°. Докажите, что для любого расположения брёвен существует бревно, которое можно закатить в реку, не задевая остальных. Поворачивать бревно при качении нельзя.

1101. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC нашлись такие точки D и E соответственно, что AD = BC = EC и треугольник ADE равнобедренный. Каким может быть угол при вершине A?

1102. Существуют n различных натуральных чисел, сумма кубов которых равна кубу натурального числа, если а) n = 3; б) n = 4; в) n — любое натуральное число, большее 2. Докажите это.

1103. а) На бесконечной плоскости, разбитой на квадратные клетки, некоторые — быть может бесконечное — количество прямоугольников размером 1×2 закрашены в чёрный цвет так, что никакие два чёрных прямоугольника не имеют общих точек (даже вершин). Докажите, что оставшуюся часть плоскости можно замостить этими прямоугольниками.

б*) Пусть на клетчатой плоскости закрашены несколько прямоугольников размером m×n, не имеющих общих точек. Докажите, что если mn чётно, то оставшуюся часть плоскости можно замостить прямоугольниками размером 1×2, а если m и n нечётны, то это не всегда возможно.

1104. Грани ABC и BCD тетраэдра ABCD перпендикулярны, а угол BAC прямой. Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведениям длин противоположных рёбер тетраэдра, можно составить прямоугольный треугольник.

1105. После нескольких прямолинейных разрезов поверхность выпуклого многогранника развернули на плоскости. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», то есть отвечают одной и той же точке на поверхности многогранника. Каким был исходный многогранник, если при разрезании получился а) прямоугольник со сторонами 1 и квадратный корень из 3; б) равнобедренный треугольник с углом величиной 120°, причём в обоих случаях склеиваются точки каждой стороны, симметричные относительно её середины?

1106. Каждая из трёх прямых, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

1107. a, b и c — длины сторон треугольника. Докажите, что удвоенная сумма частных ^a⁄_b, ^b⁄_c и ^c⁄_a не меньше суммы числа 3 и суммы частных ^b⁄_a, ^c⁄_b и ^a⁄_c.

1108. В выпуклом n-угольнике, где n > 3, никакие три диагонали не проходят через одну точку внутри многоугольника. Какое наибольшее число диагоналей в нём можно провести так, чтобы все части, на которые они разобьют n-угольник, были треугольниками?

1109. В одном старом задачнике по геометрии есть такая задача: вычислить длину стороны правильного треугольника, вписанного в параболу y = x². В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. Верно ли такое указание? Может ли длина стороны правильного треугольника, вписанного в эту параболу, быть равной а) 3; б) 1988?

1110. Для каждого натурального n > 1 выпишем наибольшие общие делители всевозможных пар различных чисел от 1 до n. Докажите, что а) среднее арифметическое всех n(n – 1)/2 выписанных чисел неограниченно растёт с ростом n, но не превосходит 1 + ln n; б) их среднее геометрическое не превосходит 10 ни при каком n.

1111. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. Касательные к ней, проведённые в точках A и C, пересекают касательную, проведённую в точке B, в точках M и N соответственно. В треугольнике ABC из вершины P на сторону AC опущена высота BP. Докажите, что прямая BP делит угол MNP пополам.

1112. На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа a и b, то можно написать ещё и число ab + a + b. Можно ли так получить число а) 13 121; б) 12 131?

Существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде в) x + y + xy; г) x + y + 2xy с натуральными x и y. Докажите это.

1113*. В стране 21 город. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждая из которых обслуживает 10 беспосадочных авиалиний, связывающих попарно некоторые пять городов (при этом между двумя городами могут летать самолеты нескольких компаний). Каждые два города связаны по крайней мере одной беспосадочной авиалинией. При каком наименьшем количестве авиакомпаний это возможно?

1114. Произведение диаметра вписанного шара любого тетраэдра на сумму длин любых двух его скрещивающихся рёбер меньше произведения длин этих двух рёбер. Докажите это.

1115*. а) В первой строке написаны 19 натуральных чисел, не превосходящих 88, а во второй строке — 88 натуральных чисел, не превосходящих 19. Назовём отрезком одно или несколько подряд написанных чисел одной строки. Докажите, что из данных строк можно выбрать по отрезку так, что суммы чисел в них равны.

б) Пусть n, m, k — натуральные числа. Докажите, что если 1 + 2 + ... + n = mk, то числа 1, 2, ..., n можно разбить на k групп так, чтобы суммы чисел в каждой группе были равны m.

1116. Какое наибольшее число узлов клетчатой бумаги может содержать прямоугольник площадью а) 36; б) S, стороны которого идут по линиям сетки? (Считаем узлы, лежащие внутри и на границе прямоугольника. Площадь клетки считайте равной 1.)

1117. а) Для произвольного треугольника существуют три окружности с центрами в его вершинах, попарно касающиеся друг друга.

б) Обозначим точки касания буквами K, L и M, как показано на рисунке. Если через середины дуг KL, LM и MK, лежащие внутри треугольника, провести касательные, то образуются четыре треугольника, площадь одного из которых (центрального) равна сумме площадей трёх других. Докажите это.

1118. а) Уравнение (x + y + z)² = x² + y² + z² имеет бесконечно много решений в целых числах. Докажите это.

б) Сколько имеется решений, где z = 1988?

1119. При каких k > 2 верно следующее утверждение: для любых k точек плоскости общего положения (никакие три из которых не лежат на одной прямой) существует k-звезда, в каждом из k углов которой содержится ровно одна из этих k точек?

1120. а) P(x) — многочлен с целыми коэффициентами, причём для любого неотрицательного x величина P(x) положительна. Последовательность a₁, a₂, a₃,... задана соотношениями a₁ = P(0) и a_n+1 = P(a_n) для каждого натурального n. Докажите для любых натуральных чисел m и k равенство НОД(a_m, a_k) = a_{НОД(m, k)}.

б) Докажите аналогичное утверждение для последовательности Фибоначчи, заданной двумя первыми членами φ₁ = 1, φ₂ = 1 и формулой φ_n+2 = φ_n+1 + φ_n, где n — любое натуральное число.

1121. Дан треугольник ABC. Прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке К. Докажите, что прямая BK проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

1122. Решите систему уравнений (x₃ + x₄ + x₅)⁵ = 3x₁, (x₄ + x₅ + x₁)⁵ = 3x₂, (x₅ + x₁ + x₂)⁵ = 3x₃, (x₁ + x₂ + x₃)⁵ = 3x₄, (x₂ + x₃ + x₄)⁵ = 3x₅.

1123. Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла («вертикальные» и «горизонтальные» ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы как каждый вертикальный, так и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

1124. Боковые стороны, диагонали и продолжения оснований трапеции пересекают некоторую прямую в шести точках, то есть высекают на ней пять отрезков.

а) Докажите, что если крайние (первый и пятый) отрезки равны, то соседние с ними (второй и четвёртый) также равны.

б) При каком отношении оснований трапеции можно провести прямую так, чтобы все пять отрезков были равны?

1125. Рассмотрим последовательность слов, состоящую из букв A и В. Первое слово в последовательности — А; k-е слово получается из (k – 1)-го с помощью следующей операции: каждую букву А заменяем на ААВ, каждую букву В — на А:

А,

ААВ,

ААВААВА,

ААВААВАААВААВАААВ,

ААВААВАААВААВАААВААВААВАААВААВАААВААВААВА,

.........................................................................................................................

а) Докажите, что каждое слово является началом следующего и тем самым определена бесконечная последовательность букв ААВААВАААВААВАААВ...

б*) На каком месте в этой последовательности встретится 1988-я буква А?

в*) Эта последовательность непериодическая. Докажите это.

1126. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD выбраны точки K и M. Докажите, что если РBAM = РCDK, то РBMA = РCKD.

1127. Микрокалькулятор «Чебурашка» умеет складывать, вычитать и находить по данному числу x обратное число ¹⁄_x. Можно ли с помощью этого микрокалькулятора получить единицу, имея исходным числом а) сумму числа 88 и квадратного корня из 19; б) корень 19-й степени из 88; в) сумму квадратных корней из 19 и 88? (Вводить в микрокалькулятор числа, отличные от исходного или полученных в результате вычислений на нём, запрещено.)

1128. На шахматной доске расставлено несколько фишек. За один ход одна из фишек передвигается на соседнее (по горизонтали или вертикали) свободное поле. После нескольких ходов оказалось, что каждая фишка побывала на всех полях ровно по одному разу и вернулась на исходное поле. Докажите, что был момент, когда ни одна фишка не стояла на своём исходном поле.

1129*. В лесу барона Мюнхгаузена растут ёлки и берёзы. Барон утверждает, что на расстоянии ровно 1 км от каждой ёлки растёт в точности 10 берёз, причём ёлок в его лесу больше, чем берёз. Может ли это быть?

1130. Длину каждой стороны выпуклого многоугольника разделим на длину его проекции на прямую, которой принадлежит эта сторона. Докажите, что сумма полученных частных не меньше числа 2 и не больше числа 4.

1131. Пусть n — натуральное число, A₁, A₂, ..., A_2n+1 — подмножества некоторого множества B, каждое из которых состоит из 2n элементов. Пусть пересечение любых двух из множеств A₁, A₂, ..., A_2n+1 состоит ровно из одного элемента, причём каждый элемент множества B принадлежит не менее чем двум из этих подмножеств. Для каких n можно утверждать, что некоторые элементы множества B можно пометить так, чтобы каждое из подмножеств A₁, A₂, ..., A_2n+1 содержало ровно n помеченных элементов?

1132. Функция f определена на множестве натуральных чисел и удовлетворяет следующим условиям: f (1) = 1, f (3) = 3, f (2n) = f (n), f (4n + 1) = 2f (2n + 1) – f (2n), f (4n + 3) = 3f (2n + 1) – 2f (2n) для любого натурального n. Сколько среди первых 1988 натуральных чисел n таких, что f (n) = n?

1133. Множество таких чисел x, для которых сумма 70 выражений, k-е из которых, где k = 1, 2, 3, ..., 69, 70, получена делением числа k на число x – k, является объединением непересекающихся промежутков, сумма длин которых равна 1988. Докажите это.

1134. Пусть CD — высота прямоугольного треугольника ABC, угол C которого прямой. Прямая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD, пересекает стороны AC и BC в точках K и L соответственно. Докажите, что площадь треугольника KLC не превышает половину площади треугольника ABC.

1135. a и b — такие натуральные числа, что a² + b² делится на ab + 1. Докажите, что частное — квадрат целого числа.

1136. Для любых положительных чисел A, M, S сумма числа 3, чисел A, M, S и чисел, обратных к числам A, M, S, не меньше утроенного частного от деления произведения (A + 1)(B + 1)(C + 1) на сумму AMS + 1. Докажите это.

1137. В выпуклом n-угольнике все углы равны; из некоторой точки, расположенной внутри этого n-угольника, все его стороны видны под равными углами. Докажите, что n-угольник — правильный.

1138*. Для любого натурального n между числами n² и n² + n + 3n^{1 ⁄ 2} есть три натуральных числа, произведение двух из которых делится на третье. Докажите это.

1139. а) Поверхность выпуклого многогранника можно разрезать на несколько квадратов. Докажите, что у этого многогранника не больше 8 вершин.

б) Какое наибольшее число вершин может иметь выпуклый многогранник, поверхность которого можно разрезать на правильные треугольники?

1140. Нарисуем на плоскости одну или несколько пересекающихся кривых (эти кривые могут иметь точки самопересечения, как показано на рисунке). В каждой точке пересечения можно двумя способами выполнить «перестройку». Если проделать перестройку во всех точках пересечения, то получится несколько непересекающихся кривых.

а) Докажите, что число непересекающихся кривых, которые могут получиться, не больше числа областей, на которые делили плоскость исходные кривые (на рисунке 7 таких областей).

б) Всегда ли можно сделать перестройки так, чтобы в результате получалась одна кривая?

в) Выберем на каждой кривой направление обхода и будем производить перестройки в соответствии с этими направлениями так, чтобы стрелки «отталкивались» друг от друга. Может ли в результате получиться одна кривая?

1989 год

1141. Трапеция описана около окружности. Докажите, что хотя бы одна из её диагоналей образует с основанием угол, величина которого не больше 45°.

1142. Таблица m×n заполнена числами так, что в каждой строке и в каждом столбце эти числа составляют арифметическую прогрессию. Сумма четырёх чисел, стоящих в углах таблицы, равна s. Чему равна сумма всех чисел таблицы?

1143. Масса каждой из 101 гирьки, расположенных по окружности — натуральное число, а сумма их масс равна 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну гирьку или несколько гирек, расположенных подряд, сумма масс которых равна 200 г.

1144. Дано несколько неотрицательных чисел, не все из которых равны друг другу. Что больше: корень 1988-й степени из суммы их 1988-х степеней или корень 1989-й степени из суммы их 1989-х степеней?

1145*. Из точки P проведены две касательные PB и PC к окружности, причём угол BPC тупой. На меньшей дуге BC взята точка A. Докажите, что площадь треугольника, отсекаемого от угла BPC касательной к окружности, проведённой в точке A, не превосходит площади треугольника ABC.

1146. Точка K — середина стороны AB равностороннего треугольника ABC. На сторонах AC и BC взяты точки M и N так, что величина угла MKN равна 60°. Докажите, что периметр треугольника MCN равен половине периметра треугольника ABC.

1147. Задано несколько точек, соединённых отрезками двух цветов: некоторые пары точек — голубыми отрезками, некоторые другие — красными. В любом замкнутом пути, состоящем из нескольких отрезков, число красных отрезков чётно. Докажите, что все точки можно разбить на два множества так, что каждый красный отрезок соединяет точки из разных множеств, а каждый голубой — точки из одного и того же множества.

1148. Для любого натурального n и любого числа a > 1, ни для каких натуральных чисел s и r не равного корню s-й степени из r, обозначим k = [log_a n]. Докажите, что сумма суммы логарифмов по основанию a первых n натуральных чисел и суммы целых частей чисел a, a², ..., a^k равна kn.

1149. На плоскости заданы два луча p и q с вершинами в точках P и Q соответственно. Две окружности — одна с центром на луче p, проходящая через точку P, и другая — с центром на луче q, проходящая через Q,— касаются друг друга в точке M внешним образом. Найдите множество точек M.

1150. По кругу выписано несколько положительных чисел. Докажите, что частное от деления квадрата их суммы на удвоенную сумму их квадратов не больше суммы частных от деления каждого из них на сумму двух следующих за ним по часовой стрелке.

1151. Для каждого натурального числа n а) докажите, что сумма частных от деления произведения (k + 1)! · k на 2^k, где 0 < k £ n, равна разности между частным от деления числа (n + 2)! на 2ⁿ и числом 2; б) вычислите сумму частных от деления произведения (k + 2)! · k на 3^k, где 0 < k £ n.

1152. h и l — длины высоты и биссектрисы треугольника, проведённых из одной вершины треугольника, R и r — радиусы его описанной и вписанной окружностей. Докажите, что h²R не меньше числа 2l²r.

1153. Какое наибольшее число поворотов может содержать замкнутый маршрут ладьи, обходящей по одному все клетки шахматной доски размером 8×8?

1154*. Если четырёхугольник вписан в окружность и описан около другой окружности, то прямая, проведённая через центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите это.

1155. Точка движется внутри треугольника, отражаясь от его сторон по закону «угол падения равен углу отражения».

а) Докажите, что ни в одном треугольнике нет четырёхзвенной периодической траектории. На рисунке показаны синяя траектория периода 3 и зелёная — периода 6. Периодической траекторией называем замкнутую ломаную, которая не проходит ни через одну из вершин треугольника и является траекторией периодического движения некоторой точки.

Существует ли остроугольный треугольник, внутри которого есть периодическая траектория из б) 5; в) 7 звеньев?

1156. Восемь хоккейных команд соревнуются между собой за выход в финальную четвёрку. Каждые две команды встречаются один раз, за выигрыш дают два очка, за ничью — одно, за проигрыш — 0 очков. Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четвёрку?

1157. Три треугольника — белый, красный и зелёный — имеют общую внутреннюю точку М. Докажите, что можно выбрать по одной вершине каждого треугольника так, чтобы точка М находилась внутри или на границе треугольника с вершинами в выбранных точках трёх разных цветов.

1158. Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z), если x, y, z — положительные числа и xyz(x + y + z) = 1.

1159. С помощью двусторонней линейки постройте угол величиной 30°. Разрешены следующие операции:

проведение прямой через две точки,
проведение прямой, параллельной данной, на расстоянии, равном ширине линейки.

1160. У одного конца A прямолинейной дороги АВ собрались 10 кенгуру и начали играть в чехарду. Они прыгают по очереди: первый каждый раз прыгает, куда хочет; второй прыгает через первого так, чтобы первый оказался точно посередине между началом и концом прыжка, третий точно так же прыгает через второго и так далее, десятый прыгает через девятого, затем начинается новая серия прыжков по тем же правилам.

а) Могут ли через 10 серий прыжков все кенгуру собраться в точке B?

б) Могут ли они собраться там раньше?

1161. В бильярдном треугольнике вплотную помещается 10 шаров. Докажите, что если в нём поместить 9 шаров, то обязательно останется место для десятого (то есть центры 9 шаров расположатся по треугольной сетке).

1162. Решите в целых числах уравнение x³ – 13xy + y³ = 13.

1163. Черепаха вышла из точка A и пришла в точку В, двигаясь по произвольной траектории с произвольной скоростью. Вслед за ней из точки A вышла вторая черепаха, которая в каждый момент двигалась в направлении первой (с произвольной скоростью) и в конце концов также пришла в точку B. Докажите, что путь, пройденный второй черепахой (к моменту прихода обеих в В), не превосходит пути первой.

1164. Натуральное число n называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, меньших n (например, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14). Докажите, что нечётное совершенное число (если такое существует) не может одновременно делиться на 3, 5 и 7.

1165. Квадрат со стороной длины n, расположенный произвольным образом на листе клетчатой бумаги с клетками размера 1×1, не может покрыть более (n + 1)² узлов сетки. Докажите это.

1166. Если a, b, c — стороны треугольника и p + q + r = 0, то a²pq + b²qr + c²rp £ 0. Докажите это.

1167. Сколько существует перестановок чисел 1, 2, ..., n, в которых для любого числа k, стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел k – 1 и k + 1 находится левее k?

1168*. В стране 1 989 городов и 4 000 дорог (каждая дорога соединяет два города). Докажите существование кольцевого маршрута, проходящего не более чем через 20 городов.

1169. Точка M лежит внутри прямоугольника ABCD. Докажите, что площадь этого прямоугольника не превосходит величины AM · CM + BM · DM.

1170. Рассмотрим разбиения данного выпуклого n-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Назовем перестройкой следующее преобразование: вместо некоторой диагонали BC, служащей общей стороной двух треугольников ABC и BCD разбиения, проводится диагональ AD. Обозначим через P(n) наименьшее число перестроек, за которое можно любое разбиение перевести в любое другое. Докажите оценки: а) P(n) > n – 4; б) P(n) < 2n – 6; в*) P(n) < 2n – 9 при n > 12.

1171. Число 2 больше суммы любых нескольких чисел, обратных к числам вида nH_n², где H_n — сумма чисел, обратных первым n натуральным числам. Докажите это.

1172. Какой наибольший угол могут составлять между собой отрезки OA и OB, выходящие из начала O прямоугольной системы координат в пространстве, если точка A имеет координаты (x; y; z), а точка B — координаты (y; z; x),?

1173. Через точку, расположенную внутри треугольника площади S, проведены три прямые так, что каждую сторону треугольника пересекают две из них. Докажите, что площади S₁, S₂ и S₃ трёх образовавшихся при этом треугольников таковы, что сумма их обратных величин не превосходит удевятерённой обратной величины числа S.

1174. Рассмотрим последовательность, заданную тремя первыми членами a₁ = 1, a₂ = 12, a₃ = 20 и формулой a_n+3 = 2a_n+2 + 2a_n+1 – a_n, где n — натуральное число. Докажите для любого натурального n, что 1 + 4a_na_n+1 — квадрат натурального числа.

1175*. При каких натуральных n верно следующее утверждение: как бы ни были разложены на плоскости несколько непересекающихся правильных n-угольников, один из них можно выдвинуть по некоторому направлению, не задевая остальных? (Поворачивать n-угольник нельзя: лучи, выходящие из точек выбранного n-угольника в нужном направлении, не должны задевать остальных n-угольников.)

1176. Квадраты AKBM и CNDL расположены на плоскости так, что ABCD — выпуклый четырёхугольник, внутри которого лежат точки K и L. Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD равна (MN² – KL²) ⁄ 4.

1177. Для любых положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, не превосходящих 1, произведение (1 + x₁)^x₂(1 + x₂)^x₃ ... (1 + x_n)^x₁ не меньше числа 2ⁿ. Докажите это.

1178. а) Удвоенная сумма радиусов вписанной и описанной окружностей нетупоугольного треугольника не превосходит квадратного корня из суммы квадратов его сторон. Докажите это.

б) Для каких треугольников неравенство обращается в равенство?

1179. Найдите a₁₀₀₀, если a₁ = 0 и а) a_n+1(n + 1) = n(a_n + 1); б) a_n+1(n + 2)(n + 3) = n(n + 1)(a_n + 1); в) a_n+1(n + 3)(n + 4)(n + 5) = n(n + 1)(n + 2)(a_n + 1).

1180. На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки A и B, на другой — C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфер. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую AC равны.

1181. На шахматной доске расставлено 8 фигур так, что в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду клеток стоит по одной фигуре. Докажите, что на чёрных клетках шахматной доски стоит чётное число фигур.

1182. В некоторой роще было s скворечников, причём все расстояния между скворечниками различны. В каждом из них жило по скворцу. В какой-то момент некоторые из них покинули свои скворечники и перелетели в другие, так что снова в каждом скворечнике оказалось по скворцу. При этом, если расстояние между какой-то парой скворцов было меньше расстояния между другой парой (один скворец может засчитываться в разных парах), то после перелёта расстояние между первой парой скворцов оказалось больше расстояния между второй парой. При каких s это возможно?

1183. Каждый из семи мальчиков в воскресенье 3 раза подходил к киоску мороженого. Каждые два из них встретились около киоска. Докажите, что в некоторый момент там встретились одновременно трое мальчиков.

1184. На всех шести рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах, выходящих из одной вершины, проведём плоскость. Докажите, что если три из них касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость тоже касается вписанного шара.

1185. Придумайте положительные числа x₁, x₂, ..., x_n, удовлетворяющие для любого k = 1, 2, ..., n равенству (x₁ + ... + x_k)(x_k + ... + x_n) = 1, если а) n = 3; б) n = 4; в*) n = 10.

г*) Докажите, что эта система уравнений при любом натуральном n имеет единственное решение в положительных числах.

1186. Будем говорить, что два четырёхугольника — бумажный и картонный — подходят друг к другу, если картонный можно наложить на бумажный так, что все его вершины попадут на стороны бумажного (по одной на каждую) и при этом, если перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный четырёхугольник, то они закроют весь его в один слой. Докажите, что если

а) четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны, либо диагонали перпендикулярны.

б) бумажный четырёхугольник — параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный.

1187. Для любого чётного m первые (m – 1) натуральных чисел можно выписать в таком порядке, чтобы никакая сумма нескольких подряд чисел не делилась на m. Докажите это.

1188. а) Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превосходящими 100. Докажите, что среди них существуют три прямоугольника, первый из которых можно поместить во второй, а второй — в третий.

б) Среди 1989 прямоугольников с целыми сторонами, не превосходящими 100, есть 40 таких прямоугольников, что первый можно поместить во второй, второй — в третий, ..., 39-й — в 40-й.

1189*. На плоскости дано n прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что в каждой из частей, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно так поставить целое число, отличное от 0 и не превосходящее по модулю n, что по любую сторону от любой из этих прямых сумма чисел равна 0.

1190*. а) Если в таблице размером n×n клеток стоят 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n строк и n столбцов так, что все звёздочки будут вычеркнуты. Докажите это.

б) Расставьте в этой таблице 3n + 1 звёздочку так, что после вычёркивания любых n строк и n столбцов останется по крайней мере одна звёздочка.

1191. Пусть A₀, A₁, A₂, ... — последовательность точек плоскости. Начав с некоторой точки T₀, построим последовательность T₁, T₂, T₃, ..., где T_n — точка, симметричная T_n–1 относительно точки A_n. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять последовательность A₀, A₁, A₂, ..., чтобы при любом выборе точки T₀ последовательность T₁, T₂, T₃, ... была периодической?

1192. Все рёбра многогранника равны между собой по длине и касаются некоторого шара.

а) Пусть одна из его граней имеет нечётное число сторон. Докажите, что существует описанный вокруг этого многогранника шар.

б) Обязательно ли при условиях пункта а) существует вписанный в этот многогранник шар?

в) Пусть все грани этого многогранника имеют одинаковое число сторон. Докажите, что существует вписанный в него шар.

г) Обязательно ли при условиях пункта в) существует описанный шар?

1193. Сумма квадратного корня из числа (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) и суммы ax + by + cz не меньше двух третьих произведения (a + b + c)(x + y + z). Докажите это.

1194. Из точки M, расположенной внутри прямоугольника ABCD, проведены биссектрисы ME, MF, MG и MH треугольников AMB, BMC, CMD и DMA соответственно.

а) Докажите, что отношение площади четырёхугольника EFGH к площади прямоугольника ABCD не меньше ³⁄₈ и не больше ¹⁄₂.

б) Для каких точек M верно равенство S_ABCD = 2S_EFGH?

1195. Последовательность x₁, x₂, x₃, ... такова, что для любых натуральных чисел m и n число x_m+n отличается от суммы чисел x_m и x_n не более чем на число, обратное сумме m + n. Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия.

1196. Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешено стереть любые два числа a и b и записать вместо них числа a + ^b⁄₂ и b – ^a⁄₂. Докажите, что сколько бы таких операций ни сделать, исходный набор чисел не получим.

1197. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AB и BC треугольника ABC. Отрезки CM и AN пересекаются в точке O. Докажите, что если AM + AN = CM + CN, то AO + AB = CO + CB.

1198. Назовём словом строчку из 10 цифр 0 и 1. Два слова считаем синонимами, если одно можно получить из другого несколькими операциями следующего вида: из слова вычёркиваем несколько подряд идущих цифр, сумма которых чётна, и на их место вписываем те же цифры, но в обратном порядке. Каково максимальное число слов, среди которых нет синонимов?

1199*. Если многочлен ax² + (c – b)x + e – d имеет хотя бы один корень x > 1, то многочлен ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e имеет хотя бы один корень. Докажите это.

1200*. Для каких k можно расположить на окружности а) 10; б) 100; в) n дуг так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с k другими?

1990 год

1201. В парламент Анчурии нужно избрать по одному депутату от каждого из 999 округов с одинаковым числом избирателей. В Анчурии созданы три партии A, B, C, выдвигающие своих кандидатов. Партию A поддерживает всего 15% избирателей, B — 30%, C — 55%. Если на первом туре выборов в округе ни один из кандидатов не набирает 50% голосов, то во второй тур проходят двое, набравшие наибольшее число голосов. Во втором туре партии A и B договорились поддерживать друг друга, а сторонники партии C голосуют за кандидата партии A. Какое наибольшее и какое наименьшее число кандидатов от каждой из партий может попасть в парламент?

1202. Из вершины A квадрата ABCD внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры BK, BL, DM и DN из вершин B и D. Докажите, что отрезки KL и MN равны и перпендикулярны друг другу.

1203. Можно ли разрезать квадрат со стороной 1 км на а) 31; б) 30 квадратов так, чтобы один из них имел сторону не более 1 м?

1204*. На плоскости заданы точки A, B, C — центры трёх кругов. Каждый круг равномерно раздувается (радиус увеличивается с одинаковой для всех кругов скоростью). Как только два круга касаются друг друга, они «лопаются» — их радиусы уменьшаются до 0 — и начинают расти снова. Верно ли, что если длины AB, BC, CA — целые числа, то этот процесс периодический?

Изучите, как может развиваться этот процесс, если треугольник ABC а) равносторонний; б) равнобедренный; в) прямоугольный со сторонами 3, 4, 5. Начальное состояние может быть произвольным (не только «нулевым»).

1205. Мальчик и девочка играют в такую игру: мальчик рисует на плоскости не налегающие друг на друга многоугольники, а девочка их раскрашивает. Если два многоугольника имеют общий отрезок стороны, то их следует раскрашивать в разные цвета. Какого наименьшего числа цветов заведомо хватит девочке, чтобы следовать этим правилам, если мальчик рисует только а) равносторонние треугольники; б) равнобедренные прямоугольные треугольники; в) одинаковые квадраты?

1206. В круге проведены перпендикулярные диаметры AE и BF. На дуге EF взята точка C. Хорды CA и CB пересекают диаметры BF и AE соответственно в точках P и Q. Докажите, что площадь четырёхугольника APQB равна квадрату радиуса круга.

1207. Для любых чисел x, y и для любого натурального n докажите, что m-я степень числа x² + y² больше или равна суммы 2^mx^my^m + (x^m – y^m)².

1208. Первый член последовательности равен ¹⁄₂, а любой другой равен квадратному корню из половины разности между числом 1 и квадратного корня из разности числа 1 и квадрата предыдущего члена последовательности. Докажите, что сумма никакого количества членов такой последовательности не превосходит числа 1,03.

1209. Числовой треугольник, первая строка которого состоит из n единиц, а вторая — из n – 1 целых чисел, обладает следующим свойством: ac – bd = 1 для любых четырёх чисел a, b, c и d, расположенных в вершинах ромба, точнее говоря, таких чисел, что a и c соседние в одной строке, причём c левее a, а числа b и d расположены соответственно строкой выше и строкой ниже, соседствуя по диагонали с числами a и c. Докажите, что а) если все числа в треугольнике не равны 0, то все они целые; б) если все числа в треугольнике положительные, то в нём присутствует не менее n ⁄ 4 различных чисел.

1210*. Имеется кучка из M спичек и лист бумаги, на котором написано число M. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок берёт из кучки или возвращает в кучку от 1 до k спичек и записывает на листе, сколько спичек стало в кучке. (Вначале все имеющиеся спички лежат в кучке — у игроков спичек нет.) Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход или вынужден записать число, уже имевшееся на листе ранее. Кто из игроков выигрывает при правильной игре, если а) k = 2; б) k = 5?

1211. Можно ли расположить в пространстве тетраэдр, шар и плоскость таким образом, чтобы площади сечений тетраэдра и сферы любой плоскостью, параллельной выбранной, были равны?

1212. Множество всех целых чисел разбито на не пересекающиеся одна с другой арифметические прогрессии с положительными разностями d₁, d₂, d₃, ... Может ли случиться, что сумма обратных величин этих разностей меньше числа 0,9, если множество прогрессий а) конечно; б) бесконечно?

1213. а) Если выпуклый шестиугольник можно разрезать на параллелограммы, то он имеет центр симметрии. Докажите это.

б) Если выпуклый шестиугольник, каждая диагональ которого, соединяющая две противоположные его вершины, параллельна двум его сторонам, можно разрезать на n параллелограммов равной площади, то n делится на 3. Докажите это.

1214*. В некоторых клетках прямоугольной таблицы из n строк и m > n столбцов расставлены звёздочки так, что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что найдётся такая звёздочка, что в её строке звёздочек больше, чем в её столбце.

1215. Число 15 можно тремя способами разложить в сумму трёх натуральных чисел так, что все 9 чисел различны: 15 = 1 + 6 + 8 = 2 + 4 + 9 = 3 + 5 + 7. Для каждого натурального n обозначим через k(n) наибольшее число троек натуральных чисел, дающих в сумме n и состоящих из различных чисел. Докажите, что а) 6k(n) > n – 6; б) 9k(n) < 2n; в) k(100) = 21; г) k(500) = 110.

1216. Найдите величины углов остроугольного треугольника ABC, если его биссектриса AD равна стороне AC и перпендикулярна отрезку OH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот треугольника ABC.

1217. Обозначим через H_n сумму обратных величин первых n натуральных чисел. Докажите, что для любого натурального n сумма квадратов чисел вида H_n – H_k, где k < n, равна 2n – H_n.

1218. На отрезке AC взята точка B и построены лежащие в одной полуплоскости от прямой AC дуги AB и BС, сумма величин α и β которых равна 360°. Произвольная дуга AB пересекает их в точках K и L. Докажите, что всевозможные прямые KL пересекают прямую AC в одной и той же точке.

1219. Для любых положительных чисел x₁, x₂, x₃, ..., x_n, где n > 1, докажите неравенство(s – x₁)^x₁ + (s – x₂)^x₂ + ... + (s – x_n)^x_n ³ n – 1, где s = x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n.

1220*. Определим последовательность условиями b₁ = 0, b₂ = 2, b₃ = 3, b_n+1 = b_n–1 + b_n–2 при n > 2. Докажите, что для любого простого p число b_p делится на p.

1221. Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении 1 : 2.

1222. Пусть m — натуральное число, m > 1, а s — наибольшее целое число, для которого 2^s £ m. Докажите, что а) из любых s + 1 целых чисел можно выбрать несколько чисел и так расставить между ними знаки, каждый из которых — плюс или минус, что значение полученного выражения будет делиться на m; б) оценка в пункте а) неулучшаема, то есть существуют такие s целых чисел, что никакая сумма нескольких из них ни при какой расстановке знаков не делится на m.

1223. На квадратный лист бумаги со стороной a посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Никакая прямая, параллельная сторонам листа, не пересекает более одной кляксы. Докажите, что сумма площадей клякс не больше a.

1224. Из вершины треугольника проведён отрезок в точку противоположной стороны, разделённый вписанной окружностью на три равные части. Может ли этот отрезок быть а) высотой; б) медианой; в) биссектрисой треугольника?

1225. а) Если x, y и z = (x² + y²) ⁄ (xy + 1) — натуральные числа, то z = 5. Докажите это.

б) Уравнение x² + y² = 5xy + 5 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. Докажите это. Решение М1225.

1226. Если квадрат повернуть вокруг его центра на 45°, то полученный квадрат разделит стороны первоначального в некотором отношении. Возьмём произвольный выпуклый четырёхугольник, разделим его стороны в том же отношении и через точки деления проведём прямые, образующие новый четырёхугольник. Докажите, что площади этих четырёхугольников равны.

1227. Назовём шахматный круговой турнир логичным, если для любых двух его участников выполнено следующее условие: тот, кто набрал не больше очков, тот не выиграл и в личной встрече. Докажите, что каким бы ни был турнир, то же самое распределение очков между участниками можно получить и в некотором логичном турнире. (За победу в шахматной партии дают 1 очко, за ничью — ¹⁄₂, а за поражение — 0 очков.)

1228. Для любых положительных чисел a, b и c, не превосходящих 1, докажите, что сумма дробей a ⁄ (bc + 1), b ⁄ (ca + 1) и c ⁄ (ab + 1) не превосходит числа 2.

1229. Ни для какого натурального n не является квадратом число а) 4ⁿ + 5; б) 8ⁿ + 9; в*) aⁿ + a + 1, где a — целое число, не кратное 8. Докажите это.

1230. В некоторых клетках квадратных таблицы размером 50×50 расставлены числа 1 и –1 таким образом, что абсолютная величина суммы всех чисел таблицы не превосходит 100. Докажите, что хотя бы для одного квадрата размером 25×25 абсолютная величина его чисел не превосходит 5.

1231. На какое наибольшее число частей могут разбить координатную плоскость графики n квадратных трёхчленов? (Квадратный трёхчлен — функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — некоторые числа, a a не равно 0.)

1232. Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо p человек, либо q. На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну? Рассмотрите следующие случаи: а) p и q — взаимно простые числа; б) p и q имеют наибольший общий делитель d.

1233. Длина боковой стороны BC трапеции ABCD равна длине её диагонали AC. Точка H — середина основания AB. Прямая l проходит через точку H и пересекает прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что углы ACP и QCB равны или составляют в сумме развёрнутый угол.

1234. Любой ли треугольник можно разбить на а) 7; б) 5 подобных между собой треугольников?

1235*. Пусть число p = 2q + 1 простое. Докажите, что число 2^3qq! – (–1)^q(2q – 1)!! делится на а) p; б) p²; в) p³, если p > 3. (Здесь (2q – 1)!! — произведение первых q нечётных натуральных чисел.)

1236. Найдите множество точек O внутри данного квадрата на плоскости, для которых существует окружность с центром O, пересекающая стороны квадрата в 8 точках.

1237. Точка O расположена внутри треугольника ABC и такова, что сумма векторов OK, OM и ON равна нулю, где K, M, N — основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны треугольника. Докажите, что произведение двух корней из трёх на сумму длин отрезков OK, OM и ON не превышает суммы длин сторон треугольника ABC.

1238. Множество натуральных чисел разбито на два подмножества. В одном из них нет ни одной трёхчленной арифметической прогрессии. Обязательно ли в другом есть бесконечная арифметическая прогрессия?

1239. Даны две пересекающиеся окружности и точка P. Проведите через точку пересечения окружностей их общую секущую AB так, чтобы угол APB имел заданную величину.

1240*. На клетчатой бумаге со стороной клетки длины 1 выделен квадрат размером n×n клеток. Из одной его вершины в противоположную по линиям сетки проведём случайную ломаную длины 2n. В n клетках квадрата, случайно расположенных в разных строках и разных столбцах, расставим n звёздочек. С какой вероятностью все звёздочки оказались по одну сторону от ломаной? (Другими словами, какую долю среди всевозможных расположений ломаных и звёздочек составляют такие, что звёздочки лежат по одну сторону от ломаной?)

1241. Имеется 1990 кучек, состоящих соответственно из 1, 2, 3, ...., 1990 камней. За один шаг разрешено выбросить из любого множества кучек по одинаковому числу камней. За какое наименьшее число шагов можно выбросить все камни?

1242. На сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взяты соответственно точки K и N так, что величина угла KEN равна 180° ⁄ n, где E — вершина, противоположная вершине B. Докажите, что NE — биссектриса угла KNC.

1243. а) На доске написано уравнение *x² + *x = *. Первый из двух играющих называет любые три числа, второй расставляет их по своему выбору вместо звёздочек. Может ли первый добиться, чтобы полученное уравнение имело различные рациональные корни, или второй всегда сможет ему помешать?

б) На доске написано уравнение x³ + *x² + *x = *. Первый из двух играющих называет любое число, второй ставит его на место любой из звёздочек; затем первый называет ещё одно число, второй ставит его на место одной из двух оставшихся звездочек; наконец, первый ставит любое число на место последней оставшейся звездочки. Может ли первый добиться того, чтобы полученное уравнение имело три различных целых корня?

1244. В сенате, состоящем из 30 сенаторов, каждые двое дружат или враждуют, причём каждый враждует ровно с 6 другими. Найдите общее количество троек сенаторов, в которых либо все трое дружат друг с другом, либо все трое враждуют между собой.

1245. На плоскости заданы точка O и n векторов, сумма которых равна нулю. Докажите, что можно отложить эти векторы, начав в точке O, один за другим в таком порядке, что полученная замкнутая (быть может, самопересекающаяся) ломаная будет целиком расположена в некотором угле величиной 60° с вершиной в точке O.

1246. В любой бесконечной арифметической прогрессии, члены которой — натуральные числа, есть два числа с одинаковой суммой цифр. Докажите это.

1247. Можно ли плоскость покрыть без наложений квадратами с длинами сторон 1, 2, 4, 8, 16, ..., используя квадрат каждого размера не более а) десяти раз; б) одного раза?

1248. Отрезок I покрыт несколькими меньшими отрезками, ни один из которых не выходит за пределы отрезка I.

а) Докажите, что левые половины этих отрезков покрывают не менее половины отрезка I.

б) Докажите, что если у каждого из этих отрезков отбросить какую-либо половину — левую или правую,— то оставшиеся половины покроют не менее трети длины отрезка I.

1249. В королевстве n > 6 городов, каждые два их которых соединены одной дорогой с односторонним движением. При этом не из каждого города можно проехать в любой другой, не нарушая правила движения.

а*) Докажите, что король может выбрать один из городов и, изменив направление движения на всех дорогах, входящих и выходящих из него, добиться того, чтобы можно было проехать из любого города в любой другой.

б) Верно ли это утверждение для n = 6?

1250. Для любых положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n докажите, что сумма дробей x₁ ⁄ (x₂ + x₃), x₂ ⁄ (x₃ + x₄), ..., x_n–1 ⁄ (x_n + x₁), x_n ⁄ (x₁ + x₂) больше а) произведения числа n на разность между квадратным корнем из числа 2 и числом 1; б) 5n ⁄ 12. в) Докажите, что эта сумма не меньше n ⁄ 2, если последовательность x₁, x₂, ..., x_n монотонна.

1251. На плоскости дан угол (меньше развернутого). Проведите два отрезка PM и QM с заданной суммой длин s, отрезающие от угла четырёхугольник наибольшей площади (P и Q — точки на сторонах угла, M — внутри угла).

1252. Пусть a и n — натуральные числа, a > 1. Докажите, что φ(aⁿ – 1) делится на n.

φ — это функция Эйлера, то есть φ(k) обозначает количество несократимых правильных дробей со знаменателем k.

1253. На плоскости нарисован выпуклый многоугольник M, разбитый на несколько выпуклых многоугольников,— «карта» из нескольких «стран». Будем говорить, что такая карта реализуема в пространстве, если существует выпуклый многогранник, у которого одна из граней — M, а проекции остальных граней на плоскости грани M — страны этой карты (причём все они лежат внутри M).

а) Постройте пример карты из треугольников, не допускающей реализацию в пространстве.

Докажите, что карта допускает выпуклую реализацию в каждом из следующих случаев:

б) все страны — остроугольные треугольники;

в) каждая страна — вписанный многоугольник, содержащий внутри себя центр описанной окружности.

1254. Прямоугольник размером m×n можно разрезать на фигурки из четырёх клеток в форме буквы Г тогда и только тогда, когда mn делится на 8, причём m > 1 и n > 1. Докажите это.

1255. Если h — наименьшая высота тетраэдра, d — наименьшее из расстояний между его скрещивающимися рёбрами, то h < 2d < 3h. Докажите эти неравенства.

1256. Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.

1257*. Коэффициенты многочлена f — целые числа. Для любого целого n число f (n) делится хотя бы на одно из чисел a₁, a₂, ..., a_m . Докажите, что существует такое натуральное k, что k £ m и f (n) делится на a_k для любого целого n.

1258*. Числа, расставленные по окружности, разрешено подвергать операции замены тройки подряд идущих чисел x, y и z на тройку x + y, –y и y + z (именно в таком порядке). а) Можно ли такими операциями из чисел 1, 2, 3, ..., 9, 10, –1, –2, –3, ..., –9, –10 получить числа 10, 9, 8, ..., 2, 1, –10, –9, –8, ..., –2, –1?

б) Из любых n чисел, расставленных по окружности, сумма которых положительна, можно получить один и только один набор из n неотрицательных чисел.

1259*. На окружности дано множество E, состоящее из 2n – 1 различных точек, где n > 2, из которых k точек покрашены в чёрный цвет, а все остальные — в белый. Раскраску точек называем хорошей, если существуют две чёрные точки, строго между которыми на одной из дуг содержится ровно n точек из множества E. Найдите наименьшее значение k, для которого каждая раскраска множества E является хорошей.

1260*. Для каких натуральных n число 2ⁿ + 1 делится на n²?

1991 год

1261. На плоскости расположены 1991 точек - красных, чёрных и жёлтых, причём никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками, причём из всех точек выходит поровну отрезков. Докажите существование красной точки, соединённой и с чёрной, и с жёлтой точками.

1262. a, b, c - длины сторон треугольника; x = |b - c|, y = |a - c|, z = |a - b| - абсолютные величины разностей длин его сторон. Докажите, что сумма xy + yz + zx не превосходит квадрата его полупериметра.

1263. Внутри окружности лежат ещё две окружности, касающиеся внешней окружности в точках A и B соответственно и пересекающиеся между собой. Докажите, что если одна из точек пересечения лежит на отрезке AB, то сумма радиусов меньших окружностей равна радиусу большей. Верно ли обратное?

1264. На бесконечном листе белой клетчатой бумаги квадрат 2×2 нужно закрасить в чёрный цвет (а все остальные клетки должны остаться белыми). Можно ли это сделать несколькими операциями, каждая из которых - перекрашивание в противоположный цвет всех клеток квадрата 3×3 или 4×4?

1265*. а) Среди 21 попарных расстояний между 7 различными точками плоскости одно и то же число встречается не более 12 раз. Докажите это.

б) Какое наибольшее количество раз может встретиться одно и то же число среди 15 попарных расстояний между 6 различными точками плоскости?

1266. Внутри круга радиусом 1990 с центром в начале координат отмечены 555 точек с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите существование двух треугольника равной площади с вершинами в этих точках.

1267. Пусть a₁, a₂, ..., a_n - некоторая перестановка первых n натуральных чисел, r_k - остаток от деления суммы a₁ + a₂ + ... + a_k на n. Докажите, что среди чисел r₁, r₂, ..., r_n по крайней мере корень квадратный из n различных чисел.

1268. Внутри треугольника ABC лежит точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны BC, AC и AB соответственно в точках A', B' и C'. Докажите, что произведение диаметра описанной около треугольника ABC окружности на площадь треугольника A'B'C' равна квадратному корню из произведения AB' · AC' · BC' · BA' · CA' · CB'.

1269. Прямая p параллельна стороне AB треугольника ABC и расположена на расстоянии AC от неё так, что внутри полосы, образованной прямыми p и AB, нет внутренних точек треугольника ABC. Прямая q параллельна прямой AC и расположена на расстоянии AB от неё так, что внутри полосы, образованной прямыми q и AC, нет внутренних точек треугольника ABC. Прямые p и q пересекаются в точке L. Докажите, что прямая AL делит отрезок BC пополам.

1270. Если последняя цифра десятичной записи числа m равна 5, то 12^m + 9^m + 8^m + 6^m делится на 1991. Докажите это.

1271. Дана полуокружность с диаметром AB. Постройте хорду MN, параллельную AB, чтобы трапеция AMNB была описанной.

1272. Сумма квадратных корней из обратных величин некоторых n положительных чисел равна 1. Докажите, что если вычесть из каждого из данных чисел единицу и перемножить полученные разности, то произведение не будет меньше (n² - 1)ⁿ.

1273. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC, как на основаниях, вне него построены подобные равнобедренные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁, у каждого из которых отношение высоты к основанию равно k. Такие же треугольники ABC₂, BCA₂ и CAB₂ построены и по другую (внутреннюю) сторону от оснований. Докажите, что площади S, S₁ и S₂ треугольников ABC, A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ связаны равенством S₁ ± S₂ = S(1 + 3k²) ⁄ 2, где знак зависит от ориентации треугольника A₂B₂C₂ по отношению к треугольнику ABC.)

1274. Для любого натурального числа n абсолютная величина разности цепных дробей [0; 2, 3, ..., n - 1] и [0; 2, 3, ..., n - 1, n] не превосходит частного от деления числа 1 на n!(n - 1)!.

1275. Последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел такова, что при любом натуральном n верно равенство a_k+2 = a_ka_k+1 + 1. Докажите, что при n > 9 число a_n - 22 составное.

1276. Для данной хорды MN окружности рассмотрим всевозможные треугольники ABC, основаниями которых являются диаметры AB этой окружности, не пересекающие MN, а стороны AC и BC проходят через концы M и N хорды MN. Докажите, что высоты всех таких треугольников ABC, опущенные из вершины C на сторону AB, пересекаются в одной точке.

1277. Для любых положительных чисел a₁, a₂, ..., a_n докажите, что сумма квадратных корней из частных (a₁ + a₂) ⁄ a₃, (a₂ + a₃) ⁄ a₄, ..., (a_n-1 + a_n) ⁄ a₁, (a_n + a₁) ⁄ a₂ больше или равна числа n корней из двух.

1278. Сумма нескольких чисел равна 0, а сумма их квадратов равна 1. Докажите, что среди них есть два числа, произведение которых меньше или равно -1.

1279. На координатной плоскости расположены n квадратов, стороны которых параллельны осям координат. Любые два квадрата можно пересечь прямой, параллельной одной из осей. Докажите, что можно пересечь одной прямой, параллельной одной из осей координат, не менее чем n - 2 из данных квадратов.

1280*. В периоде десятичного разложения дроби ¹⁄_3¹⁰⁰ содержит а) не менее 20 одинаковых цифр подряд; б) последовательность цифр 123 456 789. Докажите это.

1281. Если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то их сумма больше 4. Докажите это.

1282. Не существует двух таких (отличных от параллелограмма) трапеций, что боковые стороны каждой из них соответственно равны основаниям другой. Докажите это.

1283. Квадрат 99×99 разбит на фигурки трёх типов, изображённые на рисунке.

а) Количество фигурок первого типа не меньше 199. Докажите это.

б) Приведите пример разбиения, когда фигурок первого типа 199 штук.

1284. На основании AB равнобедренного треугольника ACB выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и вневписанная окружность треугольника ACD (то есть окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD). Докажите, что этот радиус равен ¹⁄₄ высоты треугольника, опущенной на боковую сторону.

1285. Имеется колода из n карт. Разрешено взять подряд несколько карт и, не меняя порядка, вставить их в любое другое место колоды (можно в начало или конец). Пусть M(n) - наименьшее количество операций, необходимое, чтобы расположить карты в обратном порядке. Докажите, что а) M(9) £ 5; б) M(52) £ 26; в) M(52) ³ 17; г*) M(52) ³ 26. д) Найдите M(n) для любого натурального n.

1286. На конгрессе присутствуют 100 делегатов, каждый из которых знает несколько иностранных языков. Известно, что любые трое могут поговорить между собой без помощи остальных. Докажите, что делегатов можно поселить в 50-ти двухместных номерах гостиницы так, что живущие в одном номере могли бы разговаривать между собой.

1287. Длина диагонали AC параллелограмма ABCD больше длины диагонали BD. Точка M диагонали AC такова, что около четырёхугольника BCDM можно описать окружность. Докажите, что BD - общая касательная окружностей, описанных около треугольников ABM и ADM.

1288*. Число 235² + 972² = 1 000 009 - составное. Докажите это.

1289*. Сумма целых чисел a₁, a₂, ..., a_n равна 1. Для каждого натурального числа k, не превосходящего n, обозначим через N_k количество положительных среди чисел a_k, a_k + a_k+1, ..., a_k + a_k+1 + ... + a_n + a₁ + ... + a_k-1. Докажите, что все числа N₁, N₂, ..., N_n различны.

1290*. Квадратный лист бумаги размера 8×8 разграфили на единичные клетки и произвольным образом сложили в книжку 1×1 (из 64 листов). Листы книги пронумеровали по порядку числами от 1 до 64, а затем вновь развернули. Пусть p - наибольшая разность номеров соседних (граничащих по стороне) клеток. Каково наименьшее возможное значение p и при каком складывании книжки оно достигается?

1291. В правильном а) 12-угольнике; б) 54-угольнике существуют четыре диагонали, не проходящие через центр многоугольника и пересекающиеся в одной точке. Докажите это.

1292. Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором так указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, чтобы общая сумма расходов не превысила заранее заданную величину S. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее k депутатов. При каком наименьшем k можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит S?

1293. В данный угол вписаны два непересекающихся круга. Треугольник ABC расположен между кругами так, что его вершины лежат на сторонах угла, а равные стороны AB и AC касаются соответствующих кругов. Докажите, что сумма радиусов кругов равна высоте треугольника, опущенной из вершины A.

1294. Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие один к другому гранями, разного цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков таким образом, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, стало не хватать одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.

1295. На прямоугольном экране размером m×n, разбитом на единичные клетки, светятся более (m - 1)(n - 1) клеток. Если в некоторый момент в каком-нибудь квадрате размером 2×2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы одна клетка.

1296. Из многоугольника можно получить новый многоугольник с помощью следующей операции: разрезав его по отрезку на две части, одну из частей перевернуть и приставить к другой части по линии разреза, если при этом части не будут иметь общих точек, кроме точек разреза. Можно ли с помощью нескольких таких операций из квадрата получить треугольник?

1297. Числа α и β удовлетворяют равенствам α³ - 3α² + 5α = 1 и β³ - 3β² + 5β = 5. Найдите α + β.

1298. Билет лотереи - карточка, на которой имеется 50 пустых подряд расположенных клеток. Каждый участник лотереи во все клетки записывает числа от 1 до 50 без повторений. Организаторы лотереи по таким же правилам заполняют свою карточку-эталон. Выигравшим считают билет, у которого хотя бы в одной клетке записано число, которое записано в соответствующей клетке карточки-эталона. Какое наименьшее количество билетов надо заполнить играющему, чтобы иметь выигрышный билет независимо от того, как заполнена карточка-эталон?

1299. На доске выписано несколько чисел. Разрешено стереть любые два из них и записать на доску вместо них одно число - половину их среднего арифметического. Докажите, что если изначально на доске написано n единиц и вышеописанную операцию выполнили n - 1 раз, то на доске осталось число, не меньшее 1 ⁄ n.

1300. Следователь придумал план допроса свидетеля, гарантирующий раскрытие преступления. Он собирается задавать вопросы, на которые возможны только ответы «да» или «нет» (то, какой вопрос будет задан, может зависеть от ответов на предыдущие). Следователь считает, что все ответы будут верные; он подсчитал, что в любом варианте ответов придётся задать не более 91 вопросов. Покажите, что следователь может составить план с не более чем 105 вопросами, гарантирующий раскрытие преступления и в случае, если на один вопрос может быть дан неверный ответ (но может быть, что все ответы верные).

1301. Обязательно ли тетраэдр правильный, если равны друг другу а) пять двугранных углов; б) восемь плоских углов?

в) Обязательно ли пирамида ABCD правильная, если её основание ABC - правильный треугольник, а три плоских угла при вершине D равны друг другу?

1302. Для любого натурального n произведение многочлена (x + 1)^{n - 1} на любой многочлен ненулевой степени имеет не менее n отличных от нуля коэффициентов. Докажите это.

1303. Найдите все такие бесконечные последовательности натуральных чисел q₁, q₂, q₃, ..., что для любого натурального n произведение q_n+3 · q_n+1 равно сумме q_n + q_n+2.

1304. Куб радиуса описанной окружности любого треугольника не меньше произведения расстояний от центра его вписанной окружности до вершин. Докажите это.

1305. Дано 2n различных чисел a₁, a₂, ..., a_n, b₁, b₂, ..., b_n. Таблица размером n×n заполнена по следующему правилу: на пересечении j-й строки и k-го столбца написано число a_j + b_k. Для каждого столбца таблицы подсчитаем произведение всех n его чисел. Докажите, что если все полученные произведения равны, то, посчитав для каждой строки произведение всех n её чисел, тоже получим равные произведения.

1306. Назовём вытянутостью прямоугольника отношение большей стороны к меньшей. Докажите, что вытянутость прямоугольника B, вписанного в другой прямоугольник П (так, что вершины B лежат по одной на сторонах П), не меньше вытянутости П.

1307. Для любого натурального n число 2^2ⁿ + 2^{2^n-1} + 1 имеет не меньше n различных простых делителей. Докажите это.

1308. На плоскости даны три прямые. Найдите множество центров правильных треугольников, вершины которых лежат на данных прямых (по одной на каждой из трёх прямых). Исследуйте все случаи взаимного расположения данных прямых.

1309. На плоскости задан треугольник. Для произвольной точки M плоскости определим множество H₁(M) середин отрезков, соединяющих точку M с вершинами треугольника. Каждое следующее множество H_k+1, где k = 1, 2, 3, ..., определим как множество середин отрезков, один из концов каждого из которых принадлежит H_k(M), а другой является вершиной исходного треугольника. Докажите, что для любого положительного числа ε существует фигура F, площадь которой меньше ε, а для любой точки M существует такое натуральное число n, что все фигуры H_n(M), H_n+1(M), H_n+2(M), ... содержатся в фигуре F.

1310*. Соревнуются 2^k боксёров, где k > 1. Ежедневно встречаются 2^{k - 1} пар боксёров, так что каждый проводит один бой. Все боксёры имеют разную силу, в каждом бою побеждает сильнейший. Расписание на каждый день составляют накануне вечером. Докажите, что за k(k + 1)/2 дня можно определить место каждого боксёра.

1311. Длины a, b и c сторон треугольника - целые числа, причём длина одной из его высот равна сумме длин двух других высот. Докажите, что число a² + b² + c² является квадратом целого числа.

1312. Поля доски размером n×n раскрашены в синий, белый и красный цвета. С каждой синей клеткой граничит по стороне хотя бы одна белая, с каждой белой - красная, а с красной - синяя. Докажите, что красных клеток а) не более 2n²⁄ 3; б) не менее n² ⁄ 11.

1313. Рассмотрим функцию, значение которой для любого натурального числа n равно квадратному корню из разностей квадратных корней из чисел n и n - 1. Придумайте такие восемь натуральных чисел, что сумма значений функции от них равна числу 2.

1314. Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в точке M. Точки P и Q - центры описанных окружностей треугольников ABM и CDM соответственно. Докажите неравенство AB + CD £ 4PQ.

1315. На окружности расставлены целые числа. Разрешено стереть любое чётное число, а вместо двух соседних с ним чисел записать их сумму (отчего количество чисел уменьшается на два). Такие операции проводим, пока это возможно, то есть пока не останется ни одного чётного числа, либо останется одно или два числа. Докажите, что количество оставшихся чисел зависит лишь от исходной расстановки, но не от порядка действий.

1316. Арифметическая прогрессия из различных натуральных чисел, ни одно из которых не содержит в своей десятичной записи цифры c, состоит не более чем из а) 72 чисел при c ≠ 0; б) 80 чисел при c = 0. Докажите эти оценки и выясните, достигаются ли они.

1317. Для любого треугольника отношение произведения расстояний от центра вписанной окружности до вершин к произведению длин биссектрис больше 1 ⁄ 4 и меньше 8 ⁄ 27. Докажите это.

1318. Дан связный граф с n рёбрами. Докажите, что его рёбра можно пометить числами от 1 до n так, что для каждой вершины, из которой выходит не менее двух рёбер, стоящие на этих рёбрах числа не имеют общего делителя, большего 1.

Граф - это система точек, некоторые пары которых соединены рёбрами. Граф называют связным, если по его рёбрам можно из любой вершины пройти в любую другую.

1319. Точка M расположена внутри треугольника ABC. Докажите, что величина хотя бы одного из углов MAB, MBC и MCA не превосходит 30°.

1320*. Постройте такую бесконечную последовательность x₁, x₂, x₃, ..., что для любых натуральных чисел m и n произведение абсолютной величины разности чисел x_m и x_n на абсолютную величину разности чисел m и n не меньше 1.

1992 год

1321. Ладья побывала во всех клетках доски размером n×n клеток. Докажите, что она изменила направление своего движения не менее 2n – 2 раз. (Ладья каждым ходом движется параллельно одной из сторон квадрата.)

1322. Три отрезка, выходящие из разных вершин треугольника ABC и пересекающиеся в одной точке M, делят его на шесть треугольников. В каждый из них вписана окружность. Оказалось, что четыре из этих шести окружностей равны. Следует ли отсюда, что треугольник ABC правильный, если M — точка пересечения а) медиан; б) высот; в) биссектрис; г) M — произвольная точка внутри треугольника?

1323. Для любых положительных чисел x и y докажите неравенство x · 2^y + y · 2^–x ³ x + y.

1324. Ни при каком целом k число k² + k + 1 не делится а) ни на 5, ни на 11, ни на 17; б) ни на какое число вида 6m – 1, где m — натуральное. Докажите это.

1325*. а) O — центр тяжести треугольника ABC, то есть точка пересечения его медиан. Обозначим буквой P образ точки B при повороте вокруг точки O на 120°, а буквой Q — образ точки C при повороте вокруг точки O на 240°. Докажите равенства AP = PQ = QA.

б*) Для произвольных точек A₁, A₂, ..., A_n, где n > 1, рассмотрим следующую операцию. Сначала ищем их центр тяжести O, затем каждую точку A_k, где 1 £ k £ n, заменяем на её образ при повороте вокруг точки O на 2πk ⁄ n. С полученными n точками проделываем ту же операцию, и так далее. Докажите, что после n – 1 таких операций получим набор совпадающих точек.

1326. Последовательность задана своим начальным членом a₀ = 9 и рекуррентной формулой a_n+1 = 3a_n⁴ + 4a_n³. Докажите, что десятичная запись числа a₁₀ содержит более 1000 девяток.

1327. Круг поделили хордой AB на два круговых сегмента и один из них повернули вокруг точки A на некоторый угол. При этом повороте точка B перешла в точку D. Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.

1328. Сумма кубов некоторых n чисел отрезка [–1; 1] равна 0. Докажите, что утроенная сумма этих чисел не превосходит числа n.

1329. Прямые, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда площади треугольников ACE и BDF равны. Докажите это.

1330*. На плоскости проведены n прямых общего положения (никакие три не проходят через одну точку и никакие две не параллельны). Докажите, что среди частей, на которые они делят плоскость, не меньше а) n ⁄ 3; б) (n – 1) ⁄ 2; в*) n – 2 треугольников.

1331. Отрезки AK, BM, CN и DL делят квадрат ABCD со стороной 1 на четыре треугольника с площадями S₁, S₂, S₃, S₄ и пять четырёхугольников, площадь центрального из которых равна S₁ + S₂ + S₃ + S₄. Докажите равенство AL + BK + CM + DN = 2.

1332. Из бумаги склеены два одинаковых правильных тетраэдра. Какое наименьшее число рёбер этих тетраэдров придётся разрезать, чтобы затем склеить их по разрезанным рёбрам в один правильный октаэдр?

1333. Из бумаги склеены два одинаковых правильных тетраэдра. Какое наименьшее число рёбер этих тетраэдров придётся разрезать, чтобы затем склеить их по разрезанным рёбрам в один правильный октаэдр?

1334. Можно ли числа 1, 2, ..., 10 разбить на два подмножества так, чтобы разность произведений чисел этих подмножеств делилась на 11?

1335. n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом никакую шоколадку нельзя разломить более одного раза.

а) При каких n это возможно, если m = 9?

б) При каких m и n это возможно?

1336. Для любых натуральных чисел m и n сумма числа, обратного корню n-степени из m + 1, и числа, обратного корню m-степени из n + 1, меньше 1. Докажите это.

1337. Выпуклая фигура на плоскости имеет 4 оси симметрии (углы между соседними осями составляют 45°). Через некоторую точку фигуры проведены параллельно этим осям прямые, которые разделили фигуру на 8 частей, раскрашенных поочерёдно в голубой и розовый цвета. Докажите, что сумма площадей голубых частей равна сумме площадей розовых частей.

1338. Укажите способ вычисления 2ⁿ-го числа последовательности Фибоначчи не более чем за 6n – 1 операций сложения, умножения и вычитания.

1339. Пусть величина угла ACB равна γ, а длина биссектрисы, проведённой из вершины C, равна l.

а) Площадь треугольника ABC не превосходит произведения l²tg γ. Докажите это.

б) Для каких треугольников достигается равенство?

1340. На красной окружности произвольным образом отмечены n > 4 различных синих точек. Начав с какой-нибудь из них, будем перекрашивать каждую вторую (по часовой стрелке) синюю точку в красный цвет, соединяя её хордой со следующей перекрашиваемой точкой, и так далее, пока на окружности есть синие точки. На сколько частей распадётся круг при разрезании по всем проведённым линиям, если а) n = 32; б) n = 1992?

1341. m, n, k — натуральные числа, причём m > n. а) Рассмотрим последовательности, состоящие из неотрицательных чисел и заданные своими начальными членами a₀ = b₀ = 0 и рекуррентными соотношениями a_n+1² = m + b_n и b_n+1² = n + a_n. Сравните числа a_k и b_k.

б) Рассмотрим последовательности, состоящие из неотрицательных чисел и заданные своими начальными членами c₀ = d₀ = 0 и рекуррентными соотношениями c_n+1² = m + c_n и d_n+1² = n + d_n. Сравните числа n + c_k и m + b_k.

1342. Напишем строку из первых n натуральных чисел. Под ней напишем строку из n чисел по следующему правилу: сначала — числа, стоящие в первой строке на нечётных местах (по порядку), а затем числа, стоящие на чётных местах (тоже по порядку). Далее будем писать следующие строки по тому же правилу до тех пор, пока на некотором шаге не получится m-я строка, совпадающая с первоначальной. Докажите, что такая строка встретится, причём m < n. Например, при n = 13 имеем:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 12
1 5 9 13 4 8 12 3 7 11 2 6 10
1 9 4 12 7 2 10 5 13 8 3 11 6
1 4 7 10 13 3 6 9 12 2 5 8 11
1 7 13 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8
1 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1 12 10 8 6 4 2 13 11 9 7 5 3
1 10 6 2 11 7 3 12 8 4 13 9 5
1 6 11 3 8 13 5 10 2 7 12 4 9
1 11 8 5 2 12 9 6 3 13 10 7 4
1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1343. Три хорды окружности ω попарно пересекаются в точках A, B и C. Построим ещё три окружности: одна касается сторон угла CAB и (изнутри) окружности ω в точке A', вторая — сторон угла ABC и (изнутри) окружности ω в точке B', третья — сторон угла ACB и (опять-таки изнутри) окружности ω в точке C'. Докажите, что отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке.

1344. Том Сойер красит забор, состоящий из длинной (бесконечной) последовательности прямоугольных досок разной высоты и ширины. Каждая доска на 1% уже, чем предыдущая, и выше предыдущей, однако не выше 2 метров. Том начинает с первой доски и затем, если доска выше предыдущей более чем на 2%, красит её, а в противном случае — пропускает. Может ли забор быть таким, что он покрасит не менее а) 40%; б) 50%; в) 60% площади забора?

1345. На гиперболе, заданной уравнением xy = 1, взяты две точки M и N, симметричные относительно начала координат. Окружность с центром M, проходящая через точку N, пересекает гиперболу ещё в трёх точках. Докажите, что эти точки лежат в вершинах равностороннего треугольника.

1346. Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая (самопересекающаяся) 51-звенная ломаная, причём длина каждого звена равна квадратному корню из 3. Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат стороны этого угла (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше утроенной площади правильного треугольника, вписанного в данную окружность.

1347. Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, также упорядоченные по весу. Известно, что все монеты различны по весу. В нашем распоряжении — двухчашечные весы, позволяющие про любые две монеты установить, какая тяжелее. За наименьшее число взвешиваний найдите монету, занимающую по весу 101-е место. (Укажите это число и докажите, что меньшим число взвешиваний обойтись нельзя.)

1348. Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Стороны B'C', C'A' и A'B' треугольника A'B'C' параллельны, соответственно, отрезкам PA, PB и PC. Через точки A', B' и C' проведены прямые, параллельные соответственно прямым BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, принадлежащей описанной окружности треугольника A'B'C'.

1349*. Круг разбит на несколько секторов. В некоторых из них стоят фишки; фишек на 1 больше, чем секторов. Затем позиция подвергается следующим преобразованиям: берём какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляем в разные стороны в соседние сектора. Докажите, что после нескольких таких преобразований не менее половины секторов будет занято фишками.

1350. Для любых натуральных чисел n, a и b через V(n, b) обозначим количество разложений числа n в произведение одного или нескольких натуральных сомножителей, каждый из который больше b. (Например, 36 = 6 · 6 = 4 · 9 = 3 · 3 · 4 = 3 · 12, так что V(36, 2) = 5.) Докажите неравенство bV(n, b) < n.

1351. AC и BC — катеты прямоугольного треугольника ABC, причём AC > BC. На катете AC выбрана точка E, а на гипотенузе AB — точка D так, что BC = CE = BD. Докажите, что треугольник CDE прямоугольный в том и только том случае, когда длины сторон треугольника ABC относятся как 3 : 4 : 5.

1352. Назовём числа a₁, a₂, ..., a_n, где n > 2, близкими, если каждое из них меньше, чем сумма остальных, делённая на n – 1. Докажите неравенства а) a₁ > 0; б) a₁ + a₂ > a₃; в) (n – 1)(a₁ + a₂) £ a₁ + a₁ + ... + a_n.

1353. Таблицу размером n×n заполним числами по следующему правилу: в клетке, стоящей на пересечении i-й строки и j-го столбца, запишем число ¹⁄_{(i + j – 1)}. В таблице отметим n чисел таким образом, что никакие два отмеченных числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма отмеченных чисел не меньше 1.

1354. Центры тяжести (то есть точки пересечения медиан) треугольников A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ и A₃B₃C₃ лежат на одной прямой. Рассмотрим все 27 треугольников вида A_iB_jC_k, где i, j и k независимо пробегают значения 1, 2 и 3. Докажите, что эти 27 треугольников можно разбить на два множества так, что сумма площадей первого множества будет равна сумме площадей треугольников второго множества.

1355. Если число a = 2^2k + 2^k + 1 не является делителем числа 2^{2^k+1} – 1, то число a составное. Докажите это.

1356. Если abc = 4Rrr_c, где a, b, c — длины сторон треугольника ABC, R, r и r_c — радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружностей (касающейся стороны AB и продолжений сторон CA и CB), то угол ACB прямой. Докажите это.

1357. Числа 91! · 1901! – 1 и 92! · 1900! + 1 делятся на 1993. Докажите это.

1358. Назовём кубоидом шестигранник, все грани которого — четырёхугольники. Если три из четырёх его диагоналей (не лежащих на его гранях) пересекаются в одной точке, то и четвёртая проходит через эту точку. Докажите это.

1359. Пусть 0 £ a₀ £ a₁ £ ... £ a_n. Докажите. что уравнение a₀ + a₁cos x + ... + a_ncos nx = 0 имеет на отрезке [0; π] а) хотя бы один корень; б*) ровно n корней.

1360*. Обозначим через p(m, n) количество различных покрытий доски размерами m×n клеток ^mn⁄₂ костями домино (прямоугольниками 1×2; разумеется, мы считаем одно из чисел m и n чётным). Докажите, что

а) p(2, n) = φ_n — число Фибоначчи;

б) (³⁄₂)^n² < p²(n, n) < 2^n² для любого чётного натурального числа n.

1361. Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CD и в треугольники ACD и BCD вписаны окружности с центрами P и Q. Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает стороны AC и BC соответственно в точках M и N, а высоту CD — в точке K. Докажите, что

а) треугольники CMN и ABC подобны;

б) точки C, M, N, P и Q лежат на одной окружности с центром K, радиус которой равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC.

1362. Если натуральное число a взаимно просто с 10, то для любого натурального M существует такое n, что сумма цифр десятичной записи числа aⁿ больше M. Докажите это. (Другими словами, докажите, что последовательность сумм цифр степеней числа a не ограничена.)

1363. Можно ли n раз рассадить 2n + 1 человек за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если а) n = 5; б) n = 4; в) n — произвольное натуральное число?

1364. a, b, c неотрицательные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенства

а) 4a³ + 4b³ + 4c³ + 15abc ³ 1;

б) a³ + b³ + c³ + abcd ³ min {¹⁄₄; ¹⁄₉ + ^d⁄₂₇} для любого вещественного числа d.

1365. Каждая грань выпуклого многогранника — многоугольник с чётным числом сторон. Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у любой грани было поровну рёбер разных цветов?

1366. Точки M и N — середины сторон CD и DE пятиугольника ABCDE, сторона BC которого параллельна диагонали AD, а сторона AE параллельна диагонали BD. Обозначим точку пересечения отрезков BN и AM буквой O. Докажите, что площадь четырёхугольника MDNO равна площади треугольника ABO.

1367. В некоторой стране между городами существует авиационное сообщение. В стране 2k + 1 авиакомпания, причём первая осуществляет один рейс, вторая — два рейса и так далее (каждый рейс связывает между собой два города). В стране существует закон, согласно которому ни из какого города ни одна авиакомпания не может осуществлять более одного рейса. Компании решили перераспределить между собой рейсы так, чтобы всем досталось поровну рейсов. Докажите, что это можно сделать, не нарушая закона.

1368. а) На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D. Пусть O, O₁, O₂ — центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD соответственно. Докажите, что точки O, O₁, O₂ и A лежат на одной окружности.

б) На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D, не являющаяся её серединой. Пусть O₁ и O₂ — центры описанных окружностей треугольников ABD и ACD соответственно. Докажите, что серединный перпендикуляр к медиане AK треугольника ABC делит отрезок O₁O₂ пополам.

1369. Решите систему уравнений ^a⁄_x – ^b⁄_z = c – zx, ^b⁄_y – ^c⁄_x = a – xy, ^c⁄_z – ^a⁄_y = b – yz, где a, b и c — положительные параметры.

1370. Рассматриваем наборы из n гирек разных масс. Масса каждой гирьки — целое число граммов, не превосходящее 21. При каком наименьшем n в любом таком наборе найдутся две пары гирек, уравновешивающие друг друга?

1371. На окружности с центром O расположены точки A и B. Точка P находится на меньшей из дуг AB, точки Q и R симметричны точке P относительно прямых OA и OB соответственно, P' — точка пересечения отрезков AR и BQ. Докажите, что точки P и P' симметричны относительно прямой AB.

1372. Имеется прибор, позволяющий находить все действительные корни любого уравнения третьей степени. Придумайте, как с помощью этого прибора для любого многочлена P третьей степени решить систему уравнений x = P(y), y = P(x).

1373. Дана плоскость, пересекающая сферу с центром O по окружности. На сфере по разные стороны от плоскости взяты точки A и B, причём радиус OA перпендикулярен данной плоскости. Через прямую AB проведём произвольную плоскость γ. Она пересечёт окружность в некоторых точках X и Y. Докажите, что произведение длин отрезков BX и BY не зависит от выбора плоскости γ.

1374. Найдите все натуральные числа k, отличные от 1, удовлетворяющие следующему условию: для некоторых не равных одно другому натуральных чисел m и n десятичная запись числа k^m + 1 получается из десятичной записи числа kⁿ + 1 перестановкой цифр в обратном порядке.

1375. В кинотеатре m рядов по n мест в каждом. Рассеянный кассир продал mn билетов, не следя за тем, чтобы они были на разные места. Оказалось, что зрителей можно так рассадить в зале, чтобы у каждого в билете был правильно указан хотя бы один из номеров — ряда или места.

а) Докажите, что зрителей можно рассадить так, чтобы хотя бы у одного из них были правильно указаны оба номера, а для остальных выполнялось прежнее условие.

б) Какое наибольшее число зрителей можно заведомо рассадить на свои места с сохранением условия для всех остальных?

1376. В пространстве даны 9 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Все эти точки попарно соединены отрезками. Отрезок может быть окрашен в синий или красный цвет, а может остаться незакрашенным. Найдите такое наименьшее n, что при любом закрашивании любых n отрезков найдётся треугольник, все стороны которого одного цвета.

1377. На плоскости даны окружность, касающаяся её прямая l и точка M на прямой l. Найдите множество всех точек P, удовлетворяющих следующему условию: существуют две точки Q и R на прямой l, где M — середина отрезка QR, а исходная окружность вписана в треугольник PQR.

1378. Пусть Oxyz — прямоугольная система координат в пространстве, S — конечное множество точек пространства, S_x, S_y и S_z — ортогональные проекции множества S на плоскости Oyz, Oxz и Oxy соответственно. Докажите неравенство |S|² £ |S_x| · |S_y| · |S_z|.

Через |A| обозначаем количество элементов конечного множества A. Ортогональная проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

1379. Для любого натурального числа n через S(n) обозначим такое наибольшее натуральное число, что для любого натурального числа k, не превосходящего S(n), число n² представимо в виде суммы k квадратов натуральных чисел.

а) Докажите для любого n > 3 неравенство S(n) < n² – 13.

б) Найдите хотя бы одно такое натуральное число n, что S(n) = n² – 14.

в) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(n) = n² – 14.

1380*. Число (5¹²⁵ – 1) ⁄ (5²⁵ – 1) не простое, а составное. Докажите это.

1993 год

1381. Окружность разбита 2n точками на равные дуги. Докажите, что у любой замкнутой 2n-звенной ломаной с вершинами во всех этих точках есть хотя бы два параллельных звена.

1382. Все точки плоскости произвольным образом раскрашены в два цвета — чёрный и белый. Докажите, что найдётся треугольник с вершинами одного цвета и меньшей стороной длины 1, отношение величин углов которого равно а) 1 : 2 : 3; б) 1 : 2 : 4.

1383. Наименьшее из данных n чисел равно m, наибольшее — M, а сумма равна 0. Докажите, что

а) сумма квадратов этих n чисел не превосходит –nmM;

б) сумма четвёртых степеней этих n чисел не превосходит –nmM(M² + Mm + m²).

1384*. ABC — неравнобедренный остроугольный треугольник; O и I — центры описанной и вписанной окружностей, H — ортоцентр треугольника. Докажите, что четырёхугольники AOIH, BOIH и COIH невырождены, причём среди них ровно два выпуклых.

1385*. ABC — произвольный треугольник. а) Для любого равностороннего треугольника XYZ сумма квадратов длин сторон треугольника ABC не превосходит суммы ушестерённой суммы квадратов отрезков AX, BY и CZ и умноженной на четыре квадратных корня из трёх площади треугольника XYZ. Докажите это,

б) Для любого треугольника ABC докажите существование равностороннего треугольника XYZ, для которого неравенство пункта а) обращается в равенство.

1386. Клетки квадрата 7×7 раскрашены в два цвета. Докажите, что найдётся по крайней мере 21 прямоугольник с вершинами в центрах клеток одного цвета и со сторонами, параллельными сторонам квадрата.

1387. Окружность, вписанная в угол с вершиной O, касается его сторон в точках A и B. Луч OX пересекает эту окружность в двух точках С и D так, что OC = CD = 1. Если M — точка пересечения луча OX и отрезка AB, чему равна длина отрезка OM?

1388. Даны различные квадратные трёхчлены f (x) и g (x), старшие коэффициенты которых равны единице. Известно, что f (1) + f (10) + f (100) = g (1) + g (10) + g (100). Укажите такое x, чтобы было выполнено равенство f (x) = f (x).

1389. Во взводе национальной гвардии служат сержанты и рядовые, причём каждый рядовой подчинён одному или двум сержантам. Докажите, что можно уволить в запас не более половины взвода так, что каждым оставшимся рядовым будет командовать ровно один сержант.

1390*. На плоскости расположены несколько единичных кругов. Можно ли отметить несколько точек так, что внутри каждого круга будет находиться ровно одна отмеченная точка?

1391. а) На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁; точки A₂, B₂ и C₂ — середины отрезков B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны.

б) Докажите аналогичное утверждение, если A₁BC, AB₁C и ABC₁ — подобные равнобедренные треугольники (с основаниями AB, BC и CA соответственно).

1392. На плоскости задан четырёхугольник ABCD, в котором AB = BC = CD = 1. Положение точек B и C фиксировано, точки же A и D подвергаются следующим преобразованиям (сохраняющим длины отрезков AB, CD и AD). Новое положение точки A получается из старого симметрией относительно прямой BD, затем новое положение точки D получается из старого симметрией относительно прямой AC (где A уже занимает новое положение), затем опять A отражается относительно BD (D уже новое), затем вновь отражается D и так далее. Докажите, что после нескольких отражений положение всех точек совпадёт с первоначальным.

1393*. В таблице m строк и n столбцов. «Горизонтальным ходом» называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется «вертикальный ход» («строка» в предыдущем определении заменяется на «столбец»). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов матрицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

1394*. Количество рёбер многогранника равно 100.

а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?

Докажите, что для невыпуклого многогранника это число б) может быть больше 96; в) но не может равняться 100.

1395. Назовём человека малообщительным, если у него менее 10 знакомых. Назовём человека чудаком, если все его знакомые малообщительны. Докажите, что количество чудаков не больше количества малообщительных.

1396. Для любых положительных чисел a₁, b₁, a₂, b₂,..., a_n, b_n сумма всех n чисел вида a_kb_k/(a_k + b_k), где 1 £ k £ n, не превосходит величины AB/(A + B), где A = a₁ + a₂ +...+ a_n и B = b₁ + b₂ +...+ b_n. Докажите это.

1397*. По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муравей (таким образом, муравьёв столько же, сколько граней), и все они движутся, обходя каждый свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1 мм/ч. Докажите, что рано или поздно какие-то два муравья столкнутся.

1398. На множестве M всех натуральных чисел, не превосходящих числа 1993, определена операция *, которая по каждым двум числам a и b даёт некоторое число a*b, также принадлежащее множеству M. Для любых двух чисел a и b множества M выполнено равенство (a*b)*a = b. Докажите существование такого числа a, что a*a = a.

1399. Каким может быть наименьший период суммы двух бесконечных периодических дробей, наименьшие периоды которых равны а) 6 и 12; б) 12 и 20?

1400*. Внутри правильного тетраэдра с ребром a летает муха. Какой наименьший замкнутый путь должна она пролететь, чтобы побывать на всех гранях тетраэдра?

1401. Точка K лежит на не содержащей точку A дуге BC описанной окружности треугольника ABC. NK и MK — биссектрисы треугольников AKB и AKC. Докажите, что прямая MN проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

1402. Для любой неубывающей последовательности x₁, x₂, ..., x_n положительных чисел, где n > 2, докажите, что сумма дробей x₁ ⁄ x₂, x₂ ⁄ x₃, ..., x_n ⁄ x₁ не меньше суммы дробей x₂ ⁄ x₁, x₃ ⁄ x₂, ..., x₁ ⁄ x_n.

1403. Каждую сторону выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n, где n > 4, продлим на её длину. Пусть A₂ — середина отрезка A₁B₁, A₃ — середина отрезка A₂B₂, ..., A₁ — середина отрезка A_nB_n. Докажите, что площадь многоугольника B₁B₂...B_n не более чем в 5 раз больше площади исходного многоугольника.

1404. Числа x, y и z удовлетворяют равенствам x + y + z = 0 и xyz = 2. Найдите наибольшее возможное значение суммы дробей x² ⁄ y, y² ⁄ z и z² ⁄ x.

1405. В основании пирамиды с вершиной B лежит правильный n-угольник A₁A₂...A_n. Величины всех углов BA₁A₂, BA₂A₃, ..., BA_n–1A_n, ..., BA_nA₁ одинаковы. Докажите, что пирамида правильная.

1406. На доске написано n выражений вида *x² + *x = *, причём n — нечётное число. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешено заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 2n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может гарантировать себе получить первый игрок?

1407. В семейном альбоме есть а) десять; б) n фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре — мужчина, слева от мужчины — его сын, а справа — его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если все десять (соответственно, n) мужчин, стоящих в центре, различны?

1408. За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: «Кто ваш сосед справа — умный или дурак?» В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F. При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

1409. Докажите существование такого натурального числа n, что если правильный треугольник со стороной длины n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на n² правильных треугольников со стороной 1, то среди вершин этих треугольников можно выбрать 1993n точек, никакие три из которых не являются вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника).

1410. а) Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по отрезку той же длины?

б) Докажите, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объёмы, то их можно так расположить в пространстве, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по многоугольнику той же площади.

1994 год

1411. Каждый житель острова Невезения либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт, причём правдивых — не менее четверти всех жителей. На выборах президента, в которых участвовали все невезенцы, было только два кандидата: Ёлкин и Палкин. На вопрос наблюдателя ООН «за кого Вы голосовали?» большинство невезенцев ответило: «За Палкина»,— а на вопрос «кто победил?» большинство ответило: «Ёлкин».

а) Кто победил на выборах?

б) Можно ли это наверняка определить, если правдивых на острове — лишь одна пятая всех жителей?

1412. Натуральные числа x и y таковы, что сумма чисел, первое из которых равно (x² – 1)/(y + 1), а второе равно (y² – 1)/(x + 1), является целым числом. Докажите, что каждая из дробей - целое число.

1413. Точка M — середина стороны BC выпуклого четырёхугольника ABCD. Величина угла AMD равна 120°. Докажите неравенство AD £ AB + ^BC ⁄ ₂ + CD.

1414. Существует функция f, определённая на множестве всех неотрицательных чисел и такая, что значение f (f (f (...(x)))), где функция f применена n раз, равно: а) x/(x + 1); б) 1 + x + 2x^1/2. Докажите это.

1415. Дано два правильных 10-угольника. В каждой вершине того и другого написано натуральное число, причём сумма чисел на каждом 10-угольнике равна 99. Докажите, что можно отметить на том и другом 10-угольнике несколько подряд стоящих вершин (может быть, одну, но не все) так, что суммы отмеченных чисел будут одинаковы.

1416. Среди бесконечного количества гангстеров каждый охотится за каким-то одним из остальных. Докажите, что существует бесконечное подмножество этих гангстеров, в котором никто ни за кем не охотится.

1417. На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны точки D и E. Отношение величины угла CDE к величине угла BDE равно отношению величины угла CED к величине угла AFD. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если отрезки AE и BD являются а) медианами; б) высотами; в) биссектрисами этого треугольника?

1418. На плоскости задано конечное множество векторов с длинами не больше 1 и суммой S. Докажите, что для любого числа λ между 0 и 1 найдётся некоторое подмножество этих векторов, сумма которых отличается от λS на вектор длиной не больше 1/2^1/2.

1419. Пусть f (x) = xⁿ + 5x^{n – 1} + 3, где n > 1. Докажите, что многочлен f нельзя представить в виде произведения многочленов степени больше 1 с целыми коэффициентами.

1420. Для любых трёх точек P, Q и R плоскости обозначим через m(PQR) наименьшую из высот треугольника PQR. (Если точки лежат на одной прямой, то m(PQR) = 0.) Докажите для любых четырёх точек A, B,C и X плоскости неравенство m(ABC) £ m(ABX) + m(AXC) + m(XBC).

1421. а) В выпуклый четырёхугольник ABCD, у которого углы при вершинах B и D прямые, вписан четырёхугольник с периметром P (его вершины лежат по одной на сторонах четырёхугольника ABCD). Докажите неравенство P > 2BD.

б) В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

1422. Числа 312 500 051 и 1280 000 401 — составные. Докажите это.

1423. Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Могло ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C — последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C — первое? (За победу присуждают одно очко, за ничью — половину очка.)

1424. В строчку выписано 10 целых чисел. Вторую строку выписываем так: под каждым числом a первой строки пишем число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше a и при этом стоят правее a. По второй строке аналогично строим третью и так далее.

а) Докажите, что все строки, начиная с некоторой, нулевые (состоят только из нулей).

б) Каково максимально возможное число строк, содержащих хотя бы одно отличное от нуля число?

1425. Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, величины некоторых трёх внутренних углов которого равны 45°. Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

1426. Через S(n) обозначим сумму цифр десятичной записи числа n. Существуют ли такие три различных числа m, n и k, что

m + S(m) = n + S(n) = k + S(k)?

1427. В каждой клетке квадрата 8 × 8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше а) 15; б) 20?

в) Может ли в аналогичной задаче про квадрат n × n клеток получиться больше чем ^n²⁄₄ частей (для n > 8)?

1428. Подряд выписаны десятичные записи всех натуральных чисел, начиная с единицы, до некоторого n включительно: 12345678910111213....(n). Существует ли такое n, что в этой записи все десять цифр встречаются одинаковое количество раз?

1429. Выпуклый многоугольник разрезан на выпуклые семиугольники (так, что каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников.) Докажите, что найдутся четыре соседние вершины многоугольника, принадлежащие одному семиугольнику.

1430. Монотонно возрастающая последовательность целых чисел a₁, a₂, a₃,... обладает тем свойством, что для любой пары взаимно простых чисел m и n верно равенство a_mn = a_m · a_n; кроме того, a₁ = 1 и a₂ = 2.

а) Докажите равенство a₃ = 3.

б) Докажите равенство a_n = n для любого натурального n.

Взаимно простыми называют числа, не имеющие общего делителя, большего 1.

1431. С натуральным числом проделываем следующую операцию: его последнюю цифру отделяем, умножаем на 4 и прибавляем к оставшемуся числу (скажем, из 1993 получаем 199 + 4 · 3 = 211). С полученным числом проделываем то же самое, и так далее. Докажите, что если в полученной последовательности встретилось число 1001, то в ней нет ни одного простого числа.

1432. Докажите, что для любой последовательности положительных чисел a₁, a₂, a₃,... целые части квадратных корней из чисел b_n = (a₁ + a₂ + ... + a_n)((1/a₁) + (1/a₂) + ... + (1/a_n)).

1433. ABCD — выпуклый четырёхугольник. На лучах BA и DC отложим отрезки BM и DP длиной (AB + CD)/2. Аналогично, на лучах CB и AD отложим отрезки CN и AQ длиной (BC + AD)/2. Докажите, что MNPQ — прямоугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника ABCD.

1434. Пусть Земля плоская. Любой ли выпуклый многогранник можно осветить точечным фонарём из некоторой точки пространства так, что его тень будет многоугольником, хотя бы один угол которого острый?

1435. Докажите, что в любой многочлен P степени больше 1 можно подставить некоторый многочлен Q так, что многочлен P(Q(x)) разлагается на два множителя ненулевой степени. (Коэффициенты всех этих многочленов — целые числа.)

1436. Каков наибольший объём тетраэдра, о котором известно, что длины некоторых а) 4; б) 5; в) всех 6 рёбер не превосходят 1?

1437*. Если первые три члена последовательности — целые неотрицательные числа и если каждый следующий член равен сумме предпредыдущего и предпредпредыдущего, то для любого натурального числа n и для любого простого числа p число a_{n + 3p + 1} – a_{n + p + 1} – a_{n + 1} делится на p.

1438. Докажите, что для любого натурального числа n существует такое число P, что никакое натуральное число, у которого n простых делителей и все они больше P, не может быть совершенным.

1439. а) Длину каждой медианы треугольника разделим на длину соответствующей стороны и сложим эти отношения. Докажите, что полученная сумма не меньше полутора корней квадратных из 3.

б) Длину каждой стороны треугольника разделим на длину проведённой к ней медианы и сложим эти отношения. Докажите, что полученная сумма не меньше двух корней квадратных из 3.

1440*. Прямоугольная доска покрыта одинаковыми плитками размера 1×k каждая. Разрешено вынуть любой состоящий из таких плиток квадрат со стороной k и повернуть его на 90°. Докажите, что такими операциями можно добиться того, чтобы направления всех плиток совпали.

1441. Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что ни в какой момент кузнечики не смогут оказаться в вершинах квадрата большего размера.

1442. Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности ещё раз в точках P и Q, причём P лежит на прямой BM, а Q — на BN. Докажите равенство длин отрезков MP и NQ.

1443. Последовательность x₁, x₂, x₃, ... задана числом x₁, принадлежашщим отрезку [0;1], и рекуррентной формулой x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n |. а) Последовательность периодическая тогда и только тогда, когда число x₁ рациональное. Докажите это.

б*) Сколько существует для данного натурального числа t таких чисел x₁ отрезка [0;1], что длина наименьшего периода последовательности x₁, x₂, x₃, ... равна t?

1444. Существует ли многочлен P, один из коэффициентов которого отрицателен, а все коэффициенты многочленов P², P³, P⁴, ... положительны?

1445. Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулём, которое при вычёркивании некоторой его цифры (не первой) уменьшается в целое число раз.

1446. Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых A, параллельными переносами, переводящими A в каждую из остальных вершин, образованы 8 конгруэнтных многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих многогранников имеют общую внутреннюю точку.

1447. В квадрате размером 10×10 нужно расставить один корабль 1×4, два — 1×3, три — 1×2 и четыре — 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что если расставлять их в

а) указанном порядке (то есть начиная с больших), то этот процесс всегда удастся довести до конца, даже если в каждый момент заботиться только об очередном корабле, не думая о будущих;

б) если расставлять их в обратном порядке, то может возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.

1448. а) В любом ли многоугольнике можно провести хорду, которая делит его на две части равной площади?

б) Любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше ¹⁄₃ площади многоугольника. Докажите это.

Хордой многоугольника называем отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а все остальные точки отрезка являются внутренними точками многоугольника.

1449. Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Докажите, что если каждая из трёх пар биссектрис: внешних углов при вершинах A и C, внешних углов при вершинах B и D, а также внешних углов при вершинах Q и P (треугольников QAB и PBC соответственно) имеет точку пересечения, то эти три точки лежат на одной прямой.

1450. Для любого натурального k > 1 есть такая степень числа 2, что среди k последних цифр её десятичной записи не менее половины составляют девятки. (Например, 2¹² = ...96, 2⁵³ = ...992.)

1451. Натуральные числа a и b таковы, что сумма дробей (a + 1) ⁄ b и (a + 1) ⁄ b целая. Докажите, что квадрат наибольшего общего делителя чисел a и b не превосходит суммы a + b.

1452. Окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается ω₁ и ω₂ в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности ω₂ в точке C и пересекает окружность ω₁ в точках D и E. Докажите, что а) точки A, F и C лежат на одной прямой; б) общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.

1453. Существует ли такой квадратный трёхчлен p с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа n, десятичная запись которого состоит только из единиц, число p(n) записывается тоже только единицами?

1454. Прямоугольник разрезан на уголки. Очевидно, любой уголок ориентирован одним из четырёх способов, изображённых на рисунке. Докажите, что разность между количеством уголков первого типа и количеством уголков второго типа делится на 3.

1455. В вершинах выпуклого n-угольника расставлены более чем n фишек. За один ход разрешено передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну вправо, другую влево. После m ходов в каждой вершине n-угольника оказалось столько же фишек, сколько было вначале. Докажите, что m делится на n.

1456. В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше другого. Если первый учится лучше второго, а второй лучше третьего, то первый учится лучше третьего.)

1457. Высоты AA', BB', CC' и DD' тетраэдра ABCD пересекаются в центре H вписанной сферы тетраэдра A'B'C'D'. Докажите, что тетраэдр ABCD правильный.

1458. В правильном (6n + 1)-угольнике k вершин покрашены в красный цвет, а остальные — в синий. Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.

1459. Петя и Витя по очереди ходят конём на доске размером 1994×1994. Петя может делать только «горизонтальные» ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Вите разрешены только «вертикальные» ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Петя ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. И Вите, и Пете запрещено ставить коня на поле, где конь уже побывал в данной игре. Проигравшим считают игрока, который не может сделать ход. Докажите, что для Пети существует выигрышная стратегия.

1460. В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны вещественные числа. Рассматриваем две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры можно перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрытых ею клетках положительна.

1461. Профессор Тарантого дал n определений сепульки. Аспиранты профессора постепенно доказали равносильность всех этих определений. Каждый из аспирантов защитил диссертацию на тему: «Сепулька в смысле j-го определения является сепулькой в смысле k-го определения.» Какое максимальное количество аспирантов могло быть у Тарантоги, если диссертации защищали последовательно и основной результат любой очередной диссертации не следовал из ранее защищённых?

1462. Для любого натурального n > 1 квадрат корня n-й степени из n! не меньше произведения корня (n + 1)-й степени из (n – 1)! на корень (n – 1)-й степени из (n + 1)!. Докажите это.

1463. Существуют ли такие натуральные числа x и y, что каждое из чисел а) x + y, 2x + y и x + 2y; б) x + y, 2x + y и x + 3y является квадратом натурального числа?

1464. R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника; ρ — радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Докажите, что 2ρ не больше r, а r² не превосходит Rρ.

1465. P, Q, R — многочлены, причём степени многочленов P и Q различны и положительны. а) Докажите, что ни для какого натурального числа k не существует более одного многочлена f степени k со старшим коэффициентом 1 такого, что f (P(x))f (Q(x)) = f (R(x)).

б) Найдите хотя бы один такой непостоянный многочлен f, что f (x)f (2x²) = f (2x³ + x).

в) Найдите все такие многочлены.

1466. Играют два художника. Первый рисует на плоскости (первоначально пустой) один за другим многоугольники, не имеющие общих внутренних точек, а второй последовательно красит их так, чтобы многоугольники, имеющие хотя бы один общий отрезок, были разного цвета. Может ли первый художник заставить второго использовать более а) пяти; б) десяти цветов?

1467. a₁ < a₂ < ... < a_m £ n — такие натуральные числа, что любая сумма вида a_r + a_s, где 1 £ r £ s £ n, либо больше n, либо принадлежит множеству {a₁, a₂, ..., a_n}. Докажите, что среднее арифметическое чисел a₁ < a₂ < ... < a_m не меньше половины числа n + 1.

1468. ABC — треугольник; AB = AC; M — середина отрезка BC; O — такая точка прямой AM, что угол OBA прямой; Q — внутренняя точка отрезка BC; точки E и F лежат на прямых AB и AC соответственно; точки E, Q и F различны и лежат на одной прямой. Докажите, что отрезок OQ перпендикулярен EF тогда и только тогда, когда EQ = QF.

1469. Для любого натурального числа k обозначим через f (k) количество элементов множества { k, k + 1, . . . , 2k }, двоичная запись которых содержит ровно три единицы.

а) Докажите, что для любого натурального числа m существует такое k, что m = f (k).

б) Для каких m такое k единственно?

1470*. Докажите существование такого множества A натуральных чисел, что для любого бесконечного множества S простых чисел существует такое k > 1, что в виде произведения k различных элементов множества S представим как некоторый элемент множества A, так и некоторое натуральное число, не принадлежащее множеству A.

1995 год

1471. Лыжник проехал через каждую из нескольких деревень по два раза и вернулся в исходную точку. Всегда ли по его лыжне можно проехать так, чтобы побывать в каждой деревне ровно один раз? Возвращаться в исходную точку не обязательно.

1 2 3 ... n – 1 n
n 1 2 ... n – 2 n – 1
n – 1 n 1 ... n – 3 n – 2
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
2 3 4 ... n 1
1472. Для каких натуральных n в таблице можно выбрать n различных чисел в разных строках и столбцах?

1473. Обозначим через c_n первую цифру десятичной записи числа 2ⁿ. а) Сколько единиц среди первых 1000 членов этой последовательности? б) В последовательности c₁ = 2, c₂ = 4, c₃ = 8, c₄ = 1, c₅ = 3, ... встречается ровно 57 различных подпоследовательностей длины 13. Докажите это.

1474. На плоскости дан вектор длины 1. Можно провести любую прямую и построить ортогональную проекцию вектора на эту прямую. Полученнуй вектор можно ортогонально спроецировать на вторую прямую, полученный вектор — на третью и так далее. Можно ли таким образом получить перпендикулярный исходному вектору вектор, длина которого не меньше 0,99?

1475. Полоска бумаги размера 1×n разбита на n единичных квадратов. В квадраты записывают числа 1, 2, ..., n следующим образом. Сначала в некоторый квадрат пишут число 1, затем число 2 пишут в один из соседних квадратов, число 3 — в один из соседних с одним из уже занятых квадратов и так далее. (Произвол — в выборе первого квадрата и выбор соседа на каждом шаге.) Сколькими способами это можно сделать?

1476. Не существуют такие простые числа p и q, что 2^p + 1 делится на q, 2^q + 1 делится на p, но p ≠ q. Докажите это.

1477. Существует ли выпуклый а) 5-угольник; б) n-угольник, где n — данное натуральное число, n > 2, от которого можно отрезать подобный ему многоугольник?

1478. Существует ли такой многочлен P(x) = x⁴ + bx² + c, что b > 0, c > 0 и а) уравнение P(x) = x² не имеет вещественных корней, а уравнение P(P(x)) = x² имеет хотя бы один вещественный корень; б) уравнение P(x) = x² имеет хотя бы один вещественный корень, а уравнение P(P(x)) = x² не имеет ни одного вещественного корня.

1479. Число 26 можно тремя способами разложить в сумму четырёх натуральных чисел так, что все 12 чисел различны:

26 = 1 + 6 + 8 + 11 = 2 + 5 + 9 + 10 = 3 + 4 + 7 + 12.

Для каждого натурального n обозначим через K(n) наибольшее количество четвёрок натуральных чисел, сумма чисел каждой из которых равна n, а все 4K(n) чисел различны. Докажите равенство K(n) = [(n – 2) ⁄ 8].

1480*. Назовём ежом тело, составленное из куба и шести приклеенных к нему (в точности по граням) кубов того же размера. Кнопкой назовём тело, полученное из ежа отбрасыванием одного из кубиков (не центрального). Назовём 2-ежом состоящее из 13 кубиков тело, полученное приклеиванием к одному (центральному) кубу по 2 куба в каждом из 6 направлений. Разбейте пространство на а) ежи; б) кнопки; в) 2-ежи. г) Придумайте ещё фигуры из кубов, на которые можно разбить пространство.

1481. AK — биссектриса треугольника ABC, D — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине B с описанной окружностью. Докажите, что если BC > AB, то разность между отношением синуса угла BAC к синусу угла ACB и отношением синуса угла CDK к синусу угла BDK равна 1.

1482. Найдите все такие натуральные числа x, что десятичная запись числа 1 + 2 + ... + x получается из числа x приписыванием к десятичной записи числа x слева цифры 1.

1483. Найдите наименьшую возможную длину суммы семи векторов единичной длины, у каждого из которых и абсцисса, и ордината неотрицательны.

1484. Можно ли разбить пространство на конгруэнтные а) тетраэдры; б) равногранные тетраэдры; в) разногранные тетраэдры? (Тетраэдр называем разногранным, если ни одна его грань не конгруэнтна ни одной другой.)

1485. Для любой неубывающей последовательности x₁, x₂, ..., x_n неотрицательных чисел докажите, что значение выражения x₂^k(x₁ – x₃) + x₃^k(x₂ – x₄) + ... + x₁^k(x_n – x₂) неотрицательно при k > 1 и неположительно при 0 < k < 1.

1486. Можно ли из чисел 1, ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄, ¹⁄₅, ... выбрать последовательность из а) 5; б) n; в) бесконечного множества чисел, каждое из которых, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих?

1487*. H — точка пересечения высот, O и I — центры описанной и вписанной окружностей неравностороннего треугольника. Докажите, что из трёх отрезков OH, IH и OI наибольший — OH.

1488. а) Существует ли бесконечная последовательность квадратов натуральных чисел, в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих?

б) Существует ли возрастающая последовательность квадратов натуральных чисел, сумма любых двух соседних членов которой — квадрат целого числа?

1489. Для каких прямоугольников размером m×n на клетчатой бумаге, в клетках которых расставлены нули и единицы, можно из любой расстановки получить любую другую, если разрешено менять одновременно все числа одной строки, все числа одного столбца и все числа любой диагонали (в частности, любой угловой клетки)?

1490*. Пусть x, y, z — длины сторон треугольника, периметр которого меньше π. Докажите, что а) из синусов чисел x, y, z можно составить треугольник; б) площадь этого треугольника не превосходит ¹⁄₈ суммы синусов чисел 2x, 2y и 2z.

1491*. а) Существуют ли такие 1995-значные числа a и b, что 3990-значное число, полученное приписыванием к десятичной записи числа a справа десятичной записи числа b, кратно числу, полученному приписыванием к десятичной записи числа b справа десятичной записи числа a?

б) Для каких натуральных n существует пара таких n-значных чисел?

1492. M — произвольная точка плоскости; AH, BK и CL — высоты треугольника ABC. Докажите, что описанные окружности треугольников AHM, BKM и CLM пересекаются ещё в некоторой точке, отличной от точки M.

1493*. Обозначим s(n) = 1¹ + 2² + ... + nⁿ. Пусть n > 3. Докажите неравенства а) 3s(n) > (n + 1)ⁿ; б) 2s(n) < (n + 1)ⁿ. в) Докажите, что сумма чисел, обратных к числам s(n), s(n + 1), s(n + 2), s(n + 3), ..., меньше числа, обратного числу nⁿ.

1494. Любой прямоугольный треугольник разрешено разрезать на два по высоте, опущенной на гипотенузу. Можно ли, начав с четырёх одинаковых прямоугольных треугольников, добиться того, чтобы все треугольники стали разного размера?

1495*. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник описанный тогда и только тогда, когда сумма величин, обратных к радиусам вписанных окружностей треугольников AOB и COD, равна сумме величин, обратных к радиусам вписанных окружностей треугольников BOC и DOA.

1496. Рассмотрим решения в натуральных числах уравнений вида x₁² + x₂² + ... + x_n² = kx₁x₂...x_n. Докажите следующие утверждения.

а) Для любого натурального k существует бесконечно много таких n, что уравнение имеет хотя бы одно решение.

б) Для любого натурального k > 3 найдите наименьшее n > k, для которого уравнение имеет хотя бы одно решение.

в) Если n = 3, то уравнение имеет решение лишь при k = 1 или 3.

г) Если k = 2, то при n = 4 или 5 решений нет, а при n = 7 — есть.

д) Если k = 3, то при n = 4 решений нет, а при n = 6 — есть.

е) Фиксируем k и n > 1. Верно ли, что если уравнение имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их бесконечно много?

1497. На торической доске размером 15×15 нельзя расставить ферзей, не бьющих друг друга. Докажите это. (Другими словами, не существуют 15 пар натуральных чисел, не превосходящих числа 15, для которых различны как все первые числа всех пар, так и все вторые числа всех пар, все остатки от деления на 15 сумм чисел пар и, наконец, все остатки от деления на 15 разностей первого и второго чисел пар.)

1498. Для каждого натурального n > 1 решите систему уравнений x₁x_n = 2, x_k+1(x_n – x_k) = 1 при 0 < k < n.

1499*. Число 2 представимо в виде суммы трёх четвёртых степеней рациональных чисел бесконечным множеством способов. Докажите это.

1500*. В любой состоящей из 50 человек компании существуют двое, имеющие среди остальных чётное число (быть может, 0) общих знакомых. Докажите это.

1502. Прямая отрезает от правильного n-угольника треугольник APQ так, что PA + AQ = AB>, где A и B — соседние вершины n-угольника. Найдите сумму величин углов, под которыми отрезок PQ виден из всех вершин n-угольника, кроме A.

1503. Все натуральные числа раскрашены в два цвета — чёрный и белый. Сумма любого чёрного и любого белого чисел чёрная, а произведение любого чёрного и любого белого чисел белое. а) Докажите, что произведение любых двух белых чисел — белое. б) Опишите все возможные варианты варианты раскраски.

1504. а) Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что если сумма дробей ^a⁄_b, ^b⁄_c и ^c⁄_a является целым числом, то сумма дробей ^b⁄_a, ^c⁄_b и ^a⁄_c не является целым числом?

б) Если числа a, b и c, а также сумма дробей ^a⁄_b, ^b⁄_c, ^c⁄_a, равно как и сумма дробей ^b⁄_a, ^c⁄_b, ^a⁄_c являются натуральными числами, докажите равенства a = b = c.

1505. Вершины A, B и B, C треугольника ABC являются соответственными вершинами двух подобных параллелограммов ABDE и BCFG, построенных на сторонах AB и BC вне треугольника. Докажите, что медиана BM треугольника ABC при продолжении образует с прямой DG углы, равные углам параллелограммов.

1506. Любой отрезок числовой оси можно разбить на несколько чёрных и белых отрезков так, что сумма интегралов по белым отрезкам от а) любого квадратного трёхчлена; б) любого многочлена степени не выше данной равна сумме интегралов по чёрным отрезкам. Докажите это.

1507. M — основание перпендикуляра, опущенного из центра O вписанной окружности четырёхугольника ABCD на прямую AC. Докажите, что точка O равноудалена от прямых BM и DM.

1508. Судьям принесли собой 80 банок денег. Массы всех банок различны и известны (имеется список). Этикетки потерялись, и только принесший банки адвокат помнит, где что. Он хочет доказать это судьям, используя только список и чашечные весы со стрелкой, показывающей разность весов грузов на чашках. Докажите, что он а) может это сделать за четыре взвешивания; б) не может за три.

1509. На плоскости расположено несколько точек, соединённых непересекающимися дугами. На каждой дуге написано одно из чисел 1, 2, 3. В каждой точке сходятся три дуги, занумерованных разными числами. Припишем каждой точке знак плюс или минус в зависимости от того, в каком порядке (по часовой стрелке или против неё) встречаются номера 1, 2, 3 входящих в неё дуг. Докажите, что разность количеств положительных и отрицательных точек делится на 4.

1510. Существует а) хотя бы одно составное число n, что разность 3^n–1 – 2^n–1 кратна n; б) бесконечно много таких натуральных n. Докажите это.

1511. На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка A — одна из двух точек пересечения этих окружностей. В каждой окружности проведён диаметр, параллельный касательной, проведённой в точке A к другой окружности, причём эти диаметры не пересекаются. Докажите, что концы этих диаметров лежат на одной окружности.

1512. а) f (x) — многочлен чётной степени, отличный от 0. Докажите, что существует такое натуральное число k, что многочлен f (x) + f (x + 1) + ... + f (x + k) не имеет вещественных корней.

б) f (x) — многочлен нечётной степени. Докажите, что существует такое натуральное число k, что многочлен f (x) + f (x + 1) + ... + f (x + k)имеет ровно один вещественный корень.

1513*. Докажите, что разность между тангенсом угла 3π ⁄ 7 и учетверённым синусом угла π ⁄ 7 равна квадратному корню из 7.

1514. Прямоугольник разбит на доминошки (то есть прямоугольники 1×2). Докажите, что его клетки можно так раскрасить в два цвета, чтобы любая доминошка в данном разбиении содержала клетки разных цветов, но в любом другом разбиении этого прямоугольника на доминошки нашлась бы доминошка, содержащая две клетки одного цвета.

1515. f (x), g (x) и h (x) — квадратные трёхчлены. Может ли уравнение f (g (h (x))) = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

1516. Имеются три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа камней в куче, в которую он кладёт камень, и числа камней в куче, из которой он берёт камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если указанная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму денег (если Сизиф не может расплатиться, то Зевс великодушно позволяет ему совершить перетаскивание в долг).

В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых они лежали первоначально. Каков наибольший суммарный заработок Сизифа на этот момент?

1517. Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается единожды и при этом для любого натурального числа k сумма первых k членов последовательности делится на k?

1518. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.

1519*. На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешено, измерив циркулем расстояние между любыми двумя отмеченными точками, провести окружность с этим радиусом и центром в любой отмеченной точке. Линейкой разрешено провести прямую через любые две отмеченные точки. При каждом построении отмечаем все точки пересечения проведённых линий. Пусть Ц(n) — наименьшее количество линий, которые позволяют только циркулем построить две отмеченные точки на расстоянии n одна от другой, где n — натуральное число; ЛЦ(n) — то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность частных Ц(n) / ЛЦ(n) не ограничена.

1520*. Старшие коэффициенты многочленов P(x) и Q(x) равны 1. Докажите, что сумма квадратов многочленов P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).

1521. Каждый из 256 депутатов парламента ответил на каждый 8 вопросов «да» или «нет». Любые два из них ответили по разному хотя бы на один из вопросов. Можно ли их так рассадить на 256 стульев, расставленных в виде квадрата размером 16×16, чтобы ответы каждого отличались от ответа любого из его соседей справа, слева, спереди или сзади ровно по а) одному вопросу; б) семи вопросам?

1522. Для любых натуральных чисел d, k и m существует такое натуральное число n, что k-я степень суммы квадратных корней из чисел m и m + d равна сумме квадратных корней из чисел n и n + d. Докажите это. Решение М1522.

1523. Пусть a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 4, a₅ = 5 и a_n+1 = a₁ a₂ ... a_n – 1 при n > 4. Докажите равенство a₁² + a₂² + ... + a₇₀² = a₁²a₂²... a₇₀².

1524. P — точка пересечения диагоналей описанного четырёхугольника ABCD. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABP, BCP, CDP и DAP лежат на одной окружности.

1525. A, B, C и D — различные точки прямой, расположенные в указанном порядке. Окружности с диаметрами AC и BD пересекаются в точках X и Y. Прямые XY и BC пересекаются в точке Z. Точка P принадлежит прямой XY и отлична от точки Z. Прямая CP пересекает окружность с диаметром AC в точках C и M; прямая BP пересекает окружность с диаметром BD в точках B и N. Докажите, что прямые AM, DN и XY пересекаются в одной точке.

1526. Для любых положительных чисел a, b и c, произведение которых равно 1, сумма обратных величин чисел a³(b + c), b³(c + a) и c³(a + b) не меньше ³⁄₂. Докажите это.

1527. Найдите все натуральные числа n > 3, для которых существуют такие точки A₁, A₂, ..., A_n плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и такие числа s₁, s₂, ..., s_n, что площадь любого треугольника AkAlAm, где 0 £ k < l < m £ n, равна s_k + s_l + s_m.

1528. Найдите наибольшее x₀, для которого существуют такие числа x₀, x₁, ..., x₁₉₈₅, что выполнены следующие условия: x₀ = x₁₉₈₅ и для любого натурального числа k £ 1985 сумма числа x_k–1 и удвоенного обратного к нему равна сумме числа 2x_k и числа, обратного числу x_k.

1529. ABCDEF — выпуклый шестиугольник, AB = BC = CD, DE = EF = FA и величина угла BCD равна величине угла EFA. Точки G и H лежат внутри шестиугольника ABCDEF. Выведите неравенство AG + GB + GH + DH + HE ³ CF а) из равенств 120° величин углов AGB и DHE; б) в общем случае.

1530. Пусть p — нечётное натуральное число. Найдите количество p-элементных подмножеств множества {1, 2, 3, . . . , 2p}, сумма всех элементов которого делится на p.

1996 год

1531. На плоскости дан квадрат и невидимая точка P. Разрешено провести любую прямую и спросить, по какую сторону от неё (или на самой прямой) лежит точка P. За какое наименьшее число вопросов можно выяснить, лежит ли точка P внутри квадрата?

1532. Существуют ли а) 4 различных натуральных числа; б) 5 различных натуральных чисел; в) 5 различных целых чисел; г) 6 различных целых чисел таких, что сумма любых трёх из них — простое число?

1533. На плоскости даны точки A, B и C. Проведите через точку C прямую, произведение расстояний до которой от точек A и B наибольшее. Всегда ли такая прямая единственна?

1534. Для любых n положительных чисел разность между их суммой и умноженным на n корнем n-й степени из произведения рассматриваемых n чисел не меньше квадрата разности квадратных корней из наибольшего и наименьшего этих чисел. Докажите это.

1535. Куб с ребром 1 надо обшить в один слой куском ткани. а) Докажите, что если узелки, где сходятся по крайней мере три шва, могут лежать только в вершинах, то сумма длин швов не меньше 7. б) Может ли эта длина быть меньше 6,5?

1536. Существуют ли а) два; б) три конгруэнтных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают? (Многоугольник — это часть плоскости, ограниченный замкнутой несамопересекающейся ломаной.)

1537. Про n чисел, произведение которых равно p, известно, что разность между числом p и каждым из этих чисел — нечётное целое число. Докажите, что все эти числа иррациональны.

1538. Прямоугольник размером a×b, где a > b, разбит на прямоугольные треугольники, граничащие между собой только по сторонам целой длины так, что общая сторона любых двух треугольников является катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что a не менее чем в два раза больше, чем b.

1539. Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего ортоцентры (точки пересечения высот) треугольников ABC и DEF, где A, B, C, D, E, F — эти шесть пальм, но он не знает, какой буквой обозначена каждая пальма. Докажите, что тем не менее он может найти клад с первой же попытки.

1540. В компанию, состоящую из n человек, пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек Z, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: «Знаете ли Вы такого-то?»

а) Может ли журналист установить, кто в компании — Z, задав менее n вопросов?

б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти Z; докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя. (Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.)

1541. Вдоль лыжной трассы расставлено в ряд бесконечное число кресел, занумерованных по порядку натуральными числами. Кассир продала билеты на первые m мест, но на некоторые места она продала не один билет, и общее количество проданных билетов больше m. Зрители входят на трассу по одному. Каждый, подходя к месту, указанному на его билете, занимает это место, если оно свободно, а если место занято, говорит «Ох!» и идёт к следующему по номеру месту. Если оно свободно, то занимает его, снова говорит «Ох!» и движется дальше — до свободного места. Докажите, что общее количество «охов» не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.

1542. а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать справа ещё 6 цифр так, чтобы полученное число было квадратом натурального числа?

б) Тот же вопрос про число, начинающееся на 1.

в) Найдите для каждого натурального n такое наименьшее число k, что к любому n-значному числу можно так приписать справа k цифр, чтобы полученное (n + k)-значное число было квадратом натурального числа.

1543. В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P. Построены биссектрисы PK, PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA. а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой точки K, L, M и N, лежащие соответственно на отрезках AB, BC, CD и DA, являются вершинами параллелограмма.

б) Найдите все такие точки P.

1544. Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия из а) 11; б) 1000; в) бесконечного множества натуральных чисел, суммы цифр десятичных записей членов которой также составляют арифметическую прогрессию?

1545. Имеются доска размером 1 × 1000 и n фишек. Играют двое. Ходят по очереди. Первый своим ходом выставляет на доску не более 17 фишек, по одной на любое свободное поле. Можно все 17 взять из кучи, а можно только часть, скажем k < 17 штук — из кучи, и ещё не более 17 – k фишек переставить на доске. Второй снимает с доски любую серию фишек, то есть несколько фишек, стоящих подряд (без пробелов между ними), и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все n фишек в одну серию. Докажите, что первый игрок при а) n = 98 может выиграть; б) n > 98 — нет.

1546. На боковой стороне AB равнобедренного треугольника ABC с углом α при вершине A взята точка D так, что AD = AB ⁄ n. Найдите сумму n – 1 углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих основание BC на n равных частей, если а) n = 3; б) n — любое натуральное число.

1547. 8 школьников решали 8 задач. Каждую задачу решили а) 5 школьников; б) 4 школьника. Докажите, что найдутся такие два ученика, что каждую задачу решил хотя бы один из них.

1548. а) Найдите многочлен с целыми коэффициентами четвёртой степени, среди корней которого есть число, являющееся суммой корня четвёртой степени из суммы числа 2 и корня из 3 и корня четвёртой степени из разности числа 2 и корня из 3.

б) Найдите многочлен с целыми коэффициентами пятой степени, среди корней которого есть число, являющееся суммой корня пятой степени из суммы числа 2 и корня из 3 и корня пятой степени из разности числа 2 и корня из 3.

в) Докажите для любого натурального n существование многочлена с целыми коэффициентами n-й степени, одним из корней которого есть число, являющееся суммой корня етвёртой степени из суммы числа 2 и корня из 3 и корня четвёртой степени из разности числа 2 и корня из 3.

1549. Для любого многочлена P(x) ненулевой степени с целыми коэффициентами, старший из которых положителен, и любого натурального числа k существует такое целое число m, что числа P(m), P(m + 1),..., P(m + k) — составные.

1550. В 2ⁿ строках таблицы размером n×2ⁿ выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, а затем некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое такое подмножество строк, что а) сумма чисел выбранных строк равна 0; б) сумма выбранных строк равна нулевой строке, то есть в любом столбце сумма чисел выбранных строк равна 0.

1551. Вершины шестизвенной замкнутой ломаной лежат на окружности. Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь такая ломаная?

1552. Обозначим через P_n(x) = 1 + x + x² + ... + x^n–1 многочлен (n – 1)-й степени, все коэффициенты которого равны 1. Докажите следующие утверждения. а) Для любого натурального числа s существует такое натуральное число k, что многочлен P_k(x) можно разложить в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами, свободные члены которых равны 1, а коэффициент при первой степени переменной в одном из этих множителей равен s. б) Такое k существует не только для любого натурального, но и для любого целого числа s.

1553. Из чисел ¹⁄₂, ¹⁄₃, ¹⁄₄, ..., ¹⁄₁₀₀ составим всевозможные подмножества, каждое из которых состоит из чётного числа элементов, и для каждого такого подмножества вычислим произведение всех его элементов. Найдите сумму всех таких произведений.

1554. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN, BCKL и ACPQ. Выразите разность квадратов длин отрезков NQ и PK через разность площадей квадратов ABMN и BCKL.

1555. Даны два непересекающихся круга и такая точка P, что длины всех четырёх касательных PA, PB, PC и PD равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных этих кругов.

1556. Существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что а) число n представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа n – 1 и n + 1 не представимы; б) каждое из чисел n – 1, n и n + 1 представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Докажите это.

1557. Точки A и B — две данные точки данной окружности. Найдите множество середин хорд этой окружности, пересекающих отрезок AB.

1558. Игра происходит на доске размером n×n. Двое поочередно передвигают по доске ладью; при этом не разрешено, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле, на котором она уже побывала или через которое уже проходила. Изначально ладья стоит в углу доски. Проигравшим считают того, кому некуда ходить. Для кого существует выигрышная стратегия: для начинающего игру или для его противника?

1559. Существует ли куб, расстояния от вершин которого до некоторой плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7?

1560. В некотором государстве человек может быть зачислен в гвардию лишь в случае, если он выше ростом, чем не менее 80% его соседей — людей, живущих на расстоянии менее R от него. В этом же государстве человека освобождают от службы в армии, если он ниже ростом, чем не менее 80% его соседей — людей, живущих на расстоянии менее r от него. Может ли случиться, что не менее 90% населения имеют право на зачисление в гвардию и не менее 90% освобождены от армии? (Значения r и R должны быть выбраны так, чтобы для любого человека множества соседей были непустыми.)

1561. Никакие две стороны выпуклого многоугольника не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от содержащей эту сторону прямой. Докажите, что сумма величина таких углов равна 180°.

1562. Можно ли прямоугольник размером 5×7 покрыть не выходящими за его пределы трёхклеточными уголками (то есть фигурами, получаемыми из квадрата размером 2×2 удалением одной клетки) так, чтобы каждая клетка прямоугольника была покрыта одним и тем же числом слоёв?

1563*. Если ни одно из чисел a₁, a₂, ..., a_m не равно 0 и a₁ + a₂ · 2^k + a₃ · 3^k + ... + a_m · m^k = 0 для любого неотрицательного k, где k £ n < m – 1, то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

1564*. Существует ли такое конечное множество M вещественных чисел, ни одно из которых не равно 0, что для любого натурального n существует многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого вещественны и тоже принадлежат множеству M?

1565*. Существует ли такое конечное множество M вещественных чисел, что 0 О M и для любого натурального n существует многочлен степени не меньше n с коэффициентами из множества M, все корни которого вещественны и тоже принадлежат множеству M?

1566. Дума состоит из 1600 депутатов, которые образовали 16 000 комитетов по 80 человек в каждом. Докажите существование двух комитетов, имеющих не менее чем 4 общих членов.

1567*. Центры A, B и C трёх непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами расположены в вершинах треугольника. Из точек A, B и C проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый четырёхугольник, стороны которого через одну покрашены двумя цветами. Докажите, что сумма длин отрезков одного цвета равна сумме длин отрезков другого цвета.

1568. При n > 4 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник, не может являться правильным (n + 1)-угольником. Докажите это.

1569*. Придумайте многочлен с рациональными коэффициентами, минимальное значение которого равно а) минус корню из 2; а) корню из 2.

в) Не существует многочлена четвёртой степени, удовлетворяющего условию пункта б). Докажите это.

г) Существуют ли многочлены с целыми коэффициентами, один из которых удовлетворяет условиям пункта а), а другой — условиям пункта б)?

1570. Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого многогранника с 6 вершинами. Хотя бы один из его двугранных углов прямой. Докажите, что у него ровно 6 прямых двугранных углов.

1571. Прямоугольная доска ABCD со сторонами AB = 20 и BC = 12, разбита на 20 · 12 = = 240 единичных квадратов. Пусть r — натуральное число. За один ход монету можно передвинуть из одного единичного квадрата в другой в том и только том случае, когда расстояние между их центрами равно квадратному корню из r. Требуется найти последовательность ходов, переводящих монету из единичного квадрата с вершиной A в единичный квадрат с вершиной B.

а) Это невозможно, если r делится на 2 или 3. Докажите это.

б) Это можно сделать, если r = 73. Докажите это.

в) Можно ли это сделать при r = 97?

1572. Внутри треугольника ABC нашлась такая точка P, что разность величин углов APB и ACB равна разности величин углов APC и ABC. Обозначим буквами D и E центры вписанных окружностей треугольников APB и APC. Докажите, что пересекаются в одной точке прямые а) AP, BD и CE; а) AP, BE и CD.

1573. Натуральные числа x и y таковы, что числа 15x + 16y и 16x – 15y являются квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное значение, которое может принимать минимальный из этих квадратов.

1574. ABCDEF — выпуклый четырёхугольник, причём AB || DE, BC || EF и CD || AF. Докажите, что сумма радиусов описанных окружностей треугольников ABF, BCD и DEF не меньше полупериметра шестиугольника ABCDEF.

1575. n, p, q — такие натуральные числа, что n > p + q, а x₀, x₁, ..., x_n — такие целые числа, что x₀ = x_n = 0 и для любого натурального k, где k £ n, разность x_k – x_k–1 равна p или –q. Докажите существование таких чисел k и m, что 1 £ k < m £ n и x_k = x_m.

1997 год

1576. а) Можно ли отметить на плоскости 4 красные и 4 чёрные точки так, чтобы для любых трёх точек одного цвета нашлась точка другого цвета, являющаяся вместе с тремя рассматриваемыми точками вершиной параллелограмма?

б) Можно ли 4 вершины куба покрасить красной краской, а 4 — чёрной так, чтобы в любой плоскости, проходящей через три вершины одного цвета, лежала хотя бы одна вершина другого цвета?

1577. В треугольнике отношение синуса некоторого угла к косинусу другого равно тангенсу третьего. Докажите, что высота, проведённая из вершины первого угла, медиана, проведённая из вершины второго, и биссектриса третьего угла пересекаются в одной точке.

1578*. Не существует ни одной всюду определённой функции f, удовлетворяющей равенству f (f (x)) = x² – 1997 для любого x. Докажите это.

1579. Пусть A', B', C', D', E' и F' — середины сторон AB, BC, CD, DE, EF и FA соответственно выпуклого шестиугольника ABCDEF. Выразите площадь шестиугольника ABCDEF через площади треугольников ABC', BCD', CDE', DEF', EFA' и FAB'.

1580. Можно ли несколькими отрезками и дугами разрезать круг на части и сложить из этих частей квадрат той же площади?

1581*. а) Существует ли такое шестизначное число a, что ни одно из чисел a, 2a, ..., 500 000a не оканчивается шестью одинаковыми цифрами?

б*) Для любого натурального числа k, не равного 1, найдите такое наименьшее натуральное число n, что для любого натурального a хотя бы одно из чисел a, 2a, ..., na оканчивается k одинаковыми цифрами.

1582. По кругу выложены n карточек оборотной стороной вверх. На карточках написаны неизвестные различные числа. Разрешено переворачивать карточки по одной, всего не более k штук. Научитесь находить такую карточку, что написанное на ней число больше чисел обеих её соседок, если а) n = 5 и k = 4; б) n = 76 и k = 10; в) n = 199 и k = 12.

1583. а) Длина медианы тетраэдра (то есть длина отрезка, соединяющего вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани) не превосходит среднего арифметического длин рёбер, выходящих из той же вершины. Докажите это.

б) Обязательно ли длина биссектрисы тетраэдра (то есть длина отрезка, идущего от вершины к противоположной грани и равнонаклонённого к содержащим эту вершину граням) меньше половины суммы длин рёбер, выходящих из той же вершины?

в) Верно ли для биссектрисы неравенство пункта а)?

1584. Бесконечная последовательность получается почленным сложением двух геометрических прогрессий. Может ли такая последовательность начинаться с чисел а) 1, 1, 3 и 5; б) 1, 2, 3 и 5; в) 1, 2, 3 и 4; г) 1, 2, 3 и 2?

д) Если первые четыре члена такой последовательности — рациональные числа, то и все другие члены этой последовательности — рациональные числа. Докажите это.

1585. а) В новой лотерее на карточке размером 6×6 надо отметить 6 клеток. При розыгрыше лотереи называют 6 «чёрных» (проигрышных) клеток. Билет считаем выигрышным, если на нём не отмечено ни одной чёрной клетки. Какое наименьшее число билетов нужно купить, чтобы наверняка среди них был хоть один выигравший?

б) Решите эту задачу для карточки размером k×k, из которых надо отмечать k, при чётном k.

1586. Из некоторого прямоугольника вырезан равносторонний треугольник так, что одна из его вершин находится в вершине прямоугольника, а две другие лежат на сторонах прямоугольника, не содержащих эту вершину. Докажите, что площадь одного из оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме площадей двух других.

1587. Решите систему уравнений (x + y)(a – y) = (1 + xy)(1 – ay) и (x – y)(b – x) = (1 – xy)(1 – bx), где a и b — данные положительные числа.

1588. Два чеканщика играют в следующую игру. Они по очереди чеканят новые монеты достоинством в целое число рублей каждая. При очередном ходе не разрешено чеканить монету в один рубль, а также монету, которая уже отчеканена или достоинство которой можно получить как сумму достоинств любых нескольких (не обязательно разных) уже отчеканенных монет. Проигрывает тот, кто не может отчеканить новую монету.

а) Игра не может длиться бесконечно. Докажите это.

б) Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник?

1589. Для любой раскраски плоскости в 5 цветов найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми отличается от 1 не более чем на 0,001. Докажите это.

1590. На границе круглого острова расположены по очереди четыре порта: 1, 2, 3 и 4. На этом острове имеется плоская сеть дорог с односторонним движением, не имеющая кольцевых маршрутов: выехав из какого-либо порта или с развилки дорог, нельзя вернуться в этот же пункт снова. Для любых двух портов m и n обозначим через f_mn количество различных путей из порта m в порт n.

а) Докажите, что f₁₄f₂₃ не меньше числа f₁₃f₂₄.

б) Предположим, что на окружности острова шесть портов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6, перечисленных по часовой стрелке. Докажите, что f₁₆f₂₅f₃₄ + f₁₅f₂₄f₃₆ + f₁₄f₂₆f₃₅ не меньше числа f₁₆f₂₄f₃₅ + f₁₅f₂₆f₃₄ + f₁₄f₂₅f₃₆.

1591. BL и AK — биссектрисы треугольника ABC; KL — биссектриса треугольника AKC. Найдите величину угла BAC.

1592. Представимо ли число 1997¹⁹⁹⁷ в виде суммы кубов нескольких подряд идущих целых чисел?

1593. Имеется набор гирек: а) 1, 2, 4, 8 и 16 граммов; б) 1, 2, 4, . . . , 2⁹ = 512 граммов. Разрешено класть гири на обе чаши весов. Какие грузы можно взвесить наибольшим числом способов?

1594. Известно, что f (xf (y)) = f (x)y, где f — определённая на множестве всех вещественных чисел и принимающая вещественные значения функция. а) Докажите тождество f (xy) = f (x)f (y).

б) Придумайте три функции, удовлетворяющие условиям задачи.

1595. Точка O лежит внутри треугольника ABC. Если величины углов ABC, BAC, OAC и OCA равны соответственно 80°, 50°, 40° и 30°. Найдите величину угла BOC.

1596. Функция f определена и непрерывна на отрезке [0; 5], причём интеграл от неё по всему отрезку равен нулю. Докажите, что частью отрезка [0; 5] является хотя бы один отрезок длины 2, интеграл по которому равен нулю. Решение М1596.

1597. a, b, c — положительные числа, произведение которых равно 1. Докажите, что сумма обратных величин чисел 1 + 2a, 1 + 2b и 1 + 2c не меньше 1; сумма обратных величин чисел 1 + a + b, 1 + b + c и 1 + c + a не больше 1.

1598. Пусть n > 1 и 1 + x + ... + xⁿ = f (x)g (x), где F и G — многочлены с неотрицательными коэффициентами. Докажите, что а) все коэффициенты этих многочленов — нули и 25 единицы; б) один из многочленов f (x) и g (x) представим в виде (1 + x + ... + x_k)T(x), где k > 0, а коэффициенты многочлена T — нули и единицы.

1599. Из последовательности 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, ... первых цифр степеней числа 2 выбираем несколько цифр подряд и записываем их в обратном порядке. Докажите, что эти цифры встретятся, начиная с некоторого места, подряд в последовательности первых цифр степеней числа 5.

1600. На плоскости дан круг диаметра 1 и несколько полос, сумма ширин которых равна 100. Докажите, что полосы можно параллельно передвинуть так, чтобы они покрыли данный круг.

1601. f — нечётная возрастающая функция. Докажите, что для любых чисел a, b и c, сумма которых равна 0, сумма f (a) f (b) + f (b)f (c) + f (c)f (a) неположительна.

1602. В вершинах выпуклого 1997-угольника расположены 1997 фишек. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки — оставить на месте. Могли ли после а) 9; б) 10 ходов все фишки оказаться на одной прямой?

1603. Обозначим (x)₊ = max{x, 0}. а) Площадь пересечения квадрата, заданного неравенствами 0 £ x £ 1 и 0 £ y £ 1, с полуплоскостью ax + by £ c, где a, b и c — положительные числа, равна частному от деления на 2ab суммы (c)₊² – (c – a)₊² – (c – b)₊² + (c – a – b)₊². Докажите это.

б) Выведите аналогичную формулу для объёма пересечения куба, заданного неравенствами 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1 и 0 £ z £ 1, с полупространством, заданным неравенством ax + by + cz £ d, где a, b, c и d — положительные числа.

1604. Внутри выпуклого многоугольника F расположен выпуклый многоугольник G. Хорду многоугольника F — отрезок с концами на границе многоугольника F — называют опорной к многоугольнику G, если хорда пересекает G только по границе: либо по одной вершине, либо по одной стороне. Докажите существование а) по крайней мере одной опорной хорды, середина которой лежит на границе многоугольника G; б) по крайней мере двух таких хорд.

1605. На n карточках написаны попарно различные числа. Карточки разложены на столе по кругу числами вниз. Разрешено перевернуть всего не более k карточек. Докажите, что найти такие три подряд идущие карточки, что число, написанное на средней из них, больше двух остальных, при а) n = 5 и k = 4; б) n = 76 и k = 10; в) n = 199 и k = 12.

1606. Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE с концами на сторонах AB и BC, параллельный стороне AC и видимый из середины стороны AC под прямым углом.

1607. Корень трёхчлена ax² + bx + b умножили на корень трёхчлена ax² + ax + b и получили в произведении 1. Найдите эти корни.

1608. На фестиваль военно-морской песни приглашены хоры из 100 стран. Каждый хор должен исполнить три песни и сразу уехать домой. Ознакомившись с текстами песен, организаторы обнаружили, что каждая песня оскорбительна для одной из участвующих стран. Докажите, что они могут назначить порядок выступлений таким образом, чтобы никому не пришлось выслушивать более трёх оскорбительных для его страны песен.

1609. P(x) — а) квадратный трёхчлен; б) многочлен чётной степени с неотрицательными коэффициентами. Для любых действительных чисел x и y докажите неравенство (P(xy))² £ P(x²) · P(y²).

1610. Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает на голову каждому колпак а) белого или чёрного; б) белого, синего или красного цвета. Каждый мудрец видит цвета колпаков всех других мудрецов, но не видит цвет своего колпака. Затем мудрецы по одному называют какой-нибудь цвет (каждому разрешено говорить только один раз). После этого король исключает из Совета всех, не угадавших цвет своего колпака. Могут ли мудрецы накануне переаттестации договориться, чтобы все, кроме быть может одного, избежали исключения?

1611. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую — в точке D. Пусть M и N — середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K — середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

1612*. В клетках таблицы размером 10×10 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 99, 100 так, что сумма любых двух соседних чисел не превосходит S. Найдите наименьшее возможное значение S. (Числа называем соседними, если они стоят в клетках, имеющих общую сторону.)

1613. На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по несколько в одной клетке). Разрешено выполнять следующие действия:

снять по одному камню с клеток n – 1 и n и положить один камень в клетку n + 1;
снять два камня с клетки номер n и положить по одному камню в клетки с номерами n + 1 и n – 2.

Докажите, что при любой последовательности мы достигнем ситуации, когда ни одно из указанных действий выполнить нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий, а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам.

1614. На плоскости расположены 2n + 1 прямых. Докажите, что существует не более n(n + 1)(2n + 1) ⁄ 6 остроугольных треугольников, стороны которых лежат на данных прямых.

1615. В прямоугольную коробку размером m×n, где m и n нечётны, уложены кости домино размерами 1×2 так, что остался не покрытым только квадрат 1×1 (дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной, то эту доминошку разрешено сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку (при этом откроется новая дырка). Докажите, что с помощью таких операций можно перегнать дырку в любой другой угол.

1616. Дана правильная пирамида ABCD с плоскими углами α при вершине D. Плоскость, параллельная основанию, пересекает рёбра DA, DB и DC в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Поверхность многогранника ABCA₁B₁C₁ разрезали по пяти рёбрам A₁B₁, B₁C₁, C₁C, CA и AB. Полученную развёртку уложили на плоскость. При каких α развёртка будет (частично) накрывать сама себя?

1617. Дан правильный шестиугольник со стороной 100. Каждая его сторона разделена на 100 равных частей, и через точки деления проведены всевозможные прямые линии, параллельные сторонам шестиугольника (образующие сетку единичных правильных треугольников). Рассмотрим произвольное покрытие шестиугольника единичными ромбами, каждый из которых состоит из двух соседних треугольников сетки. Сколько существует линий сетки, разрезающих пополам (на два треугольника) а) 17; б) k ромбов (для каждого натурального k) и зависит ли ответ от покрытия?

1618*. В вершины правильного n-угольника из его центра проведены n векторов и из них выбраны несколько (не все), сумма которых равна нулю. Докажите, что концы некоторой части выбранной совокупности векторов образуют правильный многоугольник (две симметричные относительно центра считаем правильным «двуугольником»), если n равно а) 6; б) 8; в) 9; г) 12. д) Верно ли аналогичное утверждение для любого n?

1619. Числа x, y и z удовлетворяют равенствам x² + xy + y² = 3 и y² + yz + z² = 16. Найдите наибольшее возможное значение величины xy + yz + zx.

1620*. Через точку O плоскости проведены n прямых, делящих плоскость на 2n углов. В каждый из них вписана окружность, касающаяся сторон на расстоянии 1 от точки O. Лучи занумерованы по порядку, начиная с луча OA₁. Для произвольно выбранной на луче OA₁ точки M₁ строится ломаная M₁M₂M₃...M_2nM_2n+1, вершина M_k которой при любом k = 1, 2,..., 2n лежит на луче OA_k, вершина M_2n+1 — снова на луче OA₁, а звено M_kM_k+1 касается той из рассматриваемых окружностей, что вписана в угол A_kOA_k+1. Докажите для а) n = 3; б) любого натурального n, что если для некоторой точки M₁ ломаная замкнутая (M_2n+1 = M₁), то она замкнутая при любом выборе точки M₁.

При некотором положении точки M₁ (или, аналогично, M_k) — а именно, если OM₁ больше 1,— касательная прямая, проведённая к окружности из точки M₁ (отличная от OM₁), пересекает не луч OA₂, а прямую OA₂ по другую сторону от O — эту точку следует считать точкой M₂ (и из неё проводить касательную к окружности, вписанной в угол A₂OA₃); таким образом, ломаная может получиться не только невыпуклой, но и самопересекающейся. Возможен и случай, когда проведённая из M₁ касательная параллельна OA₂ — тогда точку M₂ следует считать бесконечно удалённой и следующую касательную проводить параллельно OA₂. Впрочем, если точка M₁ выбрана на отрезке OA₁, то есть если OM₁ < 1, то подобные оговорки не нужны.

1998 год

1621. а) В пространстве заданы длины a и b двух строн. Какой должна быть длина c третьей стороны, чтобы точки касания её со вписанной и описанной окружностями делили третью сторону на три равные части?

б) Существует ли прямоугольный треугольник, удовлетворяющий условию пункта а)?

1622. Пусть K = {1, 3, 4, 7, 8, 10, ...} — множество натуральных чисел, представимых в виде 2^m – 1, где m — натуральное число, или в виде суммы нескольких различных чисел такого вида. Рассмотрим первые n натуральных чисел. Каких чисел среди них больше: принадлежащих множеству K или не принадлежащих, если а) n = 1000; б) n — произвольное натуральное число?

1623*. H — точка пересечения высот, O и I — центры вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника. а) Если величина одного из углов треугольника равна 60°, то OI = IH. Докажите это.

б*) Следует ли из равенства OI = IH, что величина хотя бы одного из углов треугольника равна 60°?

1624. Внутри вписанного в окружность выпуклого n-угольника A₁A₂...A_n нашлась отличная от центра окружности точка P, из которой все стороны видны под равными углами. Могут ли длины всех отрезков A₁P, A₂P, ..., A_nP быть рациональными числами? Разберите случаи: а) n = 4; б) n = 8; в*) n = 6; г) n = 5 или 7; д*) n > 8.

1625. Плоскость разбита на единичные квадраты, вершины которых находятся в точках с целыми координатами. Квадраты раскрашены в шахматном порядке. Для каждой пары натуральных чисел m и n рассматриваем прямоугольный треугольник с вершинами в целочисленных точках, катеты которого имеют длины m и n проходят по сторонам квадратов. Пусть S₁ — площадь чёрной части треугольника, S₂ — площадь его белой части. Положим f (m,n) = |S₁ – S₂|.

а) Вычислите f (m,n) для всех натуральных чисел m и n, для которых число m + n чётно.

б) Для любых натуральных чисел m и n докажите неравенство f (m,n) £ max{m; n} ⁄ 2.

в) Не существует такого числа C, что f (m,n) < C для любых натуральных чисел m и n.

1626. В треугольнике ABC угол A наименьший. Точки B и C делят описанную окружность треугольника на две дуги; U — внутренняя точка той дуги с концами B и C, которая не содержит точку A. Серединные перпендикуляры к отрезкам AB и AC пересекает прямую AU в точках V и W соответственно. Докажите равенство AU = TB + TC.

1627. Если модуль суммы n вещественных чисел равен 1 и каждое из них не превышает (n + 1) ⁄ 2, то существует такая перестановка этих чисел, что если каждое из чисел умножить на его номер после перестановки и произведения сложить, то модуль результата не будет больше (n + 1) ⁄ 2.

1628. Таблицу размером n×n, заполненную числами от 1 до 2n – 1, назовём серебряной, если для любого натурального числа m £ n объединение чисел m-й строки и m-го столбца совпадает с множеством первых 2n – 1 натуральных чисел. Докажите, что а) не существует серебряной таблицы для n = 1997; б) существует бесконечно много серебряных таблиц.

1629. Решите в натуральных числах уравнение x^y² = y^x.

1630. Для любого натурального n обозначим через f (n) количество способов представления числа n в виде суммы целых неотрицательных степеней числа 2. Представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаем одинаковыми. Например, f (4) = 4, ибо число 4 можно представить четырьмя способами: 4 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1. Докажите для любого натурального n > 2 неравенства 2^{n² ⁄ 4} < f (n) < 2^{n² ⁄ 2}.

1631. Верны ли следующие утверждения:

а) если многоугольник можно разбить ломаной на два конгруэнтных многоугольника, то его можно разбить на два конгруэнтных многоугольника отрезком;

б) если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два конгруэнтных многоугольника, то его можно разбить на два конгруэнтных многоугольника отрезком;

в) если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два конгруэнтных многоугольника, один из которых можно перевести в другой движением, сохраняющим ориентацию, то есть поворотом или параллельным переносом, то исходный многоугольник можно разбить отрезком на два конгруэнтных многоугольника, один из которых можно перевести в другой движением, сохраняющим ориентацию?

1632. Некоторые грани кубика белые, а некоторые чёрные. Площадь его грани равна площади клетки шахматной доски. Кубик поставили на одну из клеток и прокатили по доске так, что он побывал на каждой клетке по одному разу. Могло ли случиться, что всё время цвета клетки и соприкасающейся с ней грани совпадали?

1633. В треугольнике ABC отрезки CM и BN — медианы, P и Q — такие точки на сторонах AB и AC, что биссектриса угла ACB является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла ABC — биссектрисой угла NBQ. Можно ли утверждать, что треугольник ABC равнобедренный, если а) BP = CQ; б) AP = AQ; в) прямые PQ и BC параллельны?

1634. а) На плоскость положили (с перекрытиями) несколько салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём все салфетки получаются одна из другой параллельными переносами. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая — одним гвоздём?

б) Тот же вопрос про правильные 5-угольники.

1635. Каждая сторона треугольника разбита на n равных отрез- ков. Через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Они разбили треугольник на n2 маленьких треугольничков. Какое наибольшее число треугольничков можно отметить, чтобы никакие два отмеченных треугольничка не были расположены между двумя соседними параллельными прямыми, если а) n = 10; б) n = 9? (На рисунке для n = 10 отмечены 7 треугольников.)

1636. Вокруг трапеции нельзя описать окружность. Докажите, что трапеция, образованная серединными перпендикулярами к её сторонам, подобна исходной.

1637. Квадрат разрезали на прямоугольники. Докажите, что сумма длин наименьших сторон всех этих прямоугольников не меньше длины стороны квадрата.

1638. Красный квадрат покрыт 100 равными ему белыми квадратами. Стороны всех белых квадратов параллельны сторонам красного. Можно ли удалить один белый квадрат так, чтобы оставшиеся 99 всё ещё покрывали красный квадрат?

1639. Путешественник посетил селение, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители селения встали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа слева, правдив тот или лжив. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю всех жителей составляют правдивые. Определите и вы, чему она равна.

1640. Внутри четырёхугольника ABCD существует такая точка M, что AMB и CMD — равнобедренные треугольники с углом величиной 120° при вершине M. Докажите существование такой точки N, что треугольники BNC и DNA равносторонние.

1641. Есть n камней и полубесконечная полоска бумаги, разделённая на клетки с номерами 1, 2, 3, ... На первой клетке камень лежит всегда. Разрешено положить в клетку камень или убрать камень из клетки, если на предыдущей клетке лежит камень. Как далеко от начала полоски можно положить камень, действуя в соответствии с этим правилом? Докажите, например, что на клетку с номером 2^{n – 1} камень положить можно.

1642. Некоторые стороны клеток шахматной доски 8×8 объявлены перегородками. Расстановку перегородок назовём хорошей, если доска остаётся связной (ладья может пройти с любого поля на любое другое, не перепрыгивая через перегородки), и плохой — в противном случае. Каких расстановок больше — хороших или плохих?

1643. а) Существуют ли такие целое ненулевое число a и целое число b, что для любого натурального n число a · n! + b является квадратом целого числа?

б) Существуют ли такие целые ненулевые числа a и b и такое целое число c, что для любого натурального n существует такое целое число x, что n! = ax² + bx + c?

1644. Двое показывают следующий фокус. Один из перетасованной колоды, состоящей из 52 карт, вытаскивает 5 карт произвольным образом и выкладывает четыре из них в ряд картинкой вверх, а пятую а) выкладывает среди остальных четырёх, но картинкой вниз; б*) берёт себе. Второй, глядя на лежащие перед ним карты, называет пятую карту. Научите их это делать!

1645. Количество способов, которыми можно расставить n чисел, где n > 9, в последовательность без убывающих подпоследовательностей длиной 10, не превосходит 81ⁿ.

1646. У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то оказалось не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то один из них раскулачивает другого. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что в результате все овцы собрались у одного крестьянина.

1647. Из любого конечного множества точек плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на два множества, диаметры которых меньше диаметра первоначального множества. Докажите это.

Диаметр — это максимальное расстояние между точками множества.

1648*. Из центра правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса 1, в некоторые вершины этого многоугольника проведены векторы. Может ли длина суммы этих векторов равняться а) 1998; б*) квадратному корню из 1998?

1649*. На конференцию приехали 300 участников. Каждый участник знает три языка из пяти, официально принятые на конференции. Докажите, что всех участников можно разбить на три группы по 100 человек так, чтобы для каждой группы нашёлся язык, общий для её членов.

1650*. На плоскости нарисовано дерево (то есть граф без циклов) Г. Граф Г', полученный из Г параллельным переносом на некоторый вектор длины 1, не пересекается с Г. На графе Г отмечены две точки A и B, в которых в начальный момент времени сидело по жуку. Ползая по графу, жуки через некоторое время снова оказались в точках A и B, но при этом поменялись местами. Докажите, что в некоторый момент расстояние между жуками было меньше 1.

1651. Найдите а) наименьшую; б) наибольшую возможную площадь выпуклой фигуры, все проекции которой на оси Ox, Oy и биссектрису первого и третьего квадрантов суть отрезки единичной длины.

1652. Внутри параболы y = x² расположены окружности ω₁, ω₂, ω₃,... так, что каждая окружность ω_{n + 1} касается ветвей параболы и внешним образом — окружности ω_n. Найдите радиус окружности ω₁₉₉₈, если диаметр окружности ω₁ равен 1 и она касается параболы в начале координат.

1653. На столе лежат 5 часов со стрелками. Разрешено любые три из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое их перевели, назовём временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?

1654. Через основания L и M биссектрисы BL и медианы BM неравнобедренного треугольника ABC провели прямые параллельно, соответственно, сторонам BC и BA до пересечения с прямыми BM и BL в точках D и E. Докажите, что угол BDE прямой.

1655. Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых делится на квадрат их разности?

1656. Даны два выпуклых многоугольника. Расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1, расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а квадрат расстояния между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше 1/2. Докажите, что многоугольники не пересекаются.

1657. Назовём лабиринтом шахматную доску, на которой между некоторыми полями поставлены перегородки. По команде НАПРАВО ладья смещается на одно поле направо или, если справа находится край доски или перегородка, стоит на месте; аналогично определим команды НАЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Мария Ивановна пишет программу — конечную последовательность команд — и даёт её Вовочке, после чего Вовочка выбирает лабиринт и ставит ладью на любое поле. Может ли Мария Ивановна сочинить такую программу, что ладья обойдёт все доступные поля лабиринта при любом выборе Вовочки?

1658. Обозначим через s(x) сумму цифр десятичной записи числа x. Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что s(a + b) < 5, s(b + c) < 5 и s(a + с) < 5, но s(a + b + c) > 50?

1659*. Фигура F, составленная из клеток размером 1×1, обладает следующим свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника размером m×n числами, сумма которых положительна, фигуру F можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках так расположенной фигуры F была положительна (фигуру F можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник можно покрыть фигурой F в несколько слоёв.

1660. В стране 1998 городов. Из каждого осуществляются беспосадочные авиарейсы в три других города (все рейсы двусторонние). Из любого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделать таким образом, чтобы можно было долететь из любого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в незакрытых городах.

1661. Можно ли отметить 64 единичных кубика в кубе размером 8×8×8 так, чтобы среди любых 8 отмеченных кубиков нашлись два кубика, расположенные в одном слое, параллельном некоторой грани куба, и при этом в каждом слое, параллельном грани, было отмечено 8 кубиков?

1662. Может ли десятичная запись куба натурального числа начинаться с цифр 1998?

1663. Биссектрисы вписанного четырёхугольника образуют в пересечении выпуклый четырёхугольник. Докажите, что диагонали последнего четырёхугольника перпендикулярны.

1664. Существует ли натуральное число k > 1 и такой отличный от константы многочлен P с целыми коэффициентами, что каждые два из чисел P(k), P(k²), P(k³), ... взаимно просты?

1665*. а) В сферу вписаны несколько кубов. Каждые три из них имеют хотя бы одну общую вершину. Докажите, что все кубы имеют хотя бы одну общую вершину.

б) Четыре куба расположены в пространстве так, что каждые три из них имеют хотя бы одну общую вершину. Обязательно ли все четыре куба имеют хотя бы одну общую вершину?

1999 год

1666. Три плоскости разрезали куб с ребром 1 на 8 параллелепипедов. Докажите, что среди них есть хотя бы 4 параллелепипеда, объём любого из которых не превосходит ¹ ⁄ ₄.

1667. Натуральный ряд разбит на два бесконечных множества чисел. Докажите, что сумма некоторых 100 чисел одного из этих множеств равна сумме некоторых 100 чисел другого множества.

1668. Имеется n бочек, содержащих 1, 2, ..., n литров воды соответственно. Разрешено доливать в бочку столько воды, сколько в ней уже есть, из любой другой бочки, в которой воды достаточно для такой операции. Какое наибольшее количество воды можно собрать в одной бочке, если а) n = 10; б) n — любое натуральное число?

1669. Натуральные числа a, b и c таковы, что ab + bc = ca. Докажите равенства НОК[a,b] = НОК[b,c] = НОК[c,a].

1670. Диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P, лежащей внутри четырёхугольника. Докажите, что около ABCD можно описать окружность тогда и только тогда, когда площади треугольников ABP и CDP равны.

1671. На соревновании выступили a участников, их оценивали b судей, где b — нечётное число, не меньшее 3. За выступление каждого участника каждый судья ставил оценку «плюс» или «минус». Число k таково, что для любых двух судей существует не более k участников, получивших у них одинаковые оценки. Докажите неравенство 2bk ³ a(b – 1).

1672. Обозначим через τ(n) количество делителей числа n (включая 1 и n). Найдите все натуральные числа k, представимые в виде k = τ(n²) ⁄ τ(n).

1673*. Точка, расположенная внутри равностороннего треугольника, соединена отрезками с его вершинами. Из этой же точки опущены перпендикуляры на стороны треугольника. Шесть проведённых таким образом отрезков разделили треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Покрасим их попеременно в красный и синий цвета. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в красные треугольники, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в синие треугольники.

1674. Функция f определена на множестве натуральных чисел. Сумма f (f (n)) + f (n) для любого чётного числа n равна 2n – 1, а для любого нечётного n она равна 2n + 1. Найдите f (1999).

1675*. Тетраэдр ABCD, где AB = CD = 2 и квадраты длин отрезков AC, BC, AD и BD равны 3, можно разрезать на а) 8; б) 27 подобных ему и конгруэнтных между собой тетраэдров. Докажите это.

1676. Отрезок AB разбит на чёрные и белые отрезки так, что сумма длин чёрных отрезков равна сумме длин белых отрезков. Для каждого чёрного отрезка вычисляем произведение его длины на расстояние от точки A до его середины и такие произведения складываем. Для каждого белого отрезка тоже вычисляем произведение его длины на расстояние от точки B до его середины и такие произведения складываем. Докажите, что «белая» и «чёрная» суммы равны.

1677. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Окружность, проходящая через точки A, B и O, касается прямой BC. Докажите, что окружность, проходящая через точки B, C и O, касается прямой CD.

1678. В таблице размером n×n в каждой строке и в каждом столбце в трёх клетках записаны какие-либо числа, остальные клетки пустые. При этом сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце одна и та же. Для каждой строки перемножим её числа и полученные n произведений сложим. Аналогично, перемножим числа в каждом столбце и сложим полученные n произведений. Докажите, что «строчная» и «столбцовая» суммы равны.

1679. Последовательности a₀, a₁, a₂,... и b₀, b₁, b₂,... определим следующим образом. В качестве a₀ берём любое положительное число, а в качестве b₀ — любое отрицательное число. Для любого натурального числа n числа a_n и b_n — это, соответственно, положительный и отрицательный корень уравнения x² + a_n–1x + b_n–1. Найдите пределы обеих последовательностей.

1680*. Пусть C — натуральное число. Рассмотрим последовательность, n-й член которой равен n³ + C.

а) Докажите, что любые три подряд идущие члена последовательности не имеют общего делителя, отличного от 1.

б) Пусть С — куб натурального числа. Докажите, что существуют соседние члены последовательности, не являющиеся взаимно простыми числами.

в*) Существует ли такое натуральное число C, что любые соседние члены последовательности взаимно просты?

1681. Квадрат целого числа оканчивается так: ...21. Может ли третья справа цифра этого квадрата быть чётной?

1682. Из некоторой точки плоскости опущены перпендикуляры на высоты треугольника (или на их продолжения). Докажите, что основания перпендикуляров являются вершинами треугольника, подобного исходному.

1683. Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что количество способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.

1684*. Круг разделён радиусами на 2n конгруэнтных секторов; n из них синие, остальные n — красные. В синие секторы, начиная с некоторого, по ходу часовой стрелки последовательно вписаны натуральные числа от 1 до n. В красные секторы, начиная с некоторого, против хода часовой стрелки тоже числа вписаны числа от 1 до n. Докажите существование полукруга, в секторах которого — числа от 1 до n.

1685. В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Докажите, проведённые через середины сторон треугольников ABC, BCD, CDA и DAB, имеют общую точку, а их центры лежат на одной окружности.

1686. Функции f и g непрерывны на отрезке [0; 1] и таковы, что интеграл от каждой из них по отрезку [0; 1] равен 1, а интеграл от функции, равной квадратному корню из суммы квадратов функций f и g, равен квадратному корню из числа 2. Докажите равенство функций f и g.

1687. Будем называть размером прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений — длины, ширины и высоты. Может ли в некотором прямоугольном параллелепипеде поместиться больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

1688*. Рассмотрим функцию f (x) = (x² + ax + b) ⁄ (x² + cx + d), где трёхчлены x² + ax + b и x² + cx + d не имеют ни одного общего корня. Докажите равносильность следующих утверждений:

существует интервал, свободный от значений функции f;
функцию f можно представить в виде композиции линейных функций, возведения в квадрат и взятия обратного.

1689*. Рассмотрим произведение трёх натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию, являющееся делителем некоторого числа вида n² + 1, где n — натуральное число.

а) Докажите существование такой арифметической прогрессии с разностью 12.

б) Докажите несуществование такой прогрессии с разностью 10 или 11.

в*) Какое наибольшее число членов может содержать такая прогрессия с разностью 12?

1690. В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три ребра. Одна грань многогранника красная, остальные — синие, причём каждая синяя грань — вписанный многоугольник. Докажите, что и красная грань — вписанный многоугольник.

1691. Любой четырёхугольник можно разрезать на 3 трапеции. Докажите это.

1692. a, b и c — длины сторон треугольника. Докажите, что сумма чисел (a² + 2bc) ⁄ (b² + c²), (b² + 2ca) ⁄ (c² + a²) и (c² + 2ab) ⁄ (a² + b²) больше числа 3.

1693. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Третья окружность с центром P пересекает первую в точках A и B, вторую — в точках C и D. Докажите равенство углов AQD и BQC.

1694. Парабола y = –x² + b₁x + c₁ и парабола y = –x² + b₂x + c₂ касаются параболы y = ax² + bx + c, где a > 0. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания, параллельна общей касательной к первым двум параболам.

1695. Грани правильного тетраэдра окрасили в шахматном порядке. Докажите, что для любой внутренней точки сумма расстояний до плоскостей чёрных граней равна сумма расстояний до плоскостей белых граней.

1696. Рёбра графа покрашены n красками так, что из каждой вершины выходит по одному ребру каждого цвета. Для любого цвета по рёбрам этого цвета можно добраться от любой вершины графа до любой другой. Докажите, что какие бы n – 1 разноцветных рёбер графа ни уничтожить, граф останется связным.

1697. Сумма цифр десятичной записи числа n равна 100, а сумма цифр десятичной записи числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр десятичной записи числа 3n?

1698. На сторонах AB, BC и CA расположены точки C', A' и B' соответственно. Докажите, что если длины отрезков AA', BB' и CC' не превосходят 1, то утроенный квадрат площади треугольника ABC не превосходит 1.

1699. Для любого натурального n удвоенная сумма дробных частей квадратных корней из первых n² натуральных чисел не превосходит n² – 1. Докажите это.

1700*. На числовой прямой отмечены точки с координатами 1, 2, 3, ..., 2n. Блоха начала прыгать из точки 1 и через 2n рыжков, побывав во всех отмеченных точках, возвратилась в точку 1. Сумма длин первых 2n – 1 прыжков равна n(2n – 1). Докажите, что длина последнего прыжка равна n.

1701. Если x > 0, y > 0 и x² + y³ ³ x³ + y⁴, то x³ + y³ £ 2. Докажите это.

1702*. В некоторой группе из 12 человек среди каждых 9 человек есть 5 попарно знакомых. Докажите, что среди этих людей есть 6 знакомых друг с другом.

1703. Если a^m + b^m + c^m = 0 и aⁿ + bⁿ + cⁿ = 0, где m и n — натуральные числа, то abc = 0. Докажите это.

1704. На бесконечной клетчатой доске в каждой клетке квадрата размером n×n стоит по одной фишке. Ход — перепрыгивание любой фишки через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой расположена пустая клетка; при этом ту фишку, через которую фишка перепрыгнула, снимаем. Докажите, что позиция, в которой невозможен ни один ход, не может возникнуть ранее чем через [n²⁄ 3] ходов.

1705. Через точку внутри сферы проведены три взаимно перпендикулярные плоскости, делящие сферу на 8 сферических треугольников. Докажите, что если их раскрасить в шахматном порядке, то сумма площадей 4 сферических треугольников одного цвета окажется равна сумме площадей других 4 треугольников.

1706. AL и BM — биссектрисы треугольника ABC. Одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников ACL и BCM лежит на отрезке AB. Докажите, что величина угла ACB равна 60°.

1707*. 1707.. Квадрат клетчатой бумаги размером n×n разрезан на 2n прямоугольников. При этом каждый прямоугольник расположен либо целиком ниже, либо выше ступенчатой ломаной, разделяющей квадрат. Докажите, что некоторая клетка клетчатой бумаги является одним из названных прямоугольников.

1708. Играют двое. Они по очереди пишут на доске делители числа 100!, отличные от 1 (без повторений!). Проигрывает тот игрок, после хода которого числа на доске окажутся взаимно просты в совокупности. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его противник?

1709. Окружность пересекает стороны прямоугольника в восьми точках, которые последовательно занумерованы. Докажите, что площадь четырёхугольника с вершинами в точках с нечётными номерами равна площади четырёхугольника с вершинами в точках с чётными номерами (другими словами, сумма площадей синих треугольников равна сумме площадей зелёных треугольников).

1710. Числа p, q, r, x, y, z положительные, причём p + q + r =1 и x^py^qz^r = 1. Докажите, что удвоенная сумма частных p²x² ⁄ (qy + rz), q²y² ⁄ (rz + px) и r²z² ⁄ (px + qy) не меньше 1.

2000 год

1711. В «Большой энциклопедии кроликов» 10 томов. Они стоят на полке почти по порядку: каждый том стоит либо на своём месте, либо на соседнем. Сколько таких расположений возможно?

1712. а) Несколько треугольников расположены на плоскости так, что каждый четыре из них имеют общую вершину. Докажите, что все треугольники имеют общую вершину.

б) Несколько прямоугольников расположены на плоскости так, что каждые три из них имеют общую вершину. Докажите, что все прямоугольники имеют общую вершину.

1713. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты такие точки A', B' и C', что прямые AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке. Пусть D, E, F, D', E' и F' — середины отрезков AB, BC, CA, A'B', B'C' и C'A' соответственно. Докажите, что

а) прямые DD', EE' и FF' имеют общую точку, причём эта точка, точка пересечения медиан треугольника ABC и точка пересечения прямых AA', BB' и CC' лежат на одной прямой;

б) если в качестве прямых AA', BB' и CC' взяты высоты треугольника ABC, то точка пересечения прямых DD', EE' и FF' совпадает с центром окружности девяти точек треугольника ABC;

в) если прямые AA', BB' и CC' — биссектрисы треугольника ABC, то их общая точка, точка Нагеля (точка пересечения прямых, проходящих через вершины треугольника ABC и делящих его периметр пополам) и общая точка прямых DD', EE' и FF' лежат на одной прямой;

г) если прямые AA', BB' и CC' делят периметр треугольника ABC пополам, то точка пересечения прямых DD', EE' и FF' совпадает с центром масс контура треугольника ABC.

1714*. Уравнение а) (x² + 1)(y² – 1) = z²; б) (x² – 1)(y² – 1) = z²; в*) (x² + 1)(y² + 1) = z² имеет бесконечно много решений в натуральных числах x, y и z, удовлетворяющих условию x ≠ y. Докажите это.

1715. Первые 2n натуральных чисел записаны по кругу так, что сумма модулей разностей соседних чисел равна 2n². Докажите, что если, начав с любого из этих чисел, вычислить разности первого и второго, третьего и четвёртого, ..., (2n – 1)-го и 2n-го и сложить модули полученных разностей, то сумма окажется равна n².

1716. Какое наименьшее число клеток можно отметить в квадрате клетчатой бумаги размером n×n так, чтобы каждая клетка квадрата, отмеченная или неотмеченная, соседствовала по стороне хотя бы с одной отмеченной клеткой?

1717*. Окружности ω₁ и ω₂ изнутри касаются окружности ω в точках M и N соответственно. Окружность ω₁ проходит через центр окружности ω₂. Прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω₁ и ω₂, пересекает окружность ω в точках A и B. Прямые MA и MB пересекают окружность ω₁ в точках C и D соответственно. Докажите, что прямая CD касается окружности ω₂.

1718. Найдите все такие функции, что для любых x и y верно равенство f (x – f (y)) = f (f (y)) + xf(y) + f (x) – 1.

1719*. Первый член последовательности a₁, a₂, a₃, ... равен 1. Складывая всякий член этой последовательности с обратным к нему числом, получаем следующий член последовательности.

а) Докажите неравенство a₁₀₀ > 14.

б*) Найдите [a₁₀₀₀], то есть найдите такое целое число m, что m < a₁₀₀₀ < m + 1.

в*) Докажите существование и найдите значение предела последовательности, n-й член которой равен отношению числа a_n к квадратному корню из n.

1720*. Какое наибольшее число одинаковых деревянных кубиков можно скдеить между собой так, чтобы каждые два кубика были склеены по грани или по участку грани?

1721. Имеет ли уравнение x² – 3y² = 2000 решение в целых числах?

1722. Числа a и b натуральные. Проведём через точку (a;b) прямую, отсекающую от первого координатного угла треугольник.

а) Докажите, что количество точек с целыми неотрицательными координатами, которые лежат внутри или на сторонах этого треугольника, превышает 2ab + a + b.

б) Докажите, что эта оценка точная: через точку (a;b) можно провести прямую, отсекающую от первого координатного угла треугольник, внутри и на сторонах которого всего 2ab + a + b + 1 точек с целыми неотрицательными координатами.

1723. Из точки на плоскости выходят n красных и n синих векторов. Красные векторы занумерованы первыми n натуральными числами. В порядке нумерации каждый вектор поворачивается по часовой стрелке и занимает положение ближайшего свободного синего вектора так, что в конце концов красные векторы займут положения синих векторов. Докажите, что сумма углов поворотов не зависит от порядка нумерации красных векторов.

1724. В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке O. Прямая DE пересекает продолжение стороны AC в точке K. Докажите, что медиана BM треугольника ABC перпендикулярна прямой OK.

1725*. Из клетчатой бумаги вырезана крестообразная фигура F высотой 2n + 1 и шириной 2n + 1 (пример для случая n = 3 изображён на рисунке). Докажите, что а) фигуру F нельзя разрезать на 2n выпуклых фигур; б) если фигура F разрезана на 2n + 1 выпуклых многоугольников, то каждый из них является прямоугольником.

1726. На плоскости проведены n прямых. Каждая пересекает ровно 1999 других. Найдите все возможные значения n.

1727. Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Начинают с произвольного натурального числа. Затем по очереди они делают следующее. Фома прибавляет к очередному числу некоторую из его цифр, а Ерёма вычитает из очередного числа некоторую из его цифр. Докажите, что хотя бы одно из чисел встретится в этой последовательности не менее 10 раз.

1728. Точки K и L — это точки касания сторон AC и BC треугольника ABC с его вневписанными окружностями. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков KL и AB а) делит периметр треугольника ABC пополам; б) параллельна биссектрисе угла ACB.

1729. Натуральный ряд разбит на два бесконечных подмножества так, что для любых чисел x, y и z, принадлежащих одному и тому же из этих подмножеств, сумма x + y + z принадлежит тому же подмножеству. Докажите, что одно из подмножеств состоит из нечётных чисел, а другое — из чётных.

1730*. Продолжения противоположных сторон выпуклого четырёхугольника пересекаются в точках M и K. Через точку O пересечения диагоналей четырёхугольника проведена прямая, параллельная прямой MK. Докажите, что отрезок, заключённый внутри четырёхугольника, точка O делит пополам.

1731. В ряд нарисованы 60 звёздочек. Два игрока по очереди заменяют звёздочки на цифры. Какую именно из оставшихся звёздочек заменять на цифру, игрок, решает игрок, делающий очередной ход. Докажите, что второй игрок может играть так, чтобы полученное число (возможно, начинающееся на цифру 0) делилось на 13.

1732*. а) A и B — конечные подмножества некоторой прямой, состоящее не менее чем из 3 точек каждое. Если существует биекция множества всех трёхэлементных подмножеств множества A на множество всех трёхэлементных подмножеств множества B, при которой всякое трёхэлементное подмножество множества A переходит в конгруэнтное ему подмножество множества B, докажите, что множества A и B конгруэнтны.

б) Верно ли аналогичное утверждение, если вместо «трёхэлементное» в пункте а) всюду написать «двухэлементное»?

1733. Непрерывная функция определена на отрезке [0; 1], принимает значения на этом же отрезке и удовлетворяет тождеству f (f (x)) = x. Докажите, что интеграл, взятый по всему отрезку [0; 1] от функции, значение которой в любой точке x отрезка [0; 1] равно абсолютной величине разности чисел x и f (x), равен ¹⁄₂.

1734. Уравнение (sin x)^β = x^βcos x на интервале (0; ^π⁄₂) не имеет ни одного решения при β < 3, но имеет единственное решение при β > 3. Докажите это.

1735*. Выпуклый многогранник имеет 6 вершин: по одной на каждой из полуосей прямоугольной системы координат. Докажите, что 8 проекций начала координат на грани многогранника лежат на одной сфере.

1736. Какое наибольшее число коней можно расставить на доске размером 5×5 так, чтобы каждый из них бил ровно двух других?

1737. Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. Точки M и N — центры описанных окружностей треугольников AKB и CKD. Докажите, что OMKN — параллелограмм.

1738. Из колоды вынули 7 карт, показали всем, перетасовали и раздали двум игрокам по 3 карты, а оставшуюся карту а) спрятали; б) отдали постороннему наблюдателю. Игроки могут по очереди сообщать вслух открытым текстом любую информацию о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом посторонний наблюдатель не смог вычислить местонахождение ни одной из карт, которых он не видит?

1739. Для любой чётной цифры a и любой нечётной цифры b существует число, делящееся на 2²⁰⁰⁰, каждая цифра которого — либо a, либо b. Докажите это.

1740. Натуральные числа a, b и c таковы, что a² + b² + c² = (a – b)² + (b – c)² + (c – a)². Докажите, что каждое из четырёх чисел ab, bc, ca и ab + bc + ca является квадратом.

1741. С каждым из чисел от 000 000 до 999 999 поступим следующим образом: умножим первую цифру на 1, вторую на 2 и так далее, последнюю — на 6. Сумму полученных шести чисел назовём характеристикой исходного числа. Характеристики скольких чисел делятся на 7?

1742. Квадратная таблица заполнена натуральными цифрами таким образом, что всякие два числа, соседние по вертикали или горизонтали, различаются на 1. Докажите, что либо некоторое натуральное число присутствует на каждой горизонтали, либо некоторое натуральное число присутствует на каждой вертикали.

1743. Найдите сумму целых частей чисел вида 2^k ⁄ 3, где 0 < k £ 100.

1744*. На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты k разных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые k квадратов разных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздём. Докажите, что существует такой цвет, что все квадраты этого цвета можно прибить к столу 2n – 2 гвоздями.

1745. В некоторых клетках доски размером 2n × 2n стоят чёрные и белые фишки. С доски сначала снимают все чёрные фишки, которые расположены в одной вертикали хотя бы с одной белой, а затем все белые фишки, стоящие в одной горизонтали хотя бы с одной из оставшихся чёрных. Докажите, что или чёрных фишек осталось не более n², или белых фишек на доске осталось не более n².

1746. На окружности находятся n красных и n синих точек, которые разделяют её на 2n равных дуг. Каждая красная точка является серединой дуги окружности с синими концами. Докажите, что каждая синяя точка является серединой дуги окружности с красными концами.

1747*. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках A', B' и C'. Через точку P пересечения прямых AA', BB' и CC' проведены три окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Докажите, что

а) шесть точек касания образуют вписанный шестиугольник, причём центр описанной около него окружности совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC;

б) главные диагонали этого шестиугольника пересекаются в точке P;

в) вторые точки пересечения проходящих через P окружностей лежат соответственно на прямых AA', BB' и CC'.

1748. На плоскости выбраны 1000 точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой). Рассмотрим всевозможные раскраски этих точек в два цвета. Назовём раскраску неразделимой, если не существует такой прямой, что точки разных цветов лежат в разных полуплоскостях. Докажите, что количество неразделимых раскрасок не зависит от выбора точек на плоскости.

1749. Рассмотрим последовательность слов, первое из которых состоит из одной буквы А, второе — АБ, третье — АБА, четвёртое — АБААБ, пятое — АБААБАБА, и так далее: очередное слово получаем из предыдущего, заменяя каждую букву А на АБ, а Б — на А.

а) Докажите, что каждое слово этой последовательности, начиная с третьего, получается приписыванием предпредыдущего слова к предыдущему.

Например, АБААБАБА — это слово АБААБ, к которому справа приписано слово АБА.

б) Пусть a₁ = 1, b₁ = 2, a₂ = 3, a₃ = 4, b₂ = 5, a₄ = 6, b₃ = 7, a₅ = 8, a₆ = 9, b₄ = 10 и, вообще, пусть a_n и b_n — номера мест, на которых стоят n-е буквы буквы А и Б в бесконечном слове АБААБАБААБААБАБААБАБААБААБАБААБААБ..., начальными отрезками которого являются слова пункта а). Докажите равенство b_n = a_n + n.

в) Рассмотрим другую последовательность слов: А, АБ, АБАА, АБАААБАБ, АБАААБАБАБАААБАА,... (Очередное слово получается из предыдущего заменой А на АБ, а Б — на АА.) Докажите, что каждое слово этой последовательности является началом следующего её слова и что номер места, на котором в соответствующем бесконечном слове АБАААБАБАБАААБАААБАААБАБАБАААБАБ... стоит n-я буква Б, в два раза больше номера места, на котором стоит n-я буква А.

1750. а) Взяли шесть бумажных квадратов, у каждого из которых длина стороны равна 1, и ими целиком оклеили поверхность куба с ребром 1. Докажите, что хотя бы один из этих бумажных квадратов целиком оклеивает некоторую грань куба.

б) Четырьмя бумажными равносторонними треугольниками, у каждого из которых длина стороны равна 1, целиком оклеили поверхность правильного тетраэдра с ребром 1. Обязательно ли хотя бы один из бумажных треугольников целиком оклеивает некоторую грань тетраэдра?

1751. Между двумя странами установлено авиационное сообщение. Каждый город одной страны связан беспересадочными рейсами ровно с k городами другой. Из любого города любой из этих стран можно перелететь в любой другой, возможно с пересадками. Никакие два города никакой одной из этих двух стран рейсы этой авиакомпании не соединяют. Одну из авиалиний закрыли. Докажите, что по-прежнему из любого города можно долететь до любого другого.

1752. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на чёрные поля шахматной доски так, чтобы они не били друг друга?

1753. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках A', B' и C'. Точка L — середина отрезка A'B'. Докажите, что угол ALB тупой.

1754*. Каждое натуральное число покрашено в чёрный или белый цвет. Докажите существование такой возрастающей последовательности чётных чисел a₁, a₂, a₃, ..., что все числа a₁, (a₁ + a₂) ⁄ 2, a₂, (a₂ + a₃) ⁄ 2, a₃, (a₂ + a₃) ⁄ 2, одного цвета.

1755*. Имеется 10 квадратных салфеток, площадь каждой из которых равна 1, и квадратный стол площади 5. Докажите, что стол можно покрыть салфетками в два слоя. (Салфетки можно перегибать, но нельзя рвать.)

2001 год

1756. Среди любых трёх из нескольких данных натуральных чисел можно выбрать два, одно из которых делится на другое. Докажите, что все числа можно так покрасить двумя красками, что из любых чисел одного цвета одно делится на другое.

1757*. Если выпуклый многоугольник можно разрезать на 20 параллелограммов, то его можно разрезать и на 15 параллелограммов.

1758. Всякий депутат имеет свой абсолютный рейтинг — некоторое присвоенное ему компетентными органами положительное число. Сразу после избрания депутатов распределили по фракциям и каждый из них вычислил свой относительный рейтинг — частное от деления абсолютного рейтинга на сумму абсолютных рейтингов всех (включая его самого) депутатов его фракции. Депутат может перейти из фракции в другую, если его относительный рейтинг при этом увеличивается. Ни в какой момент времени не может произойти более одного такого перехода. Докажите, что спустя конечное время переходы прекратятся.

1759. Если остроугольный треугольник можно разбить на две фигуры, диаметр каждой из которых не превосходит длины наименьшей стороны этого треугольника, то величина ни одного из его углов не меньше 36°. Докажите это. (Диаметр фигуры — это точная верхняя грань расстояний между её точками.)

1760. Таблицу размером n×n называем удивительной, если сумма всяких n её чисел, расположенных в разных строках и разных столбцах, не зависит от того, какие именно такие числа выбраны. Докажите, что каждую удивительную таблицу можно представить в виде суммы двух таблиц, у одной из которых все строки равны, а у другой равны все столбцы.

1761. У фокусника 100 карточек, занумерованных чисалми от 1 до 100. Он раскладывает все карточки в три ящика — красный, белый и синий — так, чтобы в каждом ящике лежала хотя бы одна карточка. Зритель выбирает по одной карточке из некоторых двух ящиков и сообщает фокуснику сумму номеров этих карточек. Фокусник по этой сумме сообщает, из какого ящика карточка не была взята. Сколькими способами может фокусник разложить карточки по ящикам, чтобы фокус всегда удавался? (Задать способ — указать для каждой карточки, в каком ящике ей лежать.)

1762. Существует ли такое натуральное число n, что 2ⁿ + 1 делится на n, а число n имеет ровно 2000 различных простых делителей?

1763*. AH₁, BH₂ и CH₃ — высоты треугольника ABC. Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон BC, CA и AB в точках T₁, T₂ и T₃ соответственно. Прямые l₁, l₂ и l₃ являются образами прямых H₂H₃, H₃H₁ и H₁H₂ относительно прямых T₂T₃, T₃T₁ и T₁T₂ соответственно. Докажите, что каждые две из прямых l₁, l₂ и l₃ пересекаются на вписанной окружности треугольника ABC.

1764. Функция f возрастает на [0; 1]. Если f (0) = 0 и для любых положительных чисел a и b, сумма которых не превосходит 1, верно неравенство f (a) + f (b) ³ f (a + b). Докажите неограниченность последовательности, n-й член которой равен сумме значений функции f в точках вида 1 ⁄ k, где 1 £ k £ n.

1765*. Длина ребра правильного тетраэдра равна 1. Докажите, что существуют две точки, рассстояние между которыми не превосходит 1/2, среди любых а) пяти точек, расположенных на его рёбрах; б) девяти точек, расположенных на его поверхности; в*) девяти точек, расположенных на поверхности или внутри тетраэдра.

1766. На бесконечной шахматной доске находятся ферзь и невидимый король, которому запрещено ходить по диагонали. Они ходят по очереди. Может ли ферзь ходить так, чтобы король рано или поздно попал под шах?

1767. Внутри квадрата ABCD расположены точки P и Q так, что величины углов PAQ и PCQ равна 45°. Докажите равенство PQ² = BP² + QD².

1768. а) Расположите первые 100 натуральных чисел в таком порядке, чтобы для любых нескольких (но не всех) из этих чисел сумма номеров занятых ими мест не равнялась сумме самих этих чисел.

б*) При посадке в аэробус пассажиры сели куда попало. В итоге все места оказались заняты, а для любого множества, в котором не более 100 пассажиров, среднее арифметическое номеров занятых ими мест не менее чем на 1 отличается от среднего арифметического номеров мест, указанных в билетах. Каково наименьшее возможное число мест в таком аэробусе?

1769*. Концы 2n непересекающихся хорд разделили окружность на 4n равных дуг. Докажите, что среди этих хорд существуют две параллельные.

1770. Дан многочлен степени 10 с целыми коэффициентами. Двое по очереди заменяют заменяют буквы на числа (каждым ходом — одну букву на одно число). После десятого хода получают некоторый многочлен f с числовыми коэффициентами. Если максимальное из значений, принимаемых функцией f на отрезке [–1; 0], меньше максимального из значений, принимаемых функцией f на отрезке [0; 1], то победил первый игрок, а если максимальное из значений, принимаемых функцией f на отрезке [–1; 0], больше максимального из значений, принимаемых функцией f на отрезке [0; 1], то второй. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?

1771. В результате деления числа, десятичная запись которого состоит из 3ⁿ единиц, на число 3ⁿ получили число M. Докажите, что число M целое и его можно разложить на n различных и отличных от 1 натуральных множителей.

1772. Каждое число последовательности a₁, a₂, a₃, ..., a_2n, a_2n+1 равно 2, 5 или 9. При этом a₁ = a_2n+1, но любые два соседних числа различных. Докажите равенство a₁a₂ – a₂a₃ + a₃a₄ – ... + a_2n–1a_2n – a_2na_2n+1 = 0.

1773. Проведённая из вершины C прямого угла высота CD и биссектриса AE треугольника ABC пересекаются в точке F. Обозначим буквой G точку пересечения прямых DE и BF. Докажите равенство площадей четырёхугольника CEGF и треугольника BDG.

1774. Король сказочной страны пригласил на пир людоедов своей страны. Среди них есть людоеды, которые хотят съесть других людоедов. Наидлиннейшая цепочка, в которой первый людоед хочет съесть второго, второй — третьего и так далее, состоит из 6 людоедов. Докажите, что людоедов можно так рассадить по шести комнатам, чтобы ни в какой комнате никто никого не хотел съесть.

1775. а) Существует ли квадрат, все вершины и все середины сторон которого лежат на гиперболах xy = ±1?

б) Существует бесконечно много параллелограммов, одна из вершин каждого из которых — начало координат, две другие лежат на гиперболе xy = 1, а четвёртая — на гиперболе xy = –1. Докажите это.

в) Площадь каждого такого параллелограмма равна квадратному корню из 5. Докажите это.

г) Рассмотрим для любого такого параллелограмма OABC порождённую им решётку, то есть множество таких точек M, что вектор OM равен сумме умноженного на некоторое целое число вектора OA и умноженного на некоторое целое число вектора OC. Докажите, что внутренность <креста>, ограниченного гиперболами xy = ±1, не содержит ни одной точки этой решётки, кроме начала координат.

1776. Вчера каждый брат был в ссоре с одинаковым количеством сестёр, а каждая сестра — с различным количеством братьев. Сейчас некоторые из них помирились, и каждая сестра в ссоре с одним и тем же количеством братьев, а каждый брат — с различным количеством сестёр. Сколько сестёр и сколько братьев в этой семье?

1777. В квадрат со стороной 1 вписан четырёхугольник. Его стороны являются гипотенузами четырёх прямоугольных треугольников, в каждый из которых вписана окружность. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей не превосходит разности числа 2 и числа корень квадратный из 2 и равна этому числу лишь тогда, когда стороны вписанного четырёхугольника параллельны диагоналям квадрата.

1778*. На доске написано комплексное число 1 + i. Разрешено любое число раз и в любом порядке выполнять следующие операции: стереть любое число a + bi и записать взамен

два раза число a + 1 + bi;
три числа a + 1 + bi, a + bi + i и a + 1 + bi + i;
четыре числа, два из которых равны a + bi + i, а два других равны a + 1 + bi + i.

После нескольких таких операций оказалось, что модули всех выписанных чисел больше 3. Докажите, что среди выписанных чисел есть хотя бы два одинаковых.

1779. Найдите все такие многочлены f, что а) для любых чисел x и y верно равенство f (x + y) = f (x) + f (y); б) для любого x и некоторого a верно равенство af(x) = f (2001x); в) для любых чисел x и y и некоторых чисел a, b, c и d верно равенство af(x) + bf(y) = f (cx + dy).

1780*. Каждая точка сферы окрашена в красный или синий цвет. Докажите существование трёх одноцветных точек, являющихся вершинами равностороннего треугольника.

1781. Начальник охраны хочет расставить часовых вокруг лагеря так, чтобы ни к лагерю, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться. У каждого часового есть прожектор, который освещает отрезок длиной 100 метров. Сможет ли начальник исполнить свой замысел?

1782. Для любого натурального числа n существует лишь конечное множество пар натуральных чисел x и y таких, что модуль разности чисел x! и y^y меньше числа n. Докажите это.

1783. В треугольнике ABC проведены высота AH, биссектриса BL и медиана CM. Оказалось, что треугольник HML равносторонний. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

1784*. На доске записаны все целые числа от 1 до 2000. а) Наугад стирают 998 чисел. Докажите, что среди оставшихся чисел можно указать несколько (не менее двух) так, что их сумма тоже имеется на доске. б)* Наугад стирают 89 чисел. Докажите, что среди оставшихся можно указать 20 чисел так, что их сумма тоже имеется на доске. Останутся ли справедливы утверждения, если стереть ещё одно число?

1785*. Остров разделён на княжества. Раскраска правильная, если всякие два княжества, имеющие общий участок границы, окрашены в разные цвета.

а) Каждое княжество представлено на карте острова равносторонним треугольником. Докажите, что для правильной раскраски карты достаточно двух красок.

б*) Каждое княжество представлено на карте равнобедренным прямоугольным треугольником. Докажите, что для правильной раскраски карты достаточно четырёх красок.

1786. На плоскости отмечены шесть точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, причём все расстояния между ними различны. Докажите, что среди треугольников с вершинами в этих точках есть два треугольника с общей стороной, которая в одном из них является наибольшей, а в другом — наименьшей.

1787*. Пусть p и q — натуральные числа, не равные 1. Докажите, что если q³ – 1 делится на p, а p – 1 делится на q, то p = q² + q + 1 или (p – 1)² = q³.

1788. В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности, A', B' и C' — точки её касания со сторонами BC, CA и AB соответственно. Прямые AA' и BB' пересекаются в точке P, прямые AC и A'C' — в точке M, а BC и B'C' — в точке N. Докажите перпендикулярность прямых IP и MN.

1789. а) Из ста гирек массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., 100 г выбраны 50 гирь, сумма масс которых равна сумме масс оставшихся гирь. Массы никаких двух выбранных гирь не отличаются на 50 г. Докажите, что в наборе есть две гири, сумма масс которых равна 101 г.

б) Из двухсот гирек массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., 200 г выбраны 100 гирь, сумма масс которых равна сумме масс оставшихся гирь. Массы никаких двух выбранных гирь не отличаются на 100 г и не дают в сумме 201 г. Докажите, что сумма масс 50 самых лёгких выбранных гирек равна 2525 г.

1790. Имеется несколько равносторонних треугольников, у каждого из которых одна сторона жёлтая, другая красная, а третья синяя. Можно прикладывать треугольники друг к другу одноцветными сторонами или участками одноцветных сторон. Таким образом составлен большой равносторонний треугольник. Докажите, что сумма длин жёлтых участков границы полученного равностороннего треугольника равна сумме длин красных участков его границы.

1791. а) На плоскости расположены 5 окружностей, любые четыре из которых имеют общую касательную. Обязательно ли все 5 окружностей имеют общую касательную?

б) На плоскости расположены несколько окружностей, любые 5 из которых имеют общую касательную. Докажите, что все данные окружности имеют общую касательную.

1792. В компании из 2n + 1 человек для любых n человек есть отличный от них человек, знакомый со всеми ними. Докажите, что в этой компании есть человек, знакомый со всеми остальными.

1793*. В магическом квадрате размером n×n, составленном из первых n² чисел, центры любых двух его клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма полученных векторов равна нулю. (Магическим называем квадрат, заполненный числами таким образом, что сумма чисел любой его строки равна сумме чисел любого его столбца.)

1794. На прямой выбрано 100 множеств, каждое из которых является объединением 100 отрезков. Докажите, что пересечение этих 100 множеств является объединением не более чем 9901 отрезков. (Точку также считаем отрезком.)

1795. На сфере определена непрерывная функция. Докажите, что некоторое своё значение эта функция принимает на каждой из больших окружностей сферы. (Окружность на сфере называем большой, если её центр совпадает с центром сферы.)

1796. Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле по одному разу, и последним ходом вернулся на исходное поле. Когда соединили центры полей, которые он последовательно проходил, получилась замкнутая 64-звенная ломаная. Никакие два её соседних звена не лежат на одной прямой. Докажите, что наименьшее возможное количество диагональных ходов равно 8.

1797. Красные и синие точки, чередуясь, делят окружность на 2n дуг. Длины любых двух смежных дуг отличаются на 1. Докажите, что периметр n-угольника с красными вершинами равен периметру n-угольника с синими вершинами.

1798. В некотором городе живут 1000 человек. Из них 300 честные, 700 — хитрые. Хитрые на некоторые вопросы отвечают правдиво, а на некоторые лгут по собственному желанию. Честные всегда говорят правду. Сколько хитрецов можно гарантированно выявить при помощи сколь угодно длинного допроса, если жители знают друг о друге всё?

1799*. Натуральные числа x и y таковы, что число x + y + xy является квадратом натурального числа. Докажите существование такого натурального числа z, что каждая из семи сумм xy + z, yz + x, xz + y, x + z + xz, y + z + yz, xy + yz + zx и xy + yz + zx + x + y + z является квадратом натурального числа.

1800. Сумма квадратов площадей граней любого тетраэдра равна учетверённой сумме квадратов площадей трёх его сечений, каждое из которых проходит через середины рёбер рассматриваемого тетраэдра. Докажите это.

2002 год

1801. Натуральное число n равно сумме некоторых трёх различных натуральных делителей числа n – 1. Найдите все такие числа.

1802. План секретного объекта представляет собой квадрат размером 8×8, который разбит коридорами на квадратики 1×1. В каждой вершине такого квадратика есть переключатель. Щелчок переключателя меняет освещённость сразу всех коридоров длины 1, выходящих из этой вершины (в освещённых коридорах свет выключается, а в неосвещённых — включается). Первоначально сторож находится в левом нижнем угле полностью неосвещённого объекта. Он может ходить только по освещённым коридорам и щёлкать переключателями сколько угодно раз. а) Может ли сторож перебраться в верхний левый угол, погасив при этом свет во всех коридорах? б) Найдите все вершины квадратиков, в которые сторож может так перебраться.

1803. Внутри квадрата ABCD расположены точки P и Q таким образом, что величины углов PAQ и QCP равны 45^o. Докажите, что сумма площадей треугольников PAQ, PCB и QCD равна сумме площадей треугольников QCP, QAD и PAB.

1804. Для любых положительных чисел a, b и c сумма квадратных корней из дробей a²/(a² + 8bc), b²/(b² + 8ac) и c²/(c² + 8ab) не меньше 1. Докажите это.

1805. В математической олимпиаде участвовали 21 мальчик и 21 девочка. Каждый из них решил не более 6 задач. Для любого мальчика и для любой девочки существует задача, которую решили и он, и она. Докажите, что существует задача, которую решили по крайней мере три мальчика и три девочки.

1806. Квадратная матрица (таблица, заполненная числами) размером n×n такова, что любые n чисел, выбранные по одному из каждой строки и из каждого столбца, дают одинаковую сумму. В каждой строке таблицы выберем наименьшее её число, а затем из полученных n чисел выберем наибольшее число M. В каждом столбце таблицы выберем наибольшее его число, а затем из полученных n чисел выберем наименьшее число m. Докажите равенство m = M.

1807. При каких n можно разрезать треугольник на n выпуклых многоугольников с различным числом сторон?

1808. Решите в натуральных числах уравнение а) x! + y! = z!!; б) (x!)(y!) = z!!, где z!! — произведение всех натуральных чисел, не превосходящих числа z и имеющих ту же чётность, что само z.

1809*. Пользуясь одной линейкой, найдите центры двух а) пересекающихся; б) касающихся (внешним или внутренним образом); в) концентрических окружностей.

1810*. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится чётное число рёбер. Одна грань многогранника красная, остальные — синие. Периметры синих граней все равны 1. Докажите, что и периметр красной грани равен 1.

1811. Два джентльмена одновременно начинают прогулку из пунктов A и B, чтобы завершить её, соответственно, в пунктах B и A. В каждый момент времени скорости джентльменов равны по величине. Между A и B 1000 метров, через каждые 100 метров от аллеи отходит боковая аллея длиной 100 метров. Поравнявшись с боковой аллеей, джентльмен может пройти пройти по ней туда-обратно либо её проигнорировать. Докажите, что встреча джентльменов неизбежна.

1812. Натуральные числа a, b и c таковы, что НОД (a² + 1, b² + 1, c² + 1) = 1. Докажите равенство НОД(ab + c, bc + a, ca + b) = НОД (a, b, c).

1813. Фигура ограничена полуокружностью и двумя четвертушками окружности того же радиуса.

а) Разрежьте фигуру на три части, чтобы из них можно было сложить квадрат.

б) Разрежьте фигуру на 4 части так, чтобы одна из них являлась квадратом, а из трёх других можно было сложить квадрат.

1814. Пусть a, m и n — натуральные числа, причём число a взаимно просто с числом mn. Обозначим через r_k остаток от деления числа [a^k/m] на n. Докажите, что последовательность r₁, r₂, r₃, ... периодическая.

1815. Общие перпендикуляры к противоположным сторонам неплоского четырёхугольника перпендикулярны один другому. Докажите, что они пересекаются.

1816. Сумма 2000 натуральных чисел больше их произведения. Докажите, что не более 10 из этих чисел отличны от 1.

1817. Перпендикулярные одна другой диагонали и стороны вписанного в квадрат четырёхугольника делят квадрат на 8 треугольников, в шахматном порядке покрашенных в красный и синий цвета. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в красные треугольники, равна сумма радиусов окружностей, вписанных в синие треугольники.

1818. Если числа a, b и c положительные, то сумма квадратных корней из чисел ^a⁄_{b + c}, ^b⁄_{c + a} и ^c⁄_{a + b} больше 2. Докажите это.

1819. Точки O и I — центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC. Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C' соответственно. Высоты треугольника A'B'C' пересекаются в точке P. Докажите, что точки O, I и P лежат на одной прямой.

1820*. Если для натуральных чисел a и b

а) десятичная запись числа a² + ab + b² оканчивается нулём, то она оканчивается двумя нулями;

б) число a⁴ + a²b² + b⁴ делится на 11, то оно делится на 121. Докажите это.

1821*. Для любого натурального числа n докажите, что квадрат суммы выражений вида (–1)^k{n ⁄ k}, где k = 1, 2, 3, ..., меньше 2n.

1822. На турнир математических боёв съехались 2n команд, каждая из которых должна по одному разу встретиться со всеми остальными. Организаторы планируют провести соревнование за 2n – 1 туров, чтобы в каждом туре участвовали все команды, а выходных дней у команд не было. Однако вследствие своей безалаберности они составляют расписание встреч на каждый тур без каких-либо планов на будущее — лишь бы в данном туре участвовали все команды и не произошло повторных встреч. Может ли случиться так, что составить расписание для очередного тура окажется невозможным (то есть при любом разбиении команд на пары окажется, что какие-то две команды уже встречались ранее), если а) n = 5; б) n = 6; в) n = 8; г) n — любое натуральное число?

1823*. Если для любого натурального n число f (n), где f — многочлен третьей степени, является кубом целого числа, то для некоторых целых a и b верно тождество f (x) = (ax + b)³. Докажите это.

1824. A₁, A₂, ..., A_n — различные точки координатные плоскости, M — их центр тяжести, n > 1, C — центр круга наименьшего радиуса r, в котором содержатся точки A₁, A₂, ..., A_n. Докажите неравенство (n – 2)r ³ n · MC. (Абсцисса и ордината центра тяжести — это, соответственно, средние арифметические абсцисс и ординат данных точек.)

1825*. Поверхность куба размером 5×5×5 можно естественным образом оклеить 150 бумажными квадратами размером 1×1 каждый, оклеив каждую из граней 25 квадратами. Докажите, что поверхность этого куба можно оклеить этими же бумажными квадратами так, чтобы никакая грань не была оклеена никакими 25-ю из них.

1826. Сумма обратных величин 1/a, 1/b и 1/c положительных чисел a, b и c не меньше суммы самих этих чисел. Докажите, что сумма чисел a, b и c не меньше 3abc.

1827. QH — перпендикуляр.опущенный из точки QM окружности ω на её диаметр AB. Окружность с центром Q и радиусом QH пересекает окружность ω в точках C и M. Докажите, что прямая CM делит радиус QH пополам.

1828. А, Б, В, Г и Д собирают марки. У А — более 3/4 марок тех марок, что есть у Б, у Б — более 3/4 марок В, у В — более 3/4 марок Г, у Г — более 3/4 марок Д, у Д — более 3/4 марок А. Докажите существование марки, которая есть у всех пятерых филателистов.

1829. Можно ли раскрасить все точки некоторого квадрата и все точки некоторого круга в чёрный и белый цвета таким образом, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества чёрных точек были подобны друг другу (возможно, с разными коэффициентами подобия)?

1830. В возрастающей последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся число, начиная с которого каждый член последовательности равен сумме всех предыдущих.

1831. В наборе 20 гирек, массы которых различны. Среди любых одиннадцати из них можно найти две, сумма масс которых равна 100 граммам. Докажите, что сумма масс всех гирек равна 1 килограмму.

1832. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон BC, AC и AB в точках A', B' и C' соответственно. Точка Q - середина отрезка A'B'. Докажите равенство величин углов B'C'C и A'C'Q.

1833. Фигура «танк» ходит по горизонтали или по вертикали на данное число n клеток, где n > 1, закрашивая по пути все клетки, по которым движется. Сделав несколько ходов по бесконечной клетчатой доске, танк вернулся на исходную клетку. Оказалось, что его след нигде сам себя не пересёк. При каких n площадь, ограниченная следом танка, могла оказаться равна 2002?

1834. Докажите неравенства а) x⁶y⁶ + y⁶z⁶ + z⁶x⁶ + 3x⁴y⁴z⁴ ³ 2(x³ + y³ + z³)x³y³z³; б) x⁶ + x⁶ + x⁶ + 3y²y²z² ³ 2(x³y³ + y³z³ +z³x³).

1835. Около четырёхугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Через центр вписанной окружности проведена прямая, параллельная одной из сторон четырёхугольника. Две другие противоположные стороны отсекают на ней отрезок. Докажите, что его длина равна четверти периметра четырёхугольника.

1836. Гидра состоит из голов и шей (любая шея соединяет между собой две головы). Одним ударом меча Геракл может снести все шеи, выходящие из любой выбранной головы. Но при этом из этой головы мгновенно вырастает по одной шее во все те головы, с которыми эта голова не была соединена. Геракл победит гидру, если ему удастся разрубить её на две не связанные шеями части. Найдите наименьшее такое число n, что Геракл может победить любую стошеюю гидру, нанеся не более чем n ударов.

1837. Для любого натурального числа n > 10 000 существует такое представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел натуральное число m, что m > n и четвёртая степень разности чисел m и n меньше числа 81n.

1838. На плоскости нарисовали несколько красных и синих прямых. Никакие две прямые не параллельны. Через любую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

1839. Если 0 < 4x < π, то а) (cos x)^cos²x > (sin x)^sin²x; б) (cos x)^cos⁴x < (sin x)^sin⁴x. Докажите это.

1840. В сферу вписано несколько правильных тетраэдров так, что любые два из них имеют общую вершину. Докажите, что все тетраэдры имеют общую вершину.

1841. Для любых натуральных чисел a, b и c докажите равенство

НОК[НОД(a,b),НОД(b,c),НОД(c,a)] = НОД(НОК[a,b],НОК[b,c],НОК[c,a]).

1842. Вершины A и B треугольника ABC лежат на окружности с центром O. Точки O и C находятся по одну сторону от AB. Поворотом треугольника ABC вокруг точки O получен треугольник A'B'C', причём луч B'C' проходит через вершину C и пересекает окружность в точке F. Докажите равенство CF = CB.

1843. Имеется неограниченно много кошельков. Первоначально в одном из них лежат km монет, где k и m — натуральные числа; остальные кошельки пусты. Затем неоднократно выполняем следующую операцию: из каждого кошелька, в котором есть хотя бы одна монета, вынимаем по одной монете, и все вынутые монеты складываем в какой-нибудь пустой кошелёк. Для каких пар чисел (k;m) через некоторое время в некоторых k кошельках окажется по m монет в каждом?

1844. Периметр пятиугольника ABCDE равен 4, углы BAE, DEA и BCD прямые, AB = DE = 1. Докажите, что биссектриса CF угла C делит пятиугольник на четырёхугольники, у которых равны как периметры, так и площади.

1845. Назовём несоседние натуральные числа a и b близкими, если a² – 1 делится на b и b² – 1 делится на a.

а) Пусть n > 1. Докажите, что на отрезке [n; 8n – 8] существует пара близких чисел.

б) Укажите такое n > 1, что на отрезке [n; 8n – 9] нет ни одной пары близких чисел.

2003 год

1846. Для любого натурального n и любого натурального k £ n докажите неравенство (1 + ¹⁄_n)^k £ (n² + nk + k²) ⁄ n².

1847. В 8 банках сидят 80 пауков. Разрешено выбрать любые две банки, суммарное число пауков в которых чётное, и пересадить часть пауков из одной банки в другую, чтобы их стало поровну. При любом ли начальном распределении пауков в банках с помощью нескольких таких операций можно добиться того, чтобы в банках оказалось поровну пауков?

1848. В треугольник АВС вписана окружность с центром О, которая касается сторон в точках А₁, В₁, С₁. Отрезки АО, ВО, СО пересекают окружность в точках А₂, В₂, С₂. Докажите, что площадь треугольника А₂В₂С₂ равна половине площади шестиугольника В₁А₂С₁В₂А₁С₂.

1849. Простое число p удовлетворяет равенству p² = 2ⁿ · 3^m + 1, где n и m — целые неотрицательные числа. Докажите неравенство p < 18.

1850. Числа натурального ряда от 1 до n(n + 1) записаны последовательно красным и синим цветами в следующей очерёдности. Первые n чисел — красные, затем одно — синее, затем (n – 1) чисел — красные, затем два — синие и так далее, наконец, одно число — красное, а последние n чисел — синие. Таким образом, убывающие по численности группы красных чисел перемежаются с возрастающими по численности группами синих чисел. Докажите, что сумма синих чисел вдвое больше суммы красных чисел.

1851. Нарисованы координатные оси Ох, Оу и график функции y = ¹⁄_8x. Масштаб не указан. Пользуясь только циркулем, постройте точку (1;1).

1852. Дано натуральное число n. В интервале (n²; n² + n) выбраны различные натуральные числа a и b. Докажите, что в этом интервале нет натуральных делителей числа ab, отличающихся от a и b.

1853. С числом разрешено делать следующее: возвести в любую натуральную степень или отрезать последние две цифры, умножить образованное ими число на 3 и прибавить к числу, образованному остальными цифрами. Можно ли с помощью таких операций из числа 81 получить число 82?

1854*. Пусть f (x) — многочлен степени m > 1 с целыми коэффициентами. Докажите, что множество значений многочлена f (x) в целых точках содержит бесконечную геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда f (x) = a(bx + c)^m, где a, b — ненулевые целые числа, c — целое число.

1855. Плоскости, параллельные граням прямоугольного параллелепипеда, разрезали его на меньшие параллелепипеды, которые окрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Известно, что сумма объёмов чёрных параллелепипедов равна сумме объёмов белых. Докажите, что из чёрных параллелепипедов можно составить параллелепипед P, а из белых можно составить равный ему параллелепипед Q.

1856. Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его основания АС в точке Е, а боковых сторон — в точках М и К. Прямая МК пересекает продолжение основания в точке Р. Докажите перпендикулярность прямых РО и ВЕ.

1857. На окружности находится множество К, состоящее из k точек, делящих окружность на k равных дуг. В К взяты два подмножества М и N, содержащие m и n точек соответственно. У подмножеств М и N ровно r общих точек. Более того, на какой бы угол, кратный ^2p⁄_k, мы ни повернули подмножество N, оно по-прежнему будет иметь ровно r общих точек с подмножеством М. Докажите равенство rk = mn.

1858. Даны такие натуральные числа a и b, что числа 2a + 1 и 2b + 1 взаимно просты. Каким может быть наибольший общий делитель чисел 2^2a+1 + 2^a+1 + 1 и 2^2b+1 + 2^b+1 + 1?

1859. Квадратный стол площади 2 можно в два слоя покрыть четырьмя квадратными салфетками, площадь каждой из которых равна 1. Более того, это можно сделать 100 различными способами. Найдите эти способы. (Салфетки можно перегибать, но нельзя разрывать.)

1860. Точка F является одним из фокусов эллипса, вписанного в выпуклый четырёхугольник ABCD. Докажите, что сумма величин углов AFB и CFD равна 180°.

1861. Среди любых n + 1 вершин правильного (2n + 1)-угольника, где n > 1, найдутся три, являющиеся вершинами равнобедренного треугольника. Докажите это.

1862. Биссектрисы AD, BE и CF треугольника АВС пересекаются в точке I. Докажите, что треугольник АВС правильный, если а) ID = IF = IE; б) треугольник DFE правильный.

1863*. Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член — наименьшее натуральное число, которое ещё не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.

1864. В квадрат ABCD вписана ломаная MKALN так, что величины углов MKA, KAL и ALN равны 45°. Докажите равенство MK² + AL² = AK² + NL².

1865*. Для натурального числа n = 46 можно указать натуральное число m = 460100021743857360295716, обладающее следующими свойствами:

первые цифры числа m представляют собой число n;
если эти первые цифры перенести в конец числа m, то (отбросив при необходимости первые нули, получим число 10002174385736029571646, которое ровно в n раз меньше числа m.

Для каких ещё натуральных n существует число m, обладающее такими же свойствами?

1866. Остров разделён на княжества, каждое из которых представляет собой на карте острова параллелограмм. При этом любые два параллелограмма либо не имеют общего участка границы, либо в качестве общего участка границы имеют общую сторону. Докажите, что для правильной раскраски карты острова достаточно трёх красок. (Раскраска правильная, если любые два княжества, имеющие общий участок границы, закрашены в разные цвета.)

1867*. Пусть М — множество членов некоторой геометрической прогрессии. Каково наибольшее возможное число элементов в пересечении множества М с множеством чисел вида а) 2ⁿ – 1, где n — целое; б) 2ⁿ + 1, где n — целое?

1868. Рассмотрим множество всех квадратных таблиц размером p×p, где p > 1, заполненных натуральными числами 1, 2, …, р². Назовём правильной таблицу, в которой в первой строке стоят по порядку числа 1, 2, …, р, во второй строке — (р + 1), р + 2, …, 2р, и так далее. Пусть А — подмножество множества таблиц,в котором каждую таблицу можно получить из правильной операциями перестановки столбцов и перестановки строк, В — подмножество, в котором операциями прибавления числа 1 ко всем числам строки или столбца из любой таблицы можно получить таблицу с равными числами. Докажите, что А = В тогда и только тогда, когда р — простое.

1869. а) Решите уравнение sin⁸x + ¹⁄_sin⁸x = cos⁸x + ¹⁄_cos⁸x.

б) Пусть x и y — положительные числа, не равные друг другу и удовлетворяющие равенству xⁿ + ¹⁄_xⁿ = y^m + ¹⁄_y^m, где m и n — натуральные числа. Докажите неравенство x² + y² > (¹⁶⁄₉)^{1/(m + n)}.

1870. а) На плоскости даны точки A, B, C и D общего положения (то есть никакие три из них не лежат на одной прямой). Известно. что углы между прямыми АВ и CD, AC и BD, AD и ВС равны. Докажите, что они прямые.

б) Углы между противоположными рёбрами тетраэдра равны. Верно ли, что они прямые?

1871. За круглым столом 35 гостей уселись пить чай. Им выдали 10 литровых и 25 пол-литровых кружек. Каждому принесли пол-литровый чайник с чаем. Гость может вылить содержимое чайника себе или одному из своих соседей. Гости согласны пить только из полной кружки. Какое наибольшее число гостей могут выпить?

1872. Прямоугольник разрезан на прямоугольники, у каждого из которых хотя бы одна сторона принадлежит границе исходного прямоугольника. Докажите, что найдутся два прямоугольника с общей стороной.

1873. В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Из любого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза ни через какой город. Докажите, что города можно распределить между тремя губерниями так, чтобы любая дорога соединяла города из разных губерний.

1874. Решите уравнение х^у – у^х = 1 в натуральных числах х и у.

1875. Сколько может быть граней у выпуклого многогранника, для любого ребра которого соответствующий внутренний двугранный угол острый?

1876. а) Во всех клетках квадрата n×n стоят минусы. За один ход можно поменять знаки в одной из изображённых четырёх фигурок. При каких n можно получить плюсы во всех клетках квадрата?

б) Докажите, что если в каком-то квадрате поменяли таким образом все знаки, то при этом фигурки каждого из четырёх видов использовались одинаковое по чётности число раз.

1877. За 64 хода король обошёл все поля шахматной доски и вернулся на прежнее место. Среди прочих он сделал ходы a2-b2 и g8-g7. Докажите, что король сделал не меньше двух диагональных ходов.

1878. На высоте CH треугольника ABC построена, как на диаметре, окружность. Докажите, что касательные к этой окружности, проведённые в точках её пересечения со сторонами АС и ВС, пересекаются на медиане СМ треугольника.

1879. На левую и правую чашки весов положили по 100 гирек из набора 1 г, 2 г, 3 г, ..., 200 г. Значимостью гирьки с какой-либо чашки назовём количество гирек с другой чашки, которые легче её. Докажите, что весы покажут равновесие тогда и только тогда, когда сумма значимостей гирек левой чашки равна сумме значимостей гирек правой чашки.

1880. На прямой даны 2k – 1 белых и 2k – 1 чёрных отрезков. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k чёрными, а любой чёрный — хотя бы с k белыми. Докажите, что хотя бы один из чёрных отрезков пересекается со всеми белыми отрезками, и хотя бы один белый отрезок пересекается со всеми чёрными.

1881. Пусть a, b, c — положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите, что половина суммы обратных величин чисел (1 – a), (1 – b) и (1 – c) не меньше суммы обратных величин чисел (1 + a), (1 + b) и (1 + c).

1882. Изначально у Ани и Бори было по длинной полосе бумаги. На одной из них была написана буква А, а на другой — Б. Каждую минуту один из них (не обязательно по очереди) приписывает к слову на своей бумажке слово с бумажки другого. Докажите, что через сутки слово с полоски Ани можно будет разрезать на две части и переставить их местами так, что получится то же слово задом наперёд.

1883. Решите в целых числах уравнение а) x⁴ – 2y² = 1; б) x² – 2y⁴ = 1; в) x⁴ – 8y² = 1; г) x⁴ – 8y² = 1.

1884. а) Квадрат разрезан на квадраты, один из которых красный, а остальные синие. Периметр каждого синего квадрата является целым числом. Докажите, что периметр красного квадрата — тоже целое число.

б) Равносторонний треугольник разрезан на равносторонние треугольники, один из которых красный, а остальные синие. Периметр каждого синего треугольника является целым числом. Докажите, что периметр красного треугольника — целое число.

1885. Автомобильная стоянка представляет собой ряд из n мест, занумерованных слева направо числами от 1 до n, а въезд на стоянку находится справа. У въезда скопились n машин, и теперь они по очереди заезжают на стоянку. Каждый водитель сначала подъезжает к своему любимому месту. Если оно свободно, ставит туда машину, а если занято, то едет вперёд до ближайшего свободного места (назад поворачивать нельзя). Обозначим a_k, где k £ n, номер любимого места водителя k-й в очереди машины. Будем говорить, что последовательность a₁, a₂, ..., a_n бесконфликтна, если удаётся поставить машины на стоянку, соблюдая указанные выше правила. Например, при n = 2 последовательности (1, 2), (2, 1) и (2, 2) бесконфликтны, а последовательность (1, 1) конфликтна.

а) Докажите, что последовательность натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n бесконфликтна тогда и только тогда, когда ни один её член не превосходит n и когда для любого натурального k, где k < n, количество членов последовательности, не превосходящих k, не превосходит k. Найдите количество б*) бесконфликтных последовательностей длины n; в*) бесконфликтных неубывающих последовательностей длины n.

1886. На столе лежат картинками вниз 8 игральных карт. Вы можете указать на любую группу карт (в частности, на одну карту или, например, на все 8) и спросить, сколько карт бубновой масти в этой группе. В качестве ответа вам сообщат число, отличающееся от истинного значения на 1. Научитесь при помощи 5 вопросов узнавать количество бубновых карт, лежащих на столе.

1887. Из точки пересечения диагоналей описанного четырёхугольника опущены перпендикуляры на его стороны. Докажите, что сумма величин, обратных длинам перпендикуляров, опущенных на некоторые две противоположные стороны, равна сумме величин, обратных длинам других двух перпендикуляров.

1888. В шкатулке лежат n монет достоинством в целое число дукатов каждая на сумму 2n – 1 дукатов. Докажите, что любую сумму от 1 до 2n – 1 можно выплатить монетами из шкатулки.

1889. На плоскости даны точки A₁, A₂, …, А_n и точки B₁, B₂, …, B_n. Докажите, что точки B₁, B₂, …, B_n можно перенумеровать так, чтобы для любой пары разных индексов i и j угол между векторами А_iA_j и В_iВ_j был острым или прямым.

1890. Четыре хорды разделили круг на девять частей, одна из которых (зелёная на рисунке) — прямоугольник. Площадь этого (зелёного) прямоугольника и площади ещё семи (синих) частей — рациональные числа. Докажите, что площадь (красного) криволинейного треугольника — рациональное число.

2004 год

1891. Среди n рыцарей каждые двое — либо друзья, либо враги. У каждого рыцаря ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами. При каких n такое возможно?

1892. Величина угла C треугольника ABC равна 45^о. Докажите равенство АВ⁴ = (ВС² – АВ²)² + (СА² – АВ²)².

1893. В круге проведены 100 хорд так, что середина любой из них принадлежит какой-либо другой из этих хорд. Докажите, что среди них найдутся хотя бы два диаметра.

1894. Пусть m, n — натуральные числа, n > 1, а число m²n² – 4m + 4n является точным квадратом. Докажите равенство m = n.

1895. В квадрат АВСD вписан треугольник MAN так, что величина угла MAN равна 45^о. Докажите, что диагональ BD квадрата делит треугольник на две части равной площади.

1896. На квадратном холсте со стороной 2n + 1 (n — натуральное число) художник нарисовал картину чёрной краской. При этом оказалось, что в каждом квадрате размером 2×2, стороны которого параллельны сторонам холста, покрашено в чёрный цвет а) не менее ³⁄₄ его площади; б) не более ³⁄₄ его площади. Какую наименьшую площадь в случае а) и какую наибольшую площадь в случае б) мог закрасить художник на холсте чёрной краской?

1897. На числовой прямой отмечены точки с координатами 1, 2, 3, …, 2n. Блоха за n прыжков побывала во всех отмеченных точках и вернулась в исходную точку. При этом любые два последовательных прыжка были противоположно направлены. Известно, что сумма длин всех прыжков блохи за исключением последнего равна 4n – 3. Докажите, что длина последнего прыжка равна 2n – 1.

1898. Сторона AD прямоугольника ABCD точками А₁, А₂, …, A_{n – 1} разделена на n отрезков. На стороне ВС отмечены точки В₁, В₂, …, В_n, некоторые из которых (или даже все) могут совпадать. Проведём в прямоугольнике зигзагообразную ломаную А₀В₁А₁В₂ … А_kВ_{k + 1}A_{k + 1} … A_n, (возможно, самопересекающуюся), где А₀ — это А, а А_n — это D. Как следует выбрать точки А_k, В_k, где 1 £ k < n, чтобы сумма длин радиусов r_k окружностей, вписанных во все n треугольников А_kВ_{k + 1}A_{k + 1}, была наибольшей?

1899. Обозначим f (n) = sin nα + sin nβ + sin nγ, где α, β и γ — углы некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что

а) f (n) < f (1) при n = 3 или 4;

б) f (n) £ f (1) при n = 2 или 8;

в) для любого натурального числа n > 4, где n ≠ 7 и n ≠ 8, существует такой остроугольный треугольник, что f (n) > f (1).

1900. Можно ли расположить в пространстве 5 одинаковых кубов так, чтобы любые два из них имели общую диагональ, а никакие три не имели?

1901. В криволинейный треугольник, ограниченный дугами конгруэнтных касающихся окружностей и их общей касательной, помещены синий и красный квадраты, как показано на рисунке. Докажите, что сторона синего квадрата вдвое больше стороны красного.

1902. На встречу выпускников пришли 45 человек. Любые двое из них, имеющие одинаковое число знакомых среди пришедших, не знакомы между собой. Каково наибольшее возможное число знакомств среди участников встречи?

1903. На плоскости дан отрезок AB. На сторонах AX и BX треугольника ABX как на диаметрах внешним образом построены полуокружности. Найдите множество таких точек X, что существует окружность, касающаяся этих полуокружностей в их серединах.

1904. Натуральные числа a, b и c удовлетворяют равенству a(b² + c²) = 2b²c. Докажите, что число 2b не превосходит суммы произведения числа a на квадратный корень из a и числа c.

1905. Покройте квадратный стол размером 5×5 в два слоя 50 квадратными салфетками так, чтобы никакой отрезок края никакой салфетки не лежал на краю стола. (Салфетки можно перегибать, но нельзя рвать.)

1906. На полосу положили квадрат, длина стороны которого равна ширине полосы. Граница квадрата пересекла границу полосы в четырёх точках. Докажите, что две прямые, проходящие «накрест» через эти точки, пересекаются на диагонали квадрата.

1907. а) Число 9²⁰⁰⁴ – 1 представили в виде суммы нескольких степеней тройки (с целыми неотрицательными показателями). Каково наименьшее возможное количество слагаемых в этой сумме?

б) Число 2004! – 1 представили в виде суммы некоторого количества факториалов. Каково наименьшее возможное количество слагаемых в этой сумме?

1908. Каждая пара (a, b) натуральных чисел порождает пару последовательностей по формулам x₁ = a, y₁ = b, x_{k + 1} = x_ky_k и y_{k + 1} = x_k + y_k для любого натурального k. Докажите, что для любой пары (a, b) существует такое n, что x_n > y_n. Обозначим наименьшее из этих чисел через f (a, b). Для какой пары (a, b) число f (a,b) максимально?

1909. Девять горизонтальных и девять вертикальных прямых разрезали прямоугольник на 9 красных и 91 синих прямоугольников. Периметр каждого из синих прямоугольников является целым числом. Докажите, что периметры всех 100 прямоугольников — целые числа.

1910. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка D. Точки O₁ и O₂ — центры описанных окружностей треугольников ACD и BCD соответственно. Пусть E — точка пересечения прямых BO₁ и AO₂. Докажите равенство величин углов BCE и ACD.

1911. Рассмотрим систему уравнений a^m + b^m = c^m + d^m, aⁿ + bⁿ = cⁿ + dⁿ, где m и n — натуральные числа, m < n. Докажите следующие утверждения.

Числа a, b, c и d не могут быть все разными, если а) числа m и n одной чётности; б) m нечётно, а n чётно.

в) Если m чётно, а n нечётно, то существуют удовлетворяющие системе уравнений четыре не равные одно другому числа a, b, c и d.

1912. Гирьки 1 г, 2 г, 3 г, ..., 200 г разложили по 100 штук на каждую чашу весов так, что весы показали равновесие. Сумма масс никаких двух гирь левой чаши весов не равна 301 г. Обозначим через a₁ < a₂ < ... < a₁₀₀ массы гирек левой чаши, а через b₁ < b₂ < ... < b₁₀₀ — массы гирь правой чаши. Докажите равенство

a₁ + 2a₂ + 3a₃ + ... + 100a₁₀₀ = b₁ + 2b₂ + 3b₃ + ... + 100b₁₀₀.

1913. Если 0 < x < y < 1, то удвоенный квадратный корень из числа (1 – x²)(1 – y²) не превосходит числа 2(1 – x)(1 – y) + 1. Докажите это.

1914. Заданная на всей вещественной прямой функция f такова, что для любого x верны равенства f (2 + x) = f (2 – x), f (0) = 0 и f (7 + x) = f(7 – x).

а) Может ли функция f принимать ровно два значения? А бесконечно много значений?

б) Найдите все возможные значения наибольшего корня уравнения f (x) = 0 на отрезке [0; 1000].

1915. В тетраэдре ABCD имеют место равенства AB = BC = CD = a и BD = DA = AC = b. Найдите расстояние между прямыми AD и BC.

1916. Равносторонний треугольник разрезан на 25 равносторонних треугольников, лишь один из которых имеет отличную от 1 площадь. Какую?

1917. Натуральные числа a, p и q таковы, что ар + 1 делится на q, а aq + 1 делится на р. Докажите неравенство 2a(p + q) > pq.

1918. К двум окружностям проведены общие внешние касательные, одна из которых касается окружностей в точках A и В. Бильярдный шар, выпущенный из точки А, отразился от второй касательной и попал в точку В. Докажите, что хорды, высеченные его траекторией на окружности, равны.

1919. Число а) 2004^x + 1; б) 2004ⁿ – 1 не является ни второй, ни более высокой степенью натурального числа ни при каком натуральном n. Докажите это.

1920. Существуют ли такое действительное число х, что числа ctg x и ctg 2004x оба целые?

1921. На наибольшей стороне АВ треугольника АВС взяли точки M и N такие, что BC = BM и CA = AN, а на сторонах СА и ВС — такие точки Р и Q, что РМ параллелен ВС, а QN параллелен СА. Докажите равенство QC = CP.

1922. Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника — лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины с внутренним углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону «угол падения равен углу отражения». Докажите, что шар в эту вершину никогда не вернётся.

1923. На плоскости отмечено N различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите неравенство N £ (n + 1)².

1924. Три натуральных числа таковы, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что данные три числа имеют общий делитель, больший единицы.

1925. Мишень «бегущий кабан» находится в одном из n окошек, расположенных в ряд. Окошки закрыты занавесками так, что для стрелка мишень всё время остаётся невидимой. Чтобы поразить мишень, достаточно выстрелить в окошко, в котором она в момент выстрела находится. Если мишень находится не в самом правом окошке, то сразу после выстрела она перемещается на одно окошко вправо; из самого правого окошка мишень никуда не перемещается. Какое наименьшее число выстрелов нужно сделать, чтобы наверняка поразить мишень?

1926. Найдите все такие простые числа p, q, r и s, что числа p^s + s^q, q^s + s^r и r^s + s^p тоже простые.

1927. Пусть АВС — неравносторонний треугольник; О и I — центры описанной и вписанной окружностей, Н — точка пересечения высот треугольника. Могут ли точки О, I и H быть вершинами равнобедренного треугольника?

1928. Для любых положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, разность между наибольшим и наименьшим из которых не превосходит 2, сумма квадратных корней из чисел 1 + x₁x₂, 1 + x₂x₃, ..., 1 + x_nx₁ не меньше суммы чисел x₁, x₂, ..., x_n и не больше суммы этой суммы и числа n.

1929. Для любого натурального числа d существует делящееся на него натуральное число n, в десятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую ненулевую цифру так, что полученное число тоже делится на d. Докажите это.

1930. На любых ли четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции; б) параллелограмма?

1931. Каждая точка плоскости, обе координаты которой целые, покрашена в один из трёх цветов, причём все три цвета присутствуют. Докажите, что найдётся прямоугольный треугольник с вершинами трёх разных цветов.

1932. Последовательность неотрицательных рациональных чисел a₁, a₂, a₃,... для любых натуральных m и n удовлетворяет равенству a_m + a_n = a_mn. Докажите, что не все её члены различны.

1933. В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными линиями, принадлежащим k авиакомпаниям. Любые две линии одной авиакомпании имеют общий город. Докажите, что все города можно разбить на k + 2 множества так, что никакие два города из одного множества не соединены авиалинией.

1934. Даны четыре последовательных члена арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля. Не все они квадраты, однако их произведение — квадрат натурального числа. Докажите, что это произведение делится на 2520².

1935. Все грани тетраэдра — подобные треугольники. Докажите, что они конгруэнтны.

2005 год

1936. Какую наименьшую ширину может иметь бесконечная полоса бумаги, чтобы из неё можно было вырезать любой треугольник площади 1?

1937. Окружности S₁, S₂ и S₃ касаются одна другой внешним образом. A, B и C — точки касания S₁ и S₂, S₁ и S₃, S₂ и S₃ соответственно. Прямая AB повторно пересекает S₂ и S₃ в точках D и E соответственно. Прямая CD повторно пересекает окружность S₃ в точке F. Докажите, что угол DEF прямой.

1938. Для любых n чисел докажите, что хотя бы одно из них или число, противоположное их сумме, не меньше делённой на 2n – 1 суммы их модулей.

1939. Вершины 50 прямоугольников делят окружность на 200 равных дуг. Докажите, что среди прямоугольников есть хотя бы два равных.

1940. Пусть a — натуральное число. Докажите, что уравнение x(x + a) = y² а) при a = 1, 2 или 4 не имеет решений в натуральных числах; б) при любом другом a имеет их.

1941. На плоскости жили 44 весёлых чижа, точечных и непрозрачных. После посещения плоскости Мурзиком чижи разлетелись и расселись на плоскости так, что каждый из них видит ровно 10 других. Докажите, что посещение плоскости Мурзиком уменьшило количество чижей.

1942. Внутри острого угла с вершиной O даны точки A и B. Бильярдный шар может попасть из A в B, отразившись либо от одной стороны угла в точке M, либо от другой в точке N. Докажите, что если OA = OB, то точки O, A, B, M и N лежат на одной окружности.

1943. По кругу расставлено несколько корзин (не меньше трёх). Первоначально в одной из них лежит одно яблоко, а остальные корзины пусты. Далее неоднократно проделывают следующую операцию: из какой-нибудь корзины вынимают яблоко, а взамен кладут по яблоку в каждую из двух соседних с ней корзин. При каком количестве корзин можно добиться того, чтобы во всех корзинах яблок стало поровну?

1944. Квадратный стол площади 5 покройте в 4 слоя пятью квадратными салфетками, площадь каждой из которых равна 4.

1945. Всякий ли остроугольный треугольник можно расположить в пространстве так, что все его вершины окажутся на а) рёбрах; б) диагоналях граней некоторого куба, выходящих из одной его вершины?

1946. AH и CL — высоты треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, AC = CB. Докажите, что длина проекции CH стороны AC на сторону BC равна длине отрезка AB тогда и только тогда, когда прямые IH и AB параллельны.

1947. Десятичная запись квадрата натурального числа оканчивается на три одинаковые цифры. Докажите, что предшествующая им цифра чётна.

1948. Радиусы окружностей ω₁ и ω₂ равны. Внешним образом касаются: окружности ω₁ и ω₂ в точке B; ω₁ и ω₃ в точке A; ω₂ и ω₃ — в точке B. Прямая AB вторично пересекает ω₂ в точке D. Прямая CD вторично пересекает ω₃ в точке F. Прямая AF вторично пересекает ω₁ в точке N. Прямая AC вторично пересекает ω₂ в точке L. Докажите, что четырёхугольник DNAL — ромб.

1949. На координатной плоскости расположен правильный многоугольник с центром (0; 0). Одна из его вершин — точка (1; 0). Докажите существование многочлена степени n с целыми коэффициентами, множество корней которого совпадает с множеством а) абсцисс; б) ординат вершин этого многоугольника.

1950. Правильный восьмиугольник можно разрезать на параллелограммы, но нельзя — на параллелограммы равной площади. Докажите это.

1951. Имеются два разных расположения одних и тех же ладей на шахматной доске, одно из которых получено из другого после двух ходов каждой ладьи. Всегда ли можно указать третье расположение этих же ладей на доске, из которого каждое из двух данных расположений получается одним ходом каждой ладьи?

1952. AH — высота, BL — биссектриса, CM — медиана треугольника ABC. Докажите, что отрезки AH, BL и CM пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда а) прямые LH и AB параллельны; б) синус угла A равен произведению тангенса угла B на косинус угла C.

1953. Из листа клетчатой бумаги вырезали по линиям сетки многоугольник без дыр, который можно разрезать на доминошки размером 1×2. Докажите, что хотя бы одна сторона многоугольника чётной длины.

1954. Найдите все квадраты, лишь первая и последняя цифры десятичной записи которых отличны от 0.

1955. Точка D лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника ABC. Докажите, что и точка C лежит на серединном перпендикуляре к одной из сторон треугольника ABD.

1956. а) Существует ли возрастающая арифметическая прогрессия из 2005 таких натуральных чисел, что произведение любых четырёх из них делится на куб их суммы?

б) А бесконечная арифметическая прогрессия с такими же свойствами?

1957. Из полного набора доминошек выбрали несколько костяшек и выложили по правилам в один ряд. Докажите, что костяшки всего набора можно выложить в один ряд, в котором выбранные костяшки идут в том же порядке (может быть, не подряд).

1958. Докажите следующие утверждения.

Существует такая пара натуральных чисел x и y, что а) x² + xy + y²; б) x² – xy + y² — квадрат натурального числа.

в) Не существует такой пары натуральных чисел x и y, что числа x² – xy + y² и x² + xy + y² — квадраты натуральных чисел.

1959. Имеются n квадратных трёхчленов с буквенными коэффициентами и прозрачный мешок, содержащий 3n натуральных чисел. Двое ходят поочерёдно: каждый своим ходом берёт из мешка число и заменяет им какой-то из ещё не заменённых буквенных коэффициентов. Первый игрок хочет, чтобы каждый из n трёхчленов имел хотя бы один целый корень. Может ли второй игрок всегда (при любом содержимом мешка и любой стратегии первого) этому помешать, если а) n = 1; б) n = 2; в) n > 2?

1960. Проекции внутренней точки правильного тетраэдра на грани соединены отрезками с вершинами своих граней. В результате поверхность тетраэдра оказалась разделена на шесть областей. Каждая пара областей, содержащих пару противоположных рёбер тетраэдра, окрашена в жёлтый, синий или красный цвет. Докажите, что площадь, окрашенная жёлтым цветом, равна площади, окрашенной синим цветом.

1961. Точка Q лежит внутри параллелограмма ABCD, причём сумма величин углов AQB и CQD равна 180°. Докажите равенство величин углов QBA и QDA и равенство величин углов QAD и QCD.

1962. Клетчатый прямоугольник покрыт костями домино (каждая кость покрывает две клетки с общей стороной). Назовём покрытие оригинальным, если для любого другого покрытия положение хотя бы одной кости совпадает с положением хотя бы одной кости оригинального покрытия. Для каких прямоугольников существует оригинальное покрытие?

1963. Натуральные числа x, y и z удовлетворяют равенству x^y + 1 = z² и неравенствам x > 2 и y > 1. Докажите, что число x имеет не менее 8 натуральных делителей.

1964. Вневписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается стороны AB в точке C', а продолжений сторон AC и BC — в точках B' и A' соответственно. Прямые AA' и BB' пересекаются в точке K. Докажите, что точка K лежит на описанной окружности треугольника ABC тогда и только тогда, когда радиусы описанных окружностей треугольников ABC и A'B'C' равны.

1965. С крыши дома спущена лестница, содержащая n ступенек. С каждой ступеньки можно перейти на соседнюю; кроме того, с самой верхней ступеньки можно переступить на крышу, а с самой нижней — на землю. На каждой ступеньке укреплён указатель–стрелка, направленный вверх или вниз. В начальный момент на одной из ступеней лестницы стоит человек. В соответствии с указателем он передвигается на соседнюю ступеньку, и сразу после этого указатель меняет направление на противоположное. Со следующей ступеньки человек опять переступает в соответствии в указателем на соседнюю ступеньку, и указатель сразу же меняет своё направление на противоположное. Далее человек снова и снова переходит со ступеньки на ступеньку по этому же правилу. Какое наибольшее число шагов может сделать человек, пока не сойдёт с лестницы на землю или на крышу?

1966. Если число вида 11...11211...11, в десятичной записи справа от двойки столько же единиц, сколько слева, делится на 11, то оно делится и на 121. Докажите это.

1967. В наборе из одиннадцати попарно различных гирь каждая весит натуральное число граммов. Сумма масс семи самых лёгких гирь больше суммы масс четырёх самых тяжёлых. Найдите наименьшую возможную сумму масс гирь набора.

1968. Каждую вершину выпуклого четырёхугольника симметрично отразим относительно диагонали, не проходящей через эту вершину. Полученные точки — вершины четырёхугольника Q'. Докажите следующие утверждения.

а) Если Q — трапеция, то Q' — тоже.

б) Площадь четырёхугольника Q' не превосходит утроенной площади четырёхугольника Q.

1969. На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешено для любых трёх карточек узнать множество чисел, записанных на этих карточках. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа на каких карточках написаны?

1970. Существует ли такой многочлен f второй степени, что для любого натурального числа n уравнение f (f (...f (x)...)) = 0, где буква f написана n раз, имеет ровно 2n различных вещественных решений?

1971. В таблице размером 2×n расставлены положительные числа так, что сумма двух чисел любого из n столбцов равна 1. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу из каждого столбца так, чтобы для любой из двух строк сумма оставшихся её чисел не превосходила (n + 1) ⁄ 4.

1972. На плоскости расположено бесконечное множество L прямых, никакие две из которых не параллельны. Любой квадрат размером 1×1 пересекает хотя бы одна прямая множества L. Докажите существование квадрата со стороной 0,75, пересечённого не менее чем тремя прямыми множества L.

1973. I — центр вписанной окружности треугольника ABC; AB < BC; M и N — соответственно середины отрезка AC и дуги ABC описанной окружности треугольника ABC. Докажите равенство величин углов IMA и INB.

1974. На бесконечном листе клетчатой бумаги конечное число клеток покрашены чёрной краской так, что у каждой чёрной клетки чётное число белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно покрасить в синий или зелёный цвета так, чтобы у каждой чёрной клетки было бы столько же синих соседок, сколько и зелёных.

1975. а) За круглым столом сидят 100 граждан 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на два множества таким образом, чтобы в каждом множестве было по одному гражданину каждой из стран и каждый человек был в одном множестве не более чем с одним соседом.

б) За круглым столом сидят 100 граждан 25 стран, по четыре от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на четыре множества таким образом, чтобы в каждом множестве было по одному гражданину каждой страны и никто не оказался бы в одном множестве ни с одним своим соседом.

1976. Для любого натурального числа n в десятичной записи хотя бы одного из чисел n и 3n есть хотя бы одна из цифр 1, 2, 9. Докажите это.

1977. В первом ряду шахматной доски стоят 8 одинаковых чёрных ферзей, а в последнем ряду — 8 одинаковых белых ферзей. За какое минимальное число ходов белые ферзи могут поменяться местами с чёрными? Ходят белые и чёрные по очереди, передвигая по одному ферзю за ход. Ферзь ходит по вертикали, горизонтали или диагонали на любое число клеток (если на его пути нет других ферзей).

1978. Биссектрисы углов BAD и BCD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K диагонали BC. Точка M — середина отрезка BD. Прямая, параллельная AD и проходящая через C, пересекает луч AM в точке P, лежащей вне четырёхугольника. Докажите равенство DP = DC.

1979. На прямолинейной дороге стоят несколько светофоров. На каждом светофоре красный свет и зелёный свет горят по одинаковому целому числу минут (для разных светофоров эти количества могут различаться). Автогонщик в каждый момент времени либо едет с фиксированной скоростью, либо стоит на красный свет у светофора. Он изучил режим работы светофоров и утверждает, что он может проехать от начала до конца за 30 или 32 минуты, но не может доехать за 31 минуту. Могут ли его слова оказаться правдой? (Если гонщик подъезжает к светофору в момент переключения света, то он считает, что свет уже переключился.)

1980. Любой выпуклый центрально-симметричный многоугольник площади 1 можно поместить в центрально-симметричный многоугольник площади 4 ⁄ 3. Докажите это.

2006 год

1981. В клетках таблицы размером 11×11 расставлены натуральные числа от 1 до 121. Дима посчитал произведение чисел в каждой строке, а Саша — произведение чисел в каждом столбце. Могли ли они получить одинаковые наборы из 11 чисел?

1982. Начав с некоторого натурального числа, каждую секунду к имеющемуся в данный момент числу прибавляем произведение цифр его десятичной записи. Докажите, что рано или поздно число перестанет изменяться.

1983. Сколько существует способов разбить число 2006 на натуральные слагаемые, никакие два из которых не отличаются более чем на 1? (Слагаемых может быть одно или несколько. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, не различаем.)

1984. На плоскости отмечены 1000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что количество равнобедренных треугольников с вершинами в этих точках не превосходит 1 000 000.

1985. Четырёхугольник ABCD, у которого нет параллельных сторон, описан около окружности с центром O. Точки K, L, M и N — середины отрезков AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите, что если точки K, M и O лежат на одной прямой, то на одной прямой лежат и точки L, N и O.

1986. Если x₁, x₂, ..., x_n, y₁, y₂, ..., y_n — неубывающая последовательность вещественных чисел, то квадрат суммы этих чисел не менее чем в 4n раз больше суммы чисел x₁y₁, x₂y₂, ..., x_ny_n. Докажите это.

1987. Рассмотрим додекаэдр и икосаэдр с равными расстояниями от центра до ребра. Сравните их объёмы.

1988. Для каких натуральных чисел a существуют такие целые неотрицательные числа k, m и n, что если приписать к десятичной записи числа a^m десятичную запись числа aⁿ, то получим десятичную запись числа a^k?

1989. В королевстве n городов и r дорог. Каждая дорога соединяет два города. Из любого города можно добраться до любого другого по дорогам. В начале каждого года один из городов отправляет во все соседние (то есть соединённые с ним дорогами) города по гонцу (в таком городе должно быть достаточное для этого количество гонцов). Если ни в одном из городов гонцов недостаточно, то движения прекращаются.

а) Пусть через несколько лет движения гонцов прекратились. Докажите, что если города, отправляющие гонцов, выбирать по-другому, то движения гонцов всё равно прекратятся, причём конечные количества гонцов в городах не зависит от выбора городов, отправляющих гонцов.

б*) Пусть через несколько лет в каждом городе оказалось столько же гонцов, сколько их там было изначально. Какое наименьшее число гонцов может быть в королевстве?

1990. На продолжении стороны BC за точку C лежит точка X. Вписанные в треугольник ABX и ACX окружности пересекаются в точках P и Q. Докажите, что все прямые PQ проходят через некоторую точку, не зависящую от положения точки X.

1991. Среди 6 монет одна фальшивая: отличается по массе от настоящей. За три взвешивания на весах, показывающих при каждом взвешивании общую массу положенных на их чашу монет, научитесь выделять фальшивую монету.

1992. Куб перекатили несколько раз (каждый раз — через ребро) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх. Могла ли верхняя грань повернуться на 90° относительно своего первоначального положения?

1993. H — точка пересечения высот треугольника ABC; точка X не лежит ни на одной из прямых AH, BH и CH. Окружность с диаметром HX вторично пересекает прямые AH, BH и CH в точках A₁, B₁ и C₁, а прямые AX, BX и CX — в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

1994. а) В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше 1,001 г. Докажите, что весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы показали разность, не превосходящую 1 г.

б) В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше (1 + x) г. При каком наибольшем x весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы показали разность, не превосходящую 1 г?

1995. Уравнение n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = m(m + 1)²(m + 2)³(m + 3)⁴ не имеет решений в натуральных числах. Докажите это.

1996. Для каких n существуют такие натуральные числа a₁, a₂, ..., a_n, не все из которых равны между собой, что сумма дробей a₁ ⁄ a₂, a₂ ⁄ a₃, ..., a_n–1 ⁄ a_n и a_n ⁄ a₁ является целым числом?

1997. На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E и F. Докажите, что площадь треугольника DEF не меньше удвоенной площади треугольника ABC.

1998. В одной кучке лежат n камней, а в другой — k камней. Каждую минуту автомат выбирает кучку, в которой число камней чётное, и половину имеющихся в ней камней перекладывает в другую кучку. Если в обеих кучках нечётное число камней, автомат прекращает работу. Сколько существует упорядоченных пар натуральных чисел (n; k), не превосходящих 1000, для которых автомат обязательно остановится?

1999. Можно ли расположить на бесконечном клетчатом листе 2005 трёхклетчатых прямоугольников так, чтобы каждый прямоугольник с двумя другими прямоугольниками имел ровно по одной общей точке, а с остальными прямоугольниками общих точек не имел?

2000. Есть n мудрецов и неограниченный запас колпаков каждого из n различных цветов. Мудрецы одновременно закрывают глаза, и каждому из них надевают на голову колпак (например, все надетые колпаки могут оказаться одного цвета). Затем мудрецы открывают глаза. Каждый видит, какие колпаки надеты на остальных, но не видит своего. После этого каждый мудрец пытается угадать, какого цвета его колпак, записав свою гипотезу на бумажке втайне от остальных. Докажите, что мудрецы могут заранее договориться таким образом, чтобы в любом случае хотя бы один угадал цвет своего колпака.

2001. AA', BB' и CC' — биссектрисы треугольника ABC. Величины углов A, B и C относятся как 4 : 2 : 1. Докажите равенство A'B' = A'C'.

2002. Сумма положительных чисел a, b и c равна 1. Докажите, что сумма обратных величин этих чисел не меньше частного от деления числа 25 на сумму числа 1 и числа 478abc.

2003. Докажите следующие утверждения.

а) Для любых натуральных чисел a, b, c, n уравнение x² + y² + z² = (a² + b² + c²)ⁿ разрешимо в натуральных числах x, y, z.

б) Для любого нечётного числа n > 1 и любых натуральных чисел a, b и c уравнение ax² + by² + cz² = tⁿ разрешимо в натуральных числах x, y, z, t.

в) Существуют такие натуральные числа a, b и c, что уравнение ax² + by² + cz² = t² неразрешимо в натуральных числах x, y, z, t.

2004. У Карлсона имеется 1000 банок варенья. Банки не обязательно одинаковые, но в каждой — не больше ¹⁄₁₀₀ части всего варенья. На завтрак Карлсон может съедать поровну варенья из любых 100 банок. Докажите, что Карлсон может действовать так, чтобы после нескольких завтраков съесть всё варенье.

2005. Никакой выпуклый n-вершинник нельзя разрезать менее чем на n – 3 тетраэдра. Докажите это.

2006. График линейной функции касается графика квадратичной функции y = f (x), а график квадрата этой линейной функции получается из графика функции y = f (x) сдвигом вниз на величину p. Найдите p.

2007. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. На отрезках AI и IC выбраны точки M и N соответственно так, что величина угла ABC вдвое больше величины угла MBN. Докажите, что величина угла ADC вдвое больше величины угла MDN.

2008. Назовём делитель числа n маленьким, если он не превосходит ⁿ ⁄ _{10 000}, и большим — в противном случае. Конечно ли множество таких n, что произведение всех больших делителей числа n, отличных от n, равно произведению всех его маленьких делителей?

2009. Существуют ли такое n > 1 и такие попарно различные числа a₁, a₂, ..., a_n, b₁, b₂, ..., b_n, что каждое из них является корнем одного из многочленов x² – a₁x + b₁, x² – a₂x + b₂, ..., x² – a_nx + b_n?

2010. Для натуральных чисел m и n количество связных клеточных фигур прямоугольника размером m×n нечётно тогда и только тогда, когда не кратно числу 4 ни число m(m + 1), ни число n(n + 1). Докажите это. (Связная клеточная фигура — это такое непустое множество клеток, что из любой его клетки можно пройти в любую другую его клетку, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетку.)

2011. При любом разбиении множества первых 200 натуральных чисел на 50 множеств хотя бы в одном из них есть три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника. Докажите это.

2012. Из вершины A тетраэдра ABCD опустили перпендикуляры AB', AC' и AD на плоскости, делящие пополам соответственно двугранные углы при рёбрах CD, BD и BC. Докажите, что плоскость B'C'D' параллельна плоскости BCD.

2013. Для каких натуральных n существуют такие нецелые рациональные числа a и b, что числа a + b и aⁿ + bⁿ целые?

2014. На дугах AB и BC описанной окружности треугольника ABC выбраны точки K и L так, что прямые AC и KL параллельны. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABK и BCL равноудалены от середины дуги ABC.

2015. Можно ли сварить проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1, из восемнадцати деталей конструктора, каждая деталь которого которого имеет вид а) ломаной из трёх взаимно перпендикулярных звеньев длины 1; б) трёх сторон квадрата со стороной длины 1?

2016. Какое наибольшее количество вершин, в каждой из которых сходится по 3 ребра, может иметь выпуклый 2n-гранник, все грани которого — треугольники?

2017. Квадрат размером 3000×3000 разбит на доминошки — прямоугольники размером 1×2. Доминошки называем соседними, если они граничат хотя бы по одной из сторон одной из клеток. Докажите, что доминошки можно раскрасить а) в три цвета так, чтобы доминошек всех цветов было поровну и у каждой доминошки было не более двух соседей её цвета; б) в четыре цвета так, чтобы доминошек всех цветов было поровну и никакие две одноцветные доминошки не были соседними.

2018. Если натуральное число n представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, каждое из которых кратно 3, то n представимо и в виде суммы квадратов трёх целых чисел ни одно из которых не кратно числу 3. Докажите это.

2019. Окружность ω касается равных сторон AB и AC равнобедренного треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L. Отрезок AK пересекает ω второй раз в точке M. Точки P и Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается окружности ω.

2020*. Многочлен (x + 1)ⁿ – 1 делится на многочлен степени k, все коэффициенты которого — целые нечётные числа. Докажите, что n делится на k + 1.

2007 год

2026. На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD выбраны точки P, M, N и Q соответственно так, что величина угла MAN равна 45°, а прямые PM и AM параллельны соответственно прямым AN и NQ. Отрезок PQ пересекает отрезки AM и AN в точках F и G соответственно. Докажите, что площадь треугольника AFG равна сумме площадей треугольников FMP и GNQ.

2027. На доске написаны натуральные числа a, b и c. Петя записывает на листок произведение некоторых двух из этих чисел, а третье число уменьшает на 1. С новыми числами он проделывает ту же операцию, и так действует до тех пор, пока хотя бы одно из чисел не окажется равно нулю. Найдите сумму чисел, написанных на листке.

2028. Вруны всегда лгут, правдивые всегда говорят правду, а хитрецы могут и врать, и говорить правду. Можно задавать только вопросы, ответы на которые — «да» или «нет».

а) Перед нами трое — врун, правдивый и хитрец, которые знают друг про друга, кто из них кто. Найдите способ это узнать.

б) Перед нами четверо — врун, правдивый и два хитреца. Они знают друг про друга, кто из них кто. Докажите, что хитрецы могут договориться отвечать так, что мы, задавая им вопросы, не сможем ни про кого узнать наверняка, кто он.

2029. Арифметическая и геометрическая прогрессия состоят только из натуральных чисел. Каждое число, встречающееся в геометрической прогрессии прогрессии, встречается и в прогрессии арифметической. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – натуральное число.

2030. Можно ли вписать октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на рёбрах куба?

2031. Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, выходящие из вершин A, B и C, вторично пересекают его описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Прямые, проходящие через точки A, B и C параллельно противоположным сторонам треугольника, пересекают эту окружность вторично в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂пересекаются в одной точке.

2032. а) Существует ли такое натуральное число n, что для любого натурального числа k хотя бы одно из чисел n^k – 1 и n^k + 1 представимо в виде ab для некоторых натуральных чисел a и b, где b > 1?

б*) Назовём натуральное число антипростым, если оно делится на квадрат любого своего простого делителя. Два натуральных числа называем близнецами, если они отличаются на 2. Конечно или бесконечно множество пар антипростых чисел–близнецов?

2033. У ведущего имеется колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (не уточняя, сверху вниз или снизу вверх). Разрешено задавать ведущему вопросы вида «Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?». Один из зрителей знает, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?

2034. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC выбраны соответственно точки X, Y и Z так, что треугольник XYZ подобен треугольнику ABC, то есть величина угла A равна величина угла X, величина угла B равна величине угла Z, а C — Z. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC равноудалён от точек пересечения высот треугольников ABC и XYZ.

2035. В ряд выписано несколько положительных чисел, ни одно из которых не превосходит числа 1. Докажите, что их можно разделить на а) три; б*) любое наперёд заданное число групп подряд идущих чисел так, чтобы суммы чисел в любых двух группах отличались не более чем на 1. (Если в группе нет ни одного числа, то сумму её чисел считаем равной 0.)

Что такое «Задачник "Кванта"»?

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

Все задачи в одном PDF-файле

		Научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов